陕西省黄陵中学（重点班）2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题（word版含答案）

2019-2020学年度第一学期黄陵中学
高二重点班数学（理）期末考试试题
选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．数列1，3，7，15，…的通项公式an可能是(　　)
A．2n　　　　　　　　　B．2n＋1
C．2n－1 D．2n－1
2．在△ABC中，“A＝”是“cos A＝”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．命题p：?x∈R，x2＋1＞0，命题q：?θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是(　　)
A．p∧q B．（?p)∧q
C．(?p)∨q D．p∨(?q)
4．不等式≤2的解集是(　　)
A．{x|x＜－8或x＞－3} B．{x|x≤－8或x＞－3}
C．{x|－3≤x≤2} D．{x|－3＜x≤2}
5．若a＜1，b＞1，那么下列不等式中正确的是(　　)
A.＞ B．＞1
C．a2＜b2 D．ab＜a＋b
6．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　　)
A．15 B．30
C．31 D．64
7．双曲线3x2－y2＝9的实轴长是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
8．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
9．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)
A．(－1，1， 0) B．(1，－1，0)
C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
10.若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( 　)
A．18 B．6
C．2 D.4
11．已知钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)
A．5 B．
C．2 D．1
12.已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．命题“?x0∈，tan x0≤sin x0”的否定是______________________．
14．已知椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则k＝________．
15．已知a＝(x，2，－4)，b＝(－1，y，3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________．
16.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
三、解答题（本大题共7小题，共80分）
17．(本小题满分10分)已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0，命题q：<1.若p是真命题，q是假命题，求实数x的取值范围．
18．(本小题满分12分)已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)求a和b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
19．(本小题满分12分)求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；
(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．
20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
(1)证明：AC⊥BC1；
(2)求二面角C1-AB-C的余弦值大小
21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，sin B＝3sin C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
22．(本小题满分12分)已知双曲线方程为x2－＝1，问：是否存在过点M(1，1)的直线l，使得直线与双曲线交于P，Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．
23．(本小题满分10分)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝60°.
(1)求证：EF⊥PB.
(2)试问：当点E在线段AB上移动时，二面角P-FC-B的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
D
B
D
A
A
A
B
B
B
A
解：由p是真命题，知lg(x2－2x－2)≥0，
所以x2－2x－2≥1?x2－2x－3≥0，
解得x≤－1或x≥3.
由q是假命题知
≥1，故1－≤－1或1－≥1，
解得x≥4或x≤0.
所以x的取值范围是{x|x≤－1或x≥4}．
解：a＝＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，
b＝＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．
(1)cos θ＝＝＝－，
所以a与b的夹角θ的余弦值为－.
(2)ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)，
所以(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.
即2k2＋k－10＝0，所以k＝－或k＝2.
解：(1)当焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p×(－3)，解得p＝.
所以所求抛物线的标准方程为y2＝－x.
当焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)．
把(－3，2)代入，得(－3)2＝4p，解得p＝.
所以所求抛物线的标准方程为x2＝y.
(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．
当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则＝4，所以p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.
当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则－＝－2
解：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，故AC，BC，CC1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，

则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)．
(1)证明：＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，
所以·＝0.故AC⊥BC1.
(2)解：平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，设平面C1AB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
＝(－3，0，4)，＝(－3，4，0)，
由得
令x＝4，则y＝3，z＝3，n＝(4，3，3)，
故cos〈m，n〉＝＝.
即二面角C1-AB-C的余弦值为.
解：(1)因为A＝，所以B＋C＝，故sin＝3sin C，所以cos C＋sin C＝3sin C，
即cos C＝sin C，得tan C＝.
(2)由＝，sin B＝3sin C，得b＝3c.
在△ABC中，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2 bccos A＝9c2＋c2－2×(3c)×c×＝7c2，又因为a＝，所以c＝1，b＝3，
所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝.
解：显然x＝1不满足条件，设l：y－1＝k(x－1)．
联立y－1＝k(x－1)和x2－＝1，
消去y得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由Δ＞0，得k＜，x1＋x2＝，
由M(1，1)为PQ的中点，得＝＝1，
解得k＝2，这与k＜ 矛盾，
所以不存在满足条件的直线l.
(1)证明：在Rt△ABC中，
因为EF∥BC，所以EF⊥AB，所以EF⊥EB，EF⊥EP，
又因为EB∩EP＝E，EB，EP?平面PEB，所以EF⊥平面PEB.
又因为PB?平面PEB，所以EF⊥PB.
(2)解：在平面PEB内，过点P作PD⊥BE于点D，
由(1)知EF⊥平面PEB，所以EF⊥PD，
又因为BE∩EF＝E，BE，EF?平面BCFE，所以PD⊥平面BCFE.
在平面PEB内过点B作直线BH∥PD，则BH⊥平面BCFE.
如图所示，以B为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
设PE＝x(0＜x＜4)，
又因为AB＝BC＝4，
所以BE＝4－x，EF＝x.
在Rt△PED中，∠PED＝60°，
所以PD＝x，DE＝x，所以BD＝4－x－x＝4－x，
所以C(4，0，0)，F(x，4－x，0)，P.
从而＝(x－4，4－x，0)，＝.
设n1＝(x0，y0，z0)是平面PCF的一个法向量，
所以即
所以
取y0＝1，得n1＝(1，1，)是平面PFC的一个法向量．
又平面BFC的一个法向量为n2＝(0，0，1)，
设二面角P-FC-B的平面角为α，
则cos α＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
因此当点E在线段AB上移动时，二面角P-FC-B的平面角的余弦值为定值，且定值为.