2019-2020学年江苏省盐城市滨海县高一上学期期末数学试卷（解析版）

2019-2020学年高一（上）期末数学试卷
一、选择题
1．已知全集A＝{1，2}，B＝{2，5}，则A∩B＝（　　）
A．{1} B．{2，5} C．{1，2，5} D．{2}
2．函数的最小正周期是（　　）
A．2π B．π C． D．
3．函数y＝log2（2x﹣2）的定义域为（　　）
A．（，+∞） B．（1，+∞） C．（，1） D．（﹣8，1）
4．若指数函数y＝（1﹣3a）x在R上为单调递增函数，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，） B．（1，+∞） C．R D．（﹣∞，0）
5．已知tanα＝，且α为第三象限角，则cos（）的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
6．下列函数中，不能用二分法求函数零点的是（　　）
A．f（x）＝2x﹣1 B．f（x）＝x2﹣2x+1
C．f（x）＝log2x D．f（x）＝ex﹣2
7．非零向量，互相垂直，则下面结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．要得到y＝sin（2x﹣）的图象，只需将y＝sin2x图象（　　）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
9．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A． B． C． D．120
10．已知f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+4x，则不等式f[f（x）]＜f（x）的解集为（　　）
A．（﹣3，0）∪（3，4] B．（﹣4，﹣3）∪（﹣1，0）∪（1，3）
C．（﹣1，0）∪（1，2）∪（2，3） D．（﹣4，﹣3）∪（1，2）∪（2，3）
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共计10分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
11．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则以下关于f（x）性质的叙述正确的是（　　）

A．最小正周期为π
B．是偶函数
C．是其一条对称轴
D．（，0）是其一个对称中心
12．设向量＝（k，2），＝（1，﹣1），则下列叙述错误的是（　　）
A．若k＜2时，则与的夹角为钝角
B．的最小值为2
C．与共线的单位向量只有一个为（，）
D．若，则k＝或
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第1个空2分，第2个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．求值lg4+lg5﹣lg2＝　 　．
14．已知向量和夹角为120°，且，，则＝　 　．
15．已知tanα＝2，则＝　 　，＝　 　．
16．已知f（x）＝sin（ω＞0），f（）＝f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝　 　．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．己知函数f（x）＝sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]．
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）求方程f（x）＝3的解．
18．（1）已知sinα+cosα＝，求sinαcosα与sin4α+cos4α的值；
（2）已知sinα+cosα＝（0＜α＜π），求sinα﹣cosα的值．
19．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，，．
（1）求CD的长；
（2）求的值．

20．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮，中国华为公司研发的A，B两种芯片都已获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y＝kxα（x＞0）（k与α都为常数），其图象如图所示．
（1）试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）函数关系式；
（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f（x）表示公司所获利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．（利润＝A芯片毛收入+B芯片毛收入﹣研发耗费资金）

21．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，2），B（3，4），C（2，1）．
（1）若O为坐标原点，是否存在常数t使得成立？
（2）设梯形ABCD，且AB∥DC，AB＝2CD，求点D坐标；
（3）若点E满足：＝1，且＝1，求点E坐标．
22．已知函数．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若g（x）＝f（x）﹣a为奇函数，求实数a的值；
（3）若关于x的方程f（2x2+2tx）+f（﹣x2﹣3+2t）＝1，在区间（0，2）上无解，求实数t的取值范围．




参考答案
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知全集A＝{1，2}，B＝{2，5}，则A∩B＝（　　）
A．{1} B．{2，5} C．{1，2，5} D．{2}
解：∵全集A＝{1，2}，B＝{2，5}，
∴A∩B＝{2}，
故选：D．
2．函数的最小正周期是（　　）
A．2π B．π C． D．
解：函数的最小正周期是T＝π，
故选：B．
3．函数y＝log2（2x﹣2）的定义域为（　　）
A．（，+∞） B．（1，+∞） C．（，1） D．（﹣8，1）
解：要使原函数有意义，则2x﹣2＞0，解得x＞1，
∴原函数的定义域为（1，+∞）．
故选：B．
4．若指数函数y＝（1﹣3a）x在R上为单调递增函数，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，） B．（1，+∞） C．R D．（﹣∞，0）
解：∵指数函数y＝（1﹣3a）x在R上为单调递增函数，
∴1﹣3a＞1，∴a＜0，
故选：D．
5．已知tanα＝，且α为第三象限角，则cos（）的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
解：∵tan＝，且α为第三象限角，∴sinα＝﹣，cosα＝﹣，
则cos（+α）＝﹣sinα＝，
故选：A．
6．下列函数中，不能用二分法求函数零点的是（　　）
A．f（x）＝2x﹣1 B．f（x）＝x2﹣2x+1
C．f（x）＝log2x D．f（x）＝ex﹣2
解：A．函数的值域为R，可以使用二分法
B．函数的值域为[0，+∞），不能使用二分法．
C．f（x）＝log2x∈R，可以使用二分法求解函数的零点；
D．f（x）＝ex﹣2的值域为（﹣2，+∞），可以使用二分法，求解函数的零点；
故选：B．
7．非零向量，互相垂直，则下面结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：∵非零向量，互相垂直，
∴||＝＝＝，
||＝＝＝，
∴||＝|，
故选：C．
8．要得到y＝sin（2x﹣）的图象，只需将y＝sin2x图象（　　）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
解：将y＝sin 2x的图象向右平移 个单位，可得y＝sin（2x﹣）的图象，
故选：D．
9．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A． B． C． D．120
解：扇形中，弧长为l＝30，直径为d＝16，
面积为S＝30×16÷4＝120；
扇形的圆心角弧度数是α＝＝＝．
故选：B．
10．已知f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+4x，则不等式f[f（x）]＜f（x）的解集为（　　）
A．（﹣3，0）∪（3，4] B．（﹣4，﹣3）∪（﹣1，0）∪（1，3）
C．（﹣1，0）∪（1，2）∪（2，3） D．（﹣4，﹣3）∪（1，2）∪（2，3）
解：∵f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，
∴当x＝0时，f（0）＝0，
下面求x∈[﹣4，0）时的f（x）的表达式，
设x∈[﹣4，0），则﹣x∈（0，4]，
又∵当x＞0时，f（x）＝﹣x2+4x，
∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+4（﹣x）＝﹣x2﹣4x，
又f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，
∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝x2+4x，
∴f（x）＝，
令f（x）＝0，解得x＝﹣4或0或4，
当x∈[﹣4，0]时，不等式f[f（x）]＜f（x），
即（x2+4x）2+4（x2+4x）＜x2+4x，
化简得（x2+4x）2+3（x2+4x）＜0，
解得x∈（﹣4，﹣3）∪（﹣1，0）；
当x∈（0，4]时，不等式f[f（x）]＜f（x），
即﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）＜﹣x2+4x，
化简得﹣（﹣x2+4x）2+3（﹣x2+4x）＜0，
解得x∈（1，3）；
综上所述，x∈（﹣4，﹣3）∪（﹣1，0）∪（1，3），
故选：B．

二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共计10分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
11．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则以下关于f（x）性质的叙述正确的是（　　）

A．最小正周期为π
B．是偶函数
C．是其一条对称轴
D．（，0）是其一个对称中心
解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，
可得A＝2，再根据?＝﹣，求得ω＝2．
再根据五点法作图可得2?+φ＝，∴φ＝﹣，
∴函数f（x）＝2sin（2x﹣），
故函数的最小正周期为＝π，故A正确；显然该函数为非奇非偶函数，故排除B；
当x＝﹣时，f（x）＝﹣2，为最小值，故x＝﹣是其一条对称轴，故C正确；
当x＝﹣时，f（x）＝1，故D错误，
故选：AC．

12．设向量＝（k，2），＝（1，﹣1），则下列叙述错误的是（　　）
A．若k＜2时，则与的夹角为钝角
B．的最小值为2
C．与共线的单位向量只有一个为（，）
D．若，则k＝或
解：当k＝﹣2时，两个向量方向相反，夹角是180°，不是钝角，所以A不正确；
＝，所以的的最小值为2，正确；
与共线的单位向量为（，）或（，）所以C不正确；
若，可得：＝2，解得则k＝2或﹣2，所以D不正确；
故选：ACD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第1个空2分，第2个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．求值lg4+lg5﹣lg2＝　1　．
解：值lg4+lg5﹣lg2＝lg＝lg10＝1．
故答案为：1
14．已知向量和夹角为120°，且，，则＝　15　．
解：＝．
故答案为：15．
15．已知tanα＝2，则＝　4　，＝　　．
解：∵tanα＝2，
∴＝＝＝4，

＝
＝
＝
＝．
故答案为：4，．
16．已知f（x）＝sin（ω＞0），f（）＝f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝　　．
解：如图所示，
∵f（x）＝sin，
且f（）＝f（），
又f（x）在区间内只有最小值、无最大值，
∴f（x）在处取得最小值．
∴ω+＝2kπ﹣（k∈Z）．
∴ω＝8k﹣（k∈Z）．
∵ω＞0，
∴当k＝1时，ω＝8﹣＝；
当k＝2时，ω＝16﹣＝，此时在区间内已存在最大值．
故ω＝．
故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．己知函数f（x）＝sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]．
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）求方程f（x）＝3的解．
解：（1）函数f（x）＝sinx+2|sinx|＝，
它的图象如图所示：
（2）方程f（x）＝3，即 sinx＝1，x∈[0，π]，
求得x＝，
故原方程的解为x＝．

18．（1）已知sinα+cosα＝，求sinαcosα与sin4α+cos4α的值；
（2）已知sinα+cosα＝（0＜α＜π），求sinα﹣cosα的值．
解：（1）∵sinα+cosα＝，
∴（sinα+cosα）2＝sin2α+cos2α+2sinαcosα＝1+2sinαcosα＝2，
解得sinαcosα＝，
sin4α+cos4α＝（sin2α+cos2α）2﹣2sin2αcos2α＝1﹣2×＝．
（2）∵sinα+cosα＝（0＜α＜π），
∴（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，
∴2sinαcosα＝﹣，
∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1+＝，
∵0＜α＜π，2sinαcosα＝﹣，
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα﹣cosα＝＝．
19．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，，．
（1）求CD的长；
（2）求的值．

解：（1）∵，
∴，
∴，
∴＝，即CD的长为；
（2）＝，
∴＝．
20．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮，中国华为公司研发的A，B两种芯片都已获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y＝kxα（x＞0）（k与α都为常数），其图象如图所示．
（1）试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）函数关系式；
（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f（x）表示公司所获利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．（利润＝A芯片毛收入+B芯片毛收入﹣研发耗费资金）

解：（1）因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设为y＝k1x，
且x＝1时，y＝，代入解得k1＝，则生产A芯片的毛收入y＝x；
将（1，1），（4，2）代入y＝kxa，得，解得，
所以，生产B芯片的毛收入为y＝．
（2）公司投入4亿元资金同时生产A、B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，则投入（40﹣x）千万元资金生产A芯片，
公司所获利润f（x）＝+﹣4＝﹣（﹣2）2+9，
故当，即x＝4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元．
21．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，2），B（3，4），C（2，1）．
（1）若O为坐标原点，是否存在常数t使得成立？
（2）设梯形ABCD，且AB∥DC，AB＝2CD，求点D坐标；
（3）若点E满足：＝1，且＝1，求点E坐标．
解：（1）假设存在常数t使得成立，则（﹣1，2）+t（3，4）＝（3t﹣1，4t+2）＝（2，1），
则，解得，
故假设不成立，即不存在常数t使得成立；
（2）设D（x，y），则，由AB∥DC可知，4（y﹣1）﹣2（x﹣2）＝0，即x＝2y①，
由AB＝2CD可得，②，
由①②可得，或，即D（6，3）或D（﹣2，﹣1）；
（3）设E（a，b），则，
依题意，，解得或，
故点E的坐标为或．
22．已知函数．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若g（x）＝f（x）﹣a为奇函数，求实数a的值；
（3）若关于x的方程f（2x2+2tx）+f（﹣x2﹣3+2t）＝1，在区间（0，2）上无解，求实数t的取值范围．
解：（1）函数f（x）的定义域R，
若x∈R，4x＞0，4x+1＞1，，
所以函数f（x）的值域为（0，1）．
（2）g（x）＝f（x）﹣a＝，
因为函数f（x）定义域R且为奇函数，
所以f（0）＝0，，解得a＝．
（3）f（x）+f（﹣x）＝
＝＝
＝＝1，
所以若关于x的方程f（2x2+2tx）+f（﹣x2﹣3+2t）＝1，在区间（0，2）上无解，
则（2x2+2tx）+（﹣x2﹣3+2t）＝0，在区间（0，2）上无解，
x2+2tx﹣3+2t＝0在区间（0，2）上无解，
t＝在区间（0，2）上无解，
y＝t与h（x）＝在区间（0，2）上无交点，
在区间（0，2）上，h′（x）＝＜0，h（x）＝递减，
h（0）＝，h（2）＝﹣，
所以实数t的取值范围t＜﹣，或t＞．