人教版数学九年级下册?同步课时训练
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
自主预习 教材感知
要点 特殊角的三角函数值及有关计算、由三角函数值求特殊角
1. 30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值如下：sin30°＝ ，sin45°＝，sin60°＝ ；cos30°＝，cos45°＝ ，cos60°＝；tan30°＝，tan45°＝ ，tan60°＝.
2. 在0°～90°之间，锐角A的正弦值随角度的增大(减小)而 ，锐角A的余弦值随角度的增大(减小)而 ，锐角A的正切值随角度的增大(减小)而 ．
课后集训 巩固提升
1. cos60°的值等于( )
A．1 B. C. D.
2. 2sin45°的值等于( )
A．1 B. C. D．2
3. 计算：cos245°＋tan60°·cos30°等于( )
A．1 B. C．2 D.
4. 在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则tanC的值是( )
A. B. C．1 D.
5. 已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
6. 若α为锐角，且2cos(90°－α)＝，则α的值为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
7. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝，则∠2的度数为( )
A．120° B．135° C．145° D．150°
8. 在△ABC中，∠C＝90°，若cosB＝，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
9. 在锐角△ABC中，若|sinA－|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是( )
A．45° B．60° C．75° D．30°
10. 计算：sin60°·cos30°－＝ ．
11. 用“＜”连接tan30°，sin60°，cos60°的不等式是 .
12. 若tan(x＋10°)＝1，则锐角x的度数为 ．
13. ∠B是Rt△ABC的一个内角，且sinB＝，则cos＝ ．
14. 小虎在计算M＋2sin30°时，因为粗心把“＋”看成了“－”，结果得2078，那么计算M＋2sin30°的正确结果为 .
15. 计算：
(1)sin60°－cos45°＋；
(2)－；
(3)2sin45°－(π＋1)0＋＋||－1.
16. 如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，∠A＝60°，求BC的长．
17. 如图，AD是△ABC的高，AC＝12cm，∠BAD＝30°，∠DAC＝45°，求AB.
18. 已知直角三角形两个锐角的正弦sinA，sinB是方程2x2－2x＋1＝0的两个根，求∠A，∠B的度数．
19. 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°＝，cos30°＝，则sin230°＋cos230°＝ ；①
sin45°＝，cos45°＝，则sin245°＋cos245°＝ ；②
sin60°＝，cos60°＝，则sin260°＋cos260°＝ ；③
……
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝ ．④
(1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
(2)已知：∠A为锐角(cosA>0)且sinA＝，求cosA.
20. 如图所示，在等腰△ABC中，一腰上的高为，这条高与底边的夹角的正弦值为，求△ABC的面积．
21. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长．
参 考 答 案
自主预习 教材感知
要点 1. 1 2. 增大(减小) 减小(增大) 增大(减小)
课后集训 巩固提升
1. D 2. B 3. C 4. D 5. A 6. C 7. B 8. A 9. C
10.
11. cos60°12. 20°
13.
14. 2080
15. 解：(1)原式＝2.5.
(2)原式＝2－.
(3)原式＝＋.
16. 解：过点C作CD⊥AB于点D．在Rt△ADC中，∵cosA＝，sinA＝，∴AD＝AC·cosA＝2×cos60°＝1，CD＝AC·sinA＝2×sin60°＝.在Rt△BDC中，BD＝AB－AD＝4－1＝3，∴BC＝＝＝＝2.
17. 解：∵AD是高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，cos∠DAC＝，∴AD＝AC·cos45°＝12×＝6(cm)．在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴AB＝＝＝4(cm)．
18. 解：由2x2－2x＋1＝0，得x2－x＋＝0，∴＝0，∴x1＝x2＝.∵sinA＝sinB＝，∴∠A＝∠B＝45°.
19. 解：1 1 1 1
(1)过点B作BH⊥AC于点H，则BH2＋AH2＝AB2，sinA＝，cosA＝.∴sin2A＋cos2A＝＋＝＝1.
(2)∵sin2A＋cos2A＝1，sinA＝，∴cos2A＝1－()2＝，∵cosA>0，∴cosA＝.
20. 解：由题意，在△ABC中，AB＝AC，过B作BD⊥CA的延长线交于点D，则BD＝，sin∠DBC＝∴∠DBC＝60°，∴∠ACB＝30°. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠DAB＝60°.在Rt△ABD中，sin∠DAB＝，即＝，AB＝2，∴AC＝2.∴S△ABC＝AC·BD＝×2×＝.
21. 解：如图，分别过点B，C作FC，AB的垂线，垂足分别为点P，Q，∵在Rt△ACB中，∠A＝45°，AC＝12，∴AB＝12×＝24，∴CQ＝QB＝BP＝PC＝12，∵∠F＝90°，∠E＝30°，则∠BDP＝60°，∴在Rt△BDP中，tan60°＝，∴DP＝＝4，∴CD＝12－4.
