人教版数学九年级下册?同步课时训练
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.2 应用举例
第2课时 方位角、坡度与解直角三角形
自主预习 教材感知
要点1 解与方位角有关的问题
指北或指南方向线与目标方向线所成的 的角叫做方位角．解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角函数解决问题．
要点2 解与坡度有关的问题
坡面的 与 之比叫做坡度(或坡比)，记作i.其中坡度(或坡比)是坡角的 ．解决坡度的实际问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割为直角三角形和矩形来解决问题．
课后集训 巩固提升
1. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是( )
A．15海里 B．30海里 C．45海里 D．30海里
2. 如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是( )
A．15km B．15km C．15(＋)km D．5(＋3)km
3. 如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高BC为2m，则斜坡AB的长是( )
A．2m B．2m C．4m D．6m
4. 河堤的横断面如图所示，堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米，那么斜坡的坡度i是( )
A．1∶3 B．1∶2.6 C．1∶2.4 D．1∶2
5. 如图，有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6m，下底长为10m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为( )
A．1∶，60° B．1∶，30° C．1∶，60° D．1∶，30°
6. 如图，机器人从A点出发，沿着西南方向行了4m到达B点，在点B处观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则OA＝ ．(结果保留根号)
7. 一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为 海里/小时．
8. 如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A，B，C，D，F，G在同一个平面上，则此时小船C到岸边的距离CA的长为 米．(结果保留根号)
9. 如图，在一次红、蓝方军事对抗演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方．求拦截点D处到公路的距离．(结果保留根号)
10. 如图，在海岸边有一港口O.已知小岛A在港口O北偏东30°的方向，小岛B在小岛A正南方向，OA＝60海里，OB＝20海里．计算：
(1)小岛B在港口O的什么方向？
(2)求两小岛A，B的距离．
11. 如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i＝1∶的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE.求旗杆AB的高度．(参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈.计算结果保留根号)
12. 某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN 所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，且PE长为30米．
(1)求两渔船M，N之间的距离；(结果精确到1米)
(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比计划提前20天完成加固任务．施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)
参 考 答 案
自主预习 教材感知
要点1 小于90°
要点2 铅直高度 水平宽度 正切值
课后集训 巩固提升
1. B 2. D 3. B 4. C 5. A
6. (4＋)m
7. (＋)
8. (8－)
9. 解：如图，过点C分别作CE⊥AB于点E，作CF⊥AD于点F.在Rt△BCE中，BC＝1000m，∠CBE＝30°，∴CE＝BC＝500m.∴AF＝500m.在Rt△CDF中，CD＝1000，∠DCF＝45°，∴DF＝CD·sin∠DCF＝1000×＝500(m)，∴AD＝AF＋DF＝500＋500(m)．∴拦截点D处到公路的距离为(500＋500)米．
10. 解：如图，过点O作OC⊥AB交AB的延长线于点C.
(1)在Rt△OAC中，∵∠AOC＝60°，∴cos60°＝，∴OC＝OA＝×60＝30(海里)．在Rt△OBC中，∵cos∠BOC＝＝＝，∴∠BOC＝30°.∴小岛B在港口O的北偏东60°方向．
(2)由(1)知∠AOB＝∠BAO＝30°，∴AB＝OB＝20(海里)．∴两小岛A，B的距离为20海里．
11. 解：如图，延长ED交BC的延长线于点F，则∠CFD＝90°，∵tan∠DCF＝i＝＝，∴∠DCF＝30°，∵CD＝4米，∴DF＝CD＝2米，CF＝CD·cos∠DCF＝4×＝2米，∴BF＝BC＋CF＝2＋2＝4米，过点E作EG⊥AB于点G，则GE＝BF＝4米，GB＝EF＝ED＋DF＝1.5＋2＝3.5米，又∵∠AED＝37°，∴AG＝GE·tan∠AEG＝4·tan37°，则AB＝AG＋BG＝4·tan37°＋3.5＝(3＋3.5)米．∴旗杆AB的高度为(3＋3.5)米．
12. 解：(1)在Rt△PEN中，EN＝PE＝30米．在Rt△PEM中，ME＝＝≈50(米)，∴MN＝EM－EN＝20米．∴两渔船M，N之间的距离约为20米．
(2)过点D作DF⊥AH交直线AH于点F.由题意：tan∠DAB＝4，tan∠H＝.在Rt△DAF中，AF＝＝＝6(米)．在Rt△DHF中，HF＝＝＝42(米)．AH＝HF－AF＝42－6＝36(米)．∴S△ADH＝×AH×DF＝432平方米，∴需要填筑的土石方的体积为：V＝S×L＝432×100＝43200(立方米)．设原计划平均每天填x立方米，则原计划用天完成．增加机械设备后，平均每天填筑2x立方米．∴2x·＋10x＝43200，解得，x＝864.经检验：x＝864是原分式方程的解，且满足实际意义．∴施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．
