26.2.3 用概率解说游戏的公平性(自主预习+课后集训+答案)

沪科版数学九年级下册同步课时训练
第26章 概率初步
26.2　等可能情形下的概率计算
第3课时　用概率解说游戏的公平性
要点测评 基础达标
要点1　利用概率考察游戏的公平性
1. 小明和小丽做掷硬币(质量均匀)游戏.规则是：连掷四次硬币，当其中有三次结果相同时，小明获胜；当恰有两次结果相同时，小丽获胜，其他情况不计输赢.则这个规则对　 有利.?
2. 甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张.若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽的两张牌面数字的积为偶数，则乙获胜.这个游戏　 　 .(填“公平”或“不公平”)
3. 如图，有A，B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字.现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后(当指针指在边界线上时视为无效，重转)，若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P(x，y).
记S=x＋y.
(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；
(2)李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S<6时甲获胜，否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗?对谁有利?

4. 一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同.
(1)从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；
(2)甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字.若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙羸.请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平.
要点2　利用概率修改不公平的游戏规则
5. 一个不透明的口袋里装有红、黄、绿三种颜色的小球(除颜色不同外其余都相同)，其中红球2个(分别标有1号、2号)，黄球1个，从中任意摸出1球是绿球的概率是 .
(1)试求口袋中绿球的个数；
(2)小明和小刚玩摸球游戏：第一次从口袋中任意摸出1球(不放回)，第二次再摸出1球.两人约定游戏胜负规则如下：摸出“一绿一黄”，则小明赢；摸出“一红一黄”，则小刚赢.你认为这种游戏胜负规则公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由；若你认为不公平，请修改游戏胜负规则，使游戏变得公平.
6. 有一个摸球游戏：将红、黄、蓝三个除颜色外完全相同的小球放入不透明的盒子中，游戏者从中随机摸出一球，记下颜色后放回盒中，充分摇匀，再随机摸出一球并记下颜色.游戏规则是：如果摸得的两球颜色相同，那么游戏者获胜；否则，游戏者失败.这是一个公平的游戏吗?若公平，请说明理由；若不公平，请修改规则，使之成为一个公平的游戏.
课后集训 巩固提升
7. 在联欢会上，有A，B，C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的(　 　)
A. 三边中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点
8. 小明和小亮做游戏，先是各自背着双方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定：若两个人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明胜，若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜，这个游戏(　 　)
A. 对小明有利 B. 对小亮有利
C. 公平 D. 无法确定
9. 小宏和小倩抛硬币游戏，规定：将一枚硬币连抛三次，若三次正面都朝上则小宏胜，若三次中只有一次正面朝上则小倩胜，你认为这种游戏公平吗(　 　)　
A. 公平 B. 小倩胜的可能大
C. 小宏胜的可能大 D. 以上答案都错
10. 某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球.甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜.甲摸出的球放回袋中后，乙再从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜.要想游戏对甲乙双方公平则x为(　 　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
11. 小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：
抛出两个正面，则小明赢1分；抛出其他结果，则小刚赢1分；
谁先到10分，谁就获胜.
这是个不公平的游戏规则，要把它修改成公平的游戏，下列做法中错误的是(　 　)
A. 把“抛出两个正面”改为“抛出两个面相同”
B. 把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”
C. 把“小明赢1分”改为“小明赢3分”
D. 把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”
12. 某人设摊“摸彩”，只见他手持一袋内装大小、质量完全相同的3个红球，2个白球，每次让顾客“免费”从袋中摸出两球，如果两球的颜色相同，顾客得10元钱，否则顾客付给这人10元钱，请你判断一下该活动对顾客　 　(填“合算”或“不合算”).?
13. 如图所示，有三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形，将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地同时抽取两张纸片，若可以拼成一个圆形(即取出的两张纸片都画有半圆形)则甲方赢；若可以拼成一个蘑菇形(取出的一张纸片画有半圆，一张纸片画有正方形)则乙方赢，问甲方赢的概率是　　 ，此游戏　 　取胜的概率大.
14. “五·一”假期，某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票.其中A地20张，B地40张，C地30张，D地10张.
(1)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么员工小胡抽到去A地的概率是多少?
(2)若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否定给小李”.试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平?
15. 小红和小明在操场做游戏，规则是：每人蒙上眼睛在一定距离外向设计好的图形内掷小石子，若掷中阴影部分则小红胜，否则小明胜，未掷入图形内则重掷一次.
(1)若第一次设计的图形(图1)是半径分别为20 cm和30 cm的同心圆.求游戏中小红获胜的概率，你认为游戏对双方公平吗?请说明理由.
(2)若第二次设计的图形(图2)是两个矩形，其中大矩形的长为80 cm，宽为60 cm，且小矩形到大矩形的边宽相等.要使游戏对双方公平，则边宽x应为多少cm?

图1 图2
参 考 答 案
1. 小明　【解析】画树状图得
所以连掷四次硬币共16种等可能情况，其中有三次结果相同的有8种情况，恰有两次结果相同有6种情况，所以P(小明获胜)==，P(小丽获胜)==，所以P(小明获胜)>P(小丽获胜)，所以这个规则对小明有利.
2. 不公平　【解析】画树状图如图
共有9种等可能结果，积为奇数的有4种，积为偶数的有5种，故P(甲胜)=，P(乙胜)=，因为≠，故这个游戏不公平.
3. 解：(1)列表：
　　y
x　　
2
4
6
1
(1，2)
(1，4)
(1，6)
2
(2，2)
(2，4)
(2，6)
3
(3，2)
(3，4)
(3，6)
4
(4，2)
(4，4)
(4，6)
(2)因为P(甲获胜)==，P(乙获胜)==.所以这个游戏不公平，对乙有利.
4. 解：(1)因为有标号分别为1，2，3，4，5，6六个小球，所以摸到标号数字为奇数的小球的概率为=.
(2)画树状图：如图所示，共有36种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有18种，摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种.
所以P(甲赢)==，P(乙赢)==，所以这个游戏对甲、乙两人是公平的.
5. 解：(1)设绿球的个数有x个.=，解得x=1.即绿球的个数为1个.
(2)画树形图如图：
共有12种等可能情况，一绿一黄的情况有2种，小明赢的概率是=；一红一黄的情况有4种情况，那么小刚赢的概率是=；所以游戏不公平；胜负规则为：摸出“一绿一黄”的情况小明赢；摸出“两红”的情况小刚赢.
6. 解：列表得：
红
黄
蓝
红
红红
黄红
蓝红
黄
红黄
黄黄
蓝黄
蓝
红蓝
黄蓝
蓝蓝
共有9种等可能情况，两球颜色相同的有3种，颜色不同的有6种，所以游戏者获胜的概率为=，游戏者失败的概率为=，因为≠，所以不公平.
可以修改为：若两球颜色相同时，游戏者得6分，不同时游戏者得3分，这样就是一个公平的游戏了.
7. B　【解析】因为三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，所以凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当.故选B.
8. C　【解析】小明和小亮所写的数共有四种结果：“偶偶，偶奇，奇奇，奇偶”，所以两个都是奇数或偶数的概率是=，两个数一个是奇数，一个是偶数的概率是=.故选C.
9. B　【解析】画树状图，如图所示：
所有等可能的情况数有8种，其中三次正面都朝上的有1种情况，只有一次正面朝上的情况有3种，所以P(小宏获胜)=，P(小倩获胜)=，因为<，则该游戏不公平，小倩胜的可能大.故选B.
10. B　【解析】根据题意得=，即2x=20－x－2x，解得x=4.故选B.
11. D　【解析】画树状图得，
因为P(正，正)=，则出现其他结果的概率为.D选项中，小明平均得分，小刚平均得×3=分，显然不公平.故选D.
12. 不合算　【解析】画树状图得，
共有20种等可能的结果，两球的颜色相同的有8种情况，所以P(顾客得10元钱)==，P(顾客付给这人10元钱)==，因为P(顾客得10元钱)13. 　乙　【解析】根据游戏规则可知，从三张大小相同的纸片中随机地同时抽取两张纸片，共3种情况：可以拼成一个圆形的有1种，可以拼成一个蘑菇形有2种，故乙取胜的概率大于甲取胜的概率，故这个游戏不公平，且甲方赢的概率是.
14. 解：(1)小胡抽到去A地的概率为=.
(2)不公平.画树状图法说明(如图)，
由此可知，共有16种等可能结果.其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种，所以小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为=.则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为1－=，≠，所以不公平.
15. 解：根据题意得，小红获胜的概率就是阴影部分面积与总面积的比值，小明获胜的概率就是阴影之外的部分面积与总面积的比值.
(1)P(小红获胜)=，P(小明获胜)=，所以游戏对双方不公平.
(2)根据题意可得(80－2x)(60－2x)=2 400，即x2－70x＋600=0，所以x1=10，x2=60(不符合题意，舍去)所以边宽x为10 cm时，游戏对双方公平.