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《18.1.2平行四边形的判定（2）》导学案
教学目标 1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算3.经历探索、猜想、证明三角形中位线性质定理的过程,进一步发展推理论证的能力.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论.进一步发展推理论证的能力,感悟几何学的推理方法.
重点难点 重点：理解和运用三角形中位线的性质难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）
教学过程
知识回顾 1、什么是三角形的中线？ 画出下列三角形的中线3、任意一个三角形有几条中线？它们有什么位置关系？
新知讲解 （ppt3-9页） 探究思考 请同学们按要求画图：画任意△ABC中，画AB、AC边中点D、E，连接DE． 定义：像DE这样，连接三角形两边_______的线段叫做三角形的_______． 通过你的画图，尝试回答下列问题： 问题1：一个三角形有几条中位线？ 问题2：三角形中位线与三角形中线有什么区别？ 问题3：如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？ 猜想： 三角形的中位线______于三角形的第三边，并且等于第三边的______． 根据上述命题画出图形，写出求证、证明、完成过程 ●归纳:(1)三角形中位线的定理:三角形的中位线____于第三边,且等于第三边的____. (2)符号表示:如图,∵线段DE是△ABC的中位线.∴______且_______.
巩固练习（ppt10-11页） 如下图，△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，BC=10cm，则DE=_________. 2、如上图，△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°,∠B=70°,则∠AE D=________。3、已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是________cm.4、一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是________cm．
例题讲解（ppt12-14页） 例1：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E. 求证：四边形DGFE是平行四边形.例2：如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？例3：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
当堂检测 1.如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（ ）A．50° B．40° C．30° D．20° 2.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）A．12 B．14 C．24 D．213.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 4.如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.
小结反思 本节课你学会了什么有什么收获？
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《18.1.2平行四边形的判定（2）》导学案
教学目标 1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算3.经历探索、猜想、证明三角形中位线性质定理的过程,进一步发展推理论证的能力.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论.进一步发展推理论证的能力,感悟几何学的推理方法.
重点难点 重点：理解和运用三角形中位线的性质难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）
教学过程
知识回顾 1、什么是三角形的中线？ 画出下列三角形的中线3、任意一个三角形有几条中线？它们有什么位置关系？ 如果是三角形两边的中点连起来的线段又叫什么，又有什么特别之处呢？这一节我们就来探究.
新知讲解 （ppt3-9页） 探究思考 请同学们按要求画图：画任意△ABC中，画AB、AC边中点D、E，连接DE． 定义：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 通过你的画图，尝试回答下列问题： 问题1：一个三角形有几条中位线？ 问题2：三角形中位线与三角形中线有什么区别？ 问题3：如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？ 分析：两条线段的关系：位置关系和数量关系。通过观察下列视频，让学生总结出二者的数量关系和位置关系。（教师播放PPT视频展示） 猜想： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 根据上述命题画出图形，写出求证、证明、完成过程 如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC． 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同） 方法2：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．●归纳:(1)三角形中位线的定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. (2)符号表示:如图,∵线段DE是△ABC的中位线.∴DE∥BC且DE=BC.
巩固练习（ppt10-11页） 如下图，△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，BC=10cm，则DE=_________.答案：5cm 2、如上图，△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°,∠B=70°,则∠AE D=________。答案：6003、已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是________cm.答案：64、一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是________cm．答案：270
例题讲解（ppt12-14页） 例1：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E. 求证：四边形DGFE是平行四边形.证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC，且DE=BC，同理，GF∥BC，且GF=BC，∴DE∥GF且DE=GF，四边形DGFE是平行四边形． 例2：如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？∵M，N分别为AC、BC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴AB=2MN;由M、N分别是AC、BC的中点可知，MN是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理解答即可． 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于第三边的一半 例3：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点， ∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线， ∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC， ∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形， ∵PM∥AB，PN∥DC， ∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°， ∴∠MPN=∠MPD+(180°?∠NPB)=130°， ∴∠PMN=(180°?130°)÷2 =25°．
当堂检测 1.如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（ ）BA．50° B．40° C．30° D．20° 2.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）AA．12 B．14 C．24 D．213.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 证明：取AC的中点F，连接BF. ∵BD＝AB， ∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF. ∵E为AB的中点，AB＝AC， ∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB. ∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB, ∴CE＝BF， ∴CD＝2CE.4.如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形. 证明：如图，连接BD. ∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点， ∴EH是△ABD的中位线， FG是△BCD的中位线， ∴EH∥BD且EH= BD， FG∥BD且FG=BD， ∴EH∥FG且EH=FG， ∴四边形EFGH为平行四边形.
小结反思 本节课你学会了什么有什么收获？
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(共22张PPT)
18.1.2平行四边形的判定（2）
人教版 八年级下
知识回顾
1、什么是三角形的中线？
2、画出下列三角形的中线.
3、任意一个三角形有几条中线？它们有什么位置关系？
连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线
有3条中线，都交于1点，交于三角形内部
如果是三角形两边的中点连起来的线段又叫什么，又有什么特别之处呢？
新知讲解
探究思考
请同学们按要求画图：
画任意△ABC中，画AB、AC边中点D、E，连接DE．
定义：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
新知讲解
探究思考
问题1：
一个三角形有几条中位线？
F
三条
问题2：
三角形中位线与三角形中线有什么区别？
D
端点不同
新知讲解
探究思考
问题3：
如图，DE是△ABC的中位线，
DE与BC有怎样的关系？
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
？
新知讲解
DE∥BC，且DE= BC .
猜想：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
新知讲解
符号“ ”表示平行且等于
证明：延长DE到点F，使EF=DE,连接FC，DC，AF.
∵AE=EC，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴ DE∥BC，且DE= BC
证
法
1：
新知讲解
证明：
延长DE到F，使EF=DE．
F
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴△ADE≌△CFE．
∴∠ADE=∠F
连接FC．
∵∠AED=∠CEF，AE=CE，
证法2：
新知讲解
三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
这个定理提供了证明线段平行以及
线段成倍分关系的根据.
巩固练习
1、如下图，△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，BC=10cm，则DE= .
5cm
2、如上图， △ABC中,D、E分别是AB、
AC的中点，∠A=50°, ∠B=70°,则∠AE
D= 。
60°
巩固练习
3、已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是?? ?? cm.
4、一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是?? ________ ?cm．
6
270
例题讲解
例1：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E.
求证：四边形DGFE是平行四边形.
∴四边形DGFE是□
证明：
例题讲解
A
B
C
测出MN的长，就可知A、B两点的距离
M
N
分别找出AC和BC的中点M、N.
若MN=36 m，则AB=
2MN=72 m
例2： 如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？
类似的做法，操作第二次
例题讲解
例3：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，
∴∠MPN=∠MPD+(180°?∠NPB)=130°，
∴∠PMN=(180°?130°)÷ 2 =25°．
当堂检测
1.如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．40°
C．30° D．20°
B
当堂检测
2.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．12 B．14
C．24 D．21
A
当堂检测
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.
F
课堂检测
4.如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．
求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明：如图，连接BD.
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，
∴EH是△ABD的中位线， FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD且EH= BD， FG∥BD且FG= BD，
∴EH∥FG且EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形.
课堂总结
1.三角形的中位线定义.
2.三角形的中位线定理.
3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三边的关系，而且给出了他们的数量关系，在三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线.
4.线段的倍分要转化为相等问题来解决.
5.三角形的中位线定理的发现过程所用到的数学方法（包括画图、实验、猜想、分析、归纳等.)
作业布置
教材50页5、6题
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