陕西省黄陵中学（重点班）2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题（word版含答案）

2019-2020学年度第一学期黄陵中学
高二重点班数学（文）期末考试试题
选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．数列1，3，7，15，…的通项公式an可能是(　　)
A．2n　　　　　　　　　B．2n＋1
C．2n－1 D．2n－1
2．在△ABC中，“A＝”是“cos A＝”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．命题p：?x∈R，x2＋1＞0，命题q：?θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是(　　)
A．p∧q B．（?p)∧q
C．(?p)∨q D．p∨(?q)
4．不等式≤2的解集是(　　)
A．{x|x＜－8或x＞－3} B．{x|x≤－8或x＞－3}
C．{x|－3≤x≤2} D．{x|－3＜x≤2}
5．若a＜1，b＞1，那么下列不等式中正确的是(　　)
A.＞ B．＞1
C．a2＜b2 D．ab＜a＋b
6．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　　)
A．15 B．30
C．31 D．64
7．双曲线3x2－y2＝9的实轴长是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
8．已知函数f(x)可导，则 等于(　　)
A．f′(1)　　　　　 B．不存在
C.f′(1) D．以上都不对
9．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)
A．0 B．2
C．1 D．－1
10.若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( 　)
A．18 B．6
C．2 D.4
11．已知钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)
A．5 B．
C．2 D．1
12.已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．命题“?x0∈，tan x0≤sin x0”的否定是______________________．
14．已知椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则k＝________．
15．当x∈[－1，2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围是________．
16．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．
①当x＝时，函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时，函数取得极小值；
④当x＝1时，函数取得极大值．
三、解答题（本大题共7小题，共80分）
17．(本小题满分10分)已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0，命题q：<1.若p是真命题，q是假命题，求实数x的取值范围．
18． (本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.
求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
19．(本小题满分12分)求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；
(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．
20．(本小题满分12分)设函数y＝f(x)＝4x3＋ax2＋bx＋5在x＝与x＝－1处有极值．
(1)写出函数的解析式；
(2)指出函数的单调区间；
(3)求f(x)在[－1，2]上的最值．
21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，sin B＝3sin C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
22．(本小题满分12分)已知双曲线方程为x2－＝1，问：是否存在过点M(1，1)的直线l，使得直线与双曲线交于P，Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．
23．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－ln x.
(1)当a＝0时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
D
B
D
A
A
A
A
B
B
A
解：由p是真命题，知lg(x2－2x－2)≥0，
所以x2－2x－2≥1?x2－2x－3≥0，
解得x≤－1或x≥3.
由q是假命题知
≥1，故1－≤－1或1－≥1，
解得x≥4或x≤0.
所以x的取值范围是{x|x≤－1或x≥4}．
解：(1)因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.

解：(1)当焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p×(－3)，解得p＝.
所以所求抛物线的标准方程为y2＝－x.
当焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)．
把(－3，2)代入，得(－3)2＝4p，解得p＝.
所以所求抛物线的标准方程为x2＝y.
(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．
当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则＝4，所以p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.
当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则－＝－2
解：(1)y′＝12x2＋2ax＋b，由题设知当x＝与x＝－1时函数有极值，则x＝与x＝－1满足y′＝0，
即解得
所以 y＝4x3－3x2－18x＋5.
(2)y′＝12x2－6x－18＝6(x＋1)(2x－3)，列表如下：
x
(－∞，
－1)
－1



y′
＋
0
－
0
＋
y
?↗
y极大值
＝16
?↘
y极小
值＝－
?↗
由上表可知(－∞，－1)和(，＋∞)为函数的单调递增区间，为函数的单调递减区间．
(3)因为f(－1)＝16，f＝－，f(2)＝－11，
所以f(x)在[－1，2]上最小值是－，最大值为16.
解：(1)因为A＝，所以B＋C＝，故sin＝3sin C，所以cos C＋sin C＝3sin C，
即cos C＝sin C，得tan C＝.
(2)由＝，sin B＝3sin C，得b＝3c.
在△ABC中，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝9c2＋c2－2×(3c)×c×＝7c2，又因为a＝，所以c＝1，b＝3，
所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝.
解：显然x＝1不满足条件，设l：y－1＝k(x－1)．
联立y－1＝k(x－1)和x2－＝1，
消去y得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由Δ＞0，得k＜，x1＋x2＝，
由M(1，1)为PQ的中点，得＝＝1，
解得k＝2，这与k＜ 矛盾，
所以不存在满足条件的直线l.
解：(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当a＝0时，f(x)＝2x－ln x，则f′(x)＝2－，
令f′(x)＝0，得x＝.
当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：
x



f′(x)
－
0
＋
f(x)
?↘
极小值
?↗
所以当x＝时，f(x)取极小值1＋ln 2，f(x)无极大值．
(2)已知f(x)＝ax2＋2x－ln x，且x>0，
所以f′(x)＝ax＋2－＝.
若a＝0，由f′(x)>0，x>0得x>，显然不合题意．
若a≠0，因为f(x)在区间上是增函数，
所以f′(x)≥0对任意的x∈恒成立，即不等式ax2＋2x－1≥0对任意的x∈恒成立．
即a≥＝－＝－1在上恒成立，
故a≥，x∈.
而当x＝时，－1＝3，即实数a取得最大值3，
所以实数a的取值范围为a≥3.