陕西省黄陵中学高新部2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版）

黄陵中学高新部2019~2020学年第一学期
高一期末数学试题
一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共6分）
1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　)
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)
A．圆柱　 B．圆 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体
3．如图，直观图所表示的平面图形是(　　)
A.正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形
4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？(　　)
5．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l(　　)
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
6．如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A. B. C. D.
8．已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C在同一条直线上，则k的值为(　　)
A.12 B． 9 C．－12 D．9或12
9．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A．m∥l　　　　B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
10．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为(　　)
A．3 B4 C．5 D．6
11．P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为(　　)
A.(1,2) B．(2,1) C.(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
12．若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为(　　)
A.(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y±)2＝3
C.(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y±)2＝4
二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
13.若函数f(x)＝则f(f(－1))＝
14．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．
15．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_______个平面．
16．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17.（10分）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
18．（14分）设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)， 且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
19．（14分）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
20．（14分）如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面．
(1)求证：EA⊥EC；
(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.
求证：EF∥AB.
21．（14分）已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：
(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值：
(1) l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2) l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
22．（14分）已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6分，
1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　)
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
答案：C
2用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)
A．圆柱　　　　　　 B．圆锥
C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体
答案：C
.
　3如图，直观图所表示的平面图形是(　　)
A.正三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．直角三角形
．答案　D
　4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？(　　)
答案　D

．5．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l(　　)
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
答案　C
6． .如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案　B
71.直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
．
　8．4.已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C在同一条直线上，则k的值为(　　)
A.12 B．9 C．－12 D．9或12
答案A
　9．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A．m∥l　　　　B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
答案：C
．
10．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为(　　)
_
A．3 B4 C．5 D．6
．
解析：因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，
所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．
答案：B
　11．P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为(　　)
A.(1,2) B．(2,1)
C.(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
答案　C
　12．若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为(　　)
A.(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y±)2＝3
C.(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y±)2＝4
答案　D
解析　因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(1－2)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±，选D.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
13. 若函数f(x)＝则f(f(－1))＝2
14．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为14π________．
　15．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定1或4________个平面．

　16．　过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________________．
y＝－x或x－y＋8＝0
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17.（10分）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，
且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.
所以F(x)＝
所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
18．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
2．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解：(1)因为f(1)＝2，
所以loga4＝2(a＞0，a≠1)，
所以a＝2.
由得－1＜x＜3，
所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]
＝log2[－(x－1)2＋4]，
所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2
．
19．（12分）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，
所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面．
(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，
因为EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1AB，
所以A1GEB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.
因为A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.

20．（12分）如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面．
(1)求证：EA⊥EC；
(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.
求证：EF∥AB.
证明(1)∵E是半圆上异于A，B的点，
∴AE⊥EB.
又∵平面ABCD⊥平面ABE，
平面ABCD∩平面ABE＝AB，CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABE.
又∵AE?平面ABE，
∴CB⊥AE.
∵BC∩BE＝B，
∴AE⊥平面CBE.
又∵EC?平面CBE.
∴AE⊥EC.
(2)∵CD∥AB，AB?平面ABE.
∴CD∥平面ABE.
又∵平面CDE∩平面ABE＝EF.
∴CD∥EF.
又∵CD∥AB.
∴EF∥AB.
．
　
21．（12分）4.已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值：
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解　(1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.
若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.
∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.
又∵l1过点(－3，－1)，
∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，
∴此种情况不存在，∴k2≠0，
即k1，k2都存在．∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，
∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.①
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②联立，解得a＝2，b＝2.
(2)∵l2的斜率存在且l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，
k1＝k2，即＝1－a.③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，④
联立③④，解得或
∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
22．（12分）已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
(1)证明：圆C1的圆心为C1(1，3)，半径r1＝，圆C2的圆心为C2(5，6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，所以|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．
(2)解：圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减，得4x＋3y－23＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5，6)到直线4x＋3y－23＝0的距离为＝3，故公共弦长为2＝2.