2019-2020学年数学新人教A版必修4学案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义Word版含答案

2．4．1平面向量数量积的物理背景及其含义
一、三维目标
知识与技能：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件。
过程与方法：通过数量积的学习，使学生掌握向量的数量积及其运算，及数形结合的思想。
情感态度与价值观：培养学生应用意识。
二、学习重、难点：
重点：平面向量的数量积定义。
难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。
三、学法指导：本节学习的关键是理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加对于平面向量数量积的认识。主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的重要性质；平面向量数量积的运算律。
四、知识链接：
力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角。
两个非零向量夹角的概念
已知非零向量与，作＝，，则叫与的夹角。
（1）当时，与同向；
（2）当时，与反向；
（3）当时，与垂直，记；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0?≤?≤180?
五、学习过程：
问题1.平面向量数量积（内积）的定义：
并规定与任何向量的数量积为0。
说明：两个向量的数量积与向量同实数积区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定。
（2）两个向量的数量积称为内积，写成；书写时要严格区分符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替。
（3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中若，且，不能推出因为其中cos?有可能为0。
问题2.“投影”
问题3.向量的数量积的几何意义：
问题4.由向量数量积的定义，能得到哪些结论：
设、为两个非零向量，则
A例1. 已知,， 与的夹角，求.
A问题5.平面向量数量积的运算律:
说明：（1）一般地，
（2）
A例2证明：

有如下常用性质：.
B例3 已知,， 与的夹角为求.
B例4 已知,， 且与不共线，k为何值时，向量与互相垂直。
六、达标检测：
B1.已知，，且与垂直，则与的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.
B2已知，，，则______， 。
B3.已知向量、的夹角为，，，则 。
B4.已知，a-b=-8i+16j，其中是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么= 。
B5.已知，，(1)若∥，求；(2)若、的夹角为，求.
B6. 设，，且与垂直，则＝ 。
七、学习小结：
1平面向量的数量积及其几何意义。
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。
3.平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题。
八、课后反思：
2．4．1平面向量数量积的物理背景及其含义
例1 a·b= -10
例2
证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
(ａ—ｂ)（a+b）＝ａ２—ｂ２
(ａ＋ｂ)２＝(ａ＋ｂ) (ａ＋ｂ)= ａ·ａ+ａ·ｂ+ｂ·ａ+ｂ·ｂ=ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
(ａ—ｂ)（a+b）=ａ·ａ-ａ·ｂ+ｂ·ａ+ｂ·ｂ=ａ２—ｂ２
例3 (a+2b)·(a-3b)=-72
例4
解：向量a+kb与a-kb互相垂直的条件是：（a+kb）·（a-kb）=0
即ａ２—k２ｂ２=0
∵ ａ２ = 9 ｂ２ = 16 ∴9-16 k２=±
【达标检测】
1 D
2 |a+b|=______，|a-b|= .
3. |a+b|·|a-b|= .
4. a·b= -63 .
5 (1)± (2)
7.λ＝ ± .