4.2全等三角形
一、全等形
1、全等形的概念：能够完全________的两个图形叫做全等形.
2、全等三角形：能够完全重合的两个________叫做全等三角形.
注意：平移、________、________前后的两个图形全等.
二、全等三角形的性质
全等三角形的________相等、全等三角形的对应角________.
三、三角形全等的判定
（1）边边边定理：三边对应________的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）
（2）边角边定理：两边和它们的________对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（3）角边角定理：两角和它们的________对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（4）角角边定理：两角分别相等且其中一组等角的________相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）
（5）斜边、直角边定理：________和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
考点一：全等三角形的识别
如图所示，把△ABC沿直线BC翻折180°到△DBC，那么△ABC和△DBC_____
全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC的面积为2，那么△BDC的面积为__________.
变式跟进1如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，那么图中共有全等三角形
（
）
A.
1对
B.
2对
C.
4对
D.
8对
考点二：全等三角形的性质
如图所示，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其中线段_________的长度．
变式跟进2如图，Rt△ABC≌Rt△CED，点B、C、E在同一直线上，则结论：①AC=CD，②AC⊥CD，③BE=AB+DE，④AB∥ED，其中成立的有（ ）
A.
①
B.
①③
C.
①③④
D.
①②③④
考点三：全等三角形的判定
如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带______去玻璃店．
变式跟进3如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是(
)
A.
PC⊥OA，PD⊥OB
B.
OC=OD
C.∠OPC=∠OPD
D.
PC=PD
考点四：全等三角形与平移、旋转、轴对称
如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换.
在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.
问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.
变式跟进4全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°(如图3)，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是(
)
考点五：全等三角形与角平分线定理、线段垂直平分线定理
如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
变式跟进5如图，已知在△ABC中，∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN垂直于AB于点N，PM垂直于AC于点M，BN和CM有什么数量关系？请说明理由．
考点六：全等三角形的综合运用
如图，正方形ABCD，AB=6，点E在边CD上，CE=2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FCA=3.6，其中正确结论是_____．
变式跟进6如图，等边三角形ABC中，点D、E、F、分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC动点，△DMN为等边三角形
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．
一、选择题
1．（2017 铁岭）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长是（
）
A．1.5
B．2
C．2.4
D．2.5
2.
(2017 滨州)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，其中正确的个数为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
3．（2018 巴中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于
DE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB于点G．下列结论正确的是（ ）
A．CF=FG
B．AF=AG
C．AF=CF
D．AG=FG
4．（2018 台湾）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（ ）
A．115
B．120
C．125
D．130
5．（2018 成都）如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2019 临沂）如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是(
)
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
7．（2019 青岛）如图，
BD
是△ABC
的角平分线，
AE⊥
BD
，垂足为
F
，若∠ABC＝35°，∠
C＝50°，则∠CDE
的度数为（
）
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
8．（2019 长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是(
)
A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
二、填空题
9、（2017 黑龙江）如图，BC//EF，AC//DF，添加一个条件________，使得△ABC≌△DEF．
10、（2017 达州）△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．
11．（2018 广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=_____．
12．（2018 金华）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_____．
13．（2018 深圳）在中，，平分，平分，相交于点，且，则__________．
14．（2019 邵阳）如图，已知，请你添加一个条件，使得，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）
15．（2019 丹东）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是_____．
16．（2019 呼和浩特）下面三个命题：底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为_____．
三、解答题
17、（2017·怀化）如图，点在一条直线上，，．写出与之间的关系，并证明你的结论．
18．（2018 伊春）如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．
（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：AE=EF；
（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段AE与EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
19．（2019 泸州）如图，，和相交于点，．求证：．
20．（2019 枣庄）在中，，，于点．
（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；
（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；
（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：．
一、选择题
1．（2018·信阳模拟）如图，E、B、F、C四点在一条直线上，且EB=CF，∠A=∠D，增加下列条件中的一个仍不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．DF∥AC
B．AB=DE
C．∠E=∠ABC
D．AB∥DE
2．（2018 临沂模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若AD＝3，BE＝1，则DE＝(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2018 沈阳二模）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（ ）
A．三条高的交点
B．重心
C．内心
D．外心
4．（2018 柳州三模）如图，，，若，则PD等于
A．10
B．
C．5
D．
5．（2019 普宁模拟）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙
B．乙和丙
C．甲和丙
D．只有丙
6．（2019 广州模拟）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是( )
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
7．（2019 西安模拟）在△ABC中，∠BAC＝115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．25°
8．（2019 揭阳模拟）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，①PA平分∠BAC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．则这四个结论中正确的有(
)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二、填空题
9．（2018 山西联考）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，则∠ACF的度数为__________°．
10．（2018 厦门模拟）如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=6，AC=3，则BE=_____．
11．（2018 银川模拟）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD=BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是__．
12．（2018 山西模拟）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，则∠ACF的度数为__________°．
13．（2019 昆明模拟）小明不慎将一块三角形玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该是第______块.
14．（2019 株洲模拟）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．
15．（2019 三河模拟）如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为_____．
16．（2019 包头模拟）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是
．①BE＝CD；②∠BOD＝60 ；③△BOD∽△COE．
三、解答题
17．（2018 南通模拟）如图，△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于点D，CD=BD，BE平分∠ABC，点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G．
（1）求证：△ADC≌△FDB；
（2）求证：CE=BF；
（3）连结CG，判断△ECG的形状，并说明理由．
18．（2018 蚌埠模拟）⑴如图1，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM＝ON，过点M、N分别作MP⊥OA、NP⊥OB，MP、NP交于P，E、F分别为线段MP、NP上的点，且∠EOF＝∠AOB，延长PM到S，使MS＝NF，连接OS，则∠EOF与∠EOS的数量关系为
，线段NF、EM、EF的数量关系为
⑵如图2，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM＝ON，，
E、F分别为线段MP、NP上的点，且∠EOF＝∠AOB，⑴中的线段NF、EM、EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。
⑶如图3，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM＝ON，，
E、F分别为线段PM、NP延长线上的点，且∠EOF＝∠AOB，⑴中的线段NF、EM、EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。
19．（2019 宜宾模拟）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．
20．（2019 六安模拟）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．
174.2全等三角形
一、全等形
1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
注意：平移、翻折、旋转前后的两个图形全等.
二、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等.
三、三角形全等的判定
（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）
（2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（4）角角边定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）
（5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
考点一：全等三角形的识别
如图所示，把△ABC沿直线BC翻折180°到△DBC，那么△ABC和△DBC_____
全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC的面积为2，那么△BDC的面积为__________.
【答案】是，2
【解析】解：由题意得，△ABC和△DBC是全等图形，则△BDC的面积为2.
【点评】本题考查的是全等三角形的定义，根据全等三角形的定义即可得到结果.
变式跟进1如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，那么图中共有全等三角形
（
）
A.
1对
B.
2对
C.
4对
D.
8对
【答案】C
【解析】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠BDA=∠DBC，∠BAC=∠DCA，∠ABD=∠CDB，
又∵AC、BD为公共边，
∴△ACD≌△CAB、△BAD≌△DCB（ASA）；
∴AD=BC，AB=CD，
∴△AOD≌△COB、△AOB≌△COD（ASA）．
所以全等三角形有：△AOD≌△COB、△AOB≌△COD、△ACD≌△CAB、△BAD≌△DCB，共4对；故选B．
【点评】根据AB∥CD，AD∥BC可得到相等的角，再根据公共边AC、BD易证得：△ACD≌△CAB、△BAD≌△DCB（ASA）；由上可得AD=BC、AB=CD，再根据平行线确定的角相等可证得：△AOD≌△COB、△AOB≌△COD（ASA）．
考点二：全等三角形的性质
如图所示，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其中线段_________的长度．
【答案】PQ
【解析】∵△PQO≌△NMO，
∴PQ=MN，
∴求得MN的长，只需求得线段PQ的长，
故答案为：PQ.
【点评】本题考查了全等三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等即可得出结论.
变式跟进2如图，Rt△ABC≌Rt△CED，点B、C、E在同一直线上，则结论：①AC=CD，②AC⊥CD，③BE=AB+DE，④AB∥ED，其中成立的有（ ）
A.
①
B.
①③
C.
①③④
D.
①②③④
【答案】D
【解析】解：∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴AC=CD，①成立；
∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴∠1=∠D，
又∠2+∠D=90°，
∴∠2+∠1=90°，
即∠ACD=90°，
∴AC⊥DC，②成立；
∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴AB=EC，BC=ED，
又BE=BC+EC，
∴BE=AB+ED，③成立；
∵∠B+∠E=180°，
∴AB∥DE，④成立，
故选D．
【点评】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等对各个选项进行判断即可．
考点三：全等三角形的判定
如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带__去玻璃店．
【答案】③
【解析】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③．
【点评】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
变式跟进3如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是(
)
A.
PC⊥OA，PD⊥OB
B.
OC=OD
C.∠OPC=∠OPD
D.
PC=PD
【答案】D
【解析】试题分析：对于A，由PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理可以判定△POC≌△POD；对于B
OC=OD，根据SAS判定定理可以判定△POC≌△POD；对于C，∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理可以判定△POC≌△POD；，对于D，PC=PD，无法判定△POC≌△POD，故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定.
考点四：全等三角形与平移、旋转、轴对称
如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换.
在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.
问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.
【答案】见解析
【解析】解：把△DEF沿EF翻折180°，再将翻转后的三角形沿CB（向左）方向平移，使E与B点重合，则△ABC与△DEF重合.
相等的边为：AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF.
相等的角为：∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边、对应角相等即得判断.
变式跟进4全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°(如图3)，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是(
)
【答案】B
【解析】解：由题意知真正合同三角形和镜面合同三角形的特点，可判断要使选项B的两个三角形重合必须将其中的一个翻转180°；
而其A、C、D的全等三角形可以在平面内通过平移或旋转使它们重合．
故选B．
【点评】理解真正合同三角形和镜面合同三角形的定义，然后根据各自的定义或特点进行解答．
考点五：全等三角形与角平分线定理、线段垂直平分线定理
如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
【答案】B
【解析】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，
MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选B．
【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
变式跟进5如图，已知在△ABC中，∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN垂直于AB于点N，PM垂直于AC于点M，BN和CM有什么数量关系？请说明理由．
【答案】BN=CM，理由见解析.
【解析】试题分析：连接PB，PC，根据角平分线性质求出PM=PN，根据线段垂直平分线求出PB=PC，根据HL证Rt△PMC≌Rt△PNB，即可得出答案．
试题解析：BN=CM，理由如下：
如图，连接PB，PC，
∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，
∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，
∵P在BC的垂直平分线上，
∴PC=PB，
在Rt△PMC和Rt△PNB中，
，
∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），
∴BN=CM．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，角平分线性质等知识点，能正确地添加辅助线是解题的关键.
考点六：全等三角形的综合运用
如图，正方形ABCD，AB=6，点E在边CD上，CE=2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FCA=3.6，其中正确结论是_____．
【答案】①②③④⑤．
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，
∴DE=2，EC=4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB=AE，AG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=∠BAD=45°，所以①正确；
设BG=x，则GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，
在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，
∵CG2+CE2=GE2，
∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，
∴BG=3，CG=6﹣3=3
∴BG=CG，所以②正确；
∵EF=ED，GB=GF，
∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴CF∥AG，所以④正确；
过F作FH⊥DC
∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴=，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴△EFH∽△EGC，
∴相似比为：
=，
∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）==3.6，
连接AC，
∵CF∥AG，
∴S△FCA=S△FGC=3.6，
所以⑤正确．
故正确的有①②③④⑤，
故答案为：①②③④⑤．
【点评】先计算出DE=2，EC=4，再根据折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为，可计算S△FGC．根据同底等高的三角形的面积相等即可得到结论．
变式跟进6如图，等边三角形ABC中，点D、E、F、分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC动点，△DMN为等边三角形
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．
【答案】（1）EN=MF；
（2）成立，理由件解析；（3）MF与EN相等的结论仍然成立，理由件解析．
【解析】解：（1）EN与MF相等，
证明：连接DE、DF，
∵△ABC和△DMN为等边三角形，
∴DM=DN，∠MDN=60°，
∵点D、E、F、分别为边AB，AC，BC的中点，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠MDF=∠NDE，
在△DMF和△DNE中，
，
∴△DMF≌△DNE，
∴EN=MF；
（2）成立，
证明：连结DE，DF，EF．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC．
∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线．
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE．
在△DMF和△DNE中，
，
∴△DMF≌△DNE，
∴MF=NE；
（3）画出图形如图③所示：
MF与EN相等的结论仍然成立．
由（2）得，△DMF≌△DNE，
∴MF=NE．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定与性质定理、等边三角形的性质是解题的关键.
一、选择题
1．（2017 铁岭）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长是（
）
A．1.5
B．2
C．2.4
D．2.5
【答案】D
【解析】∵AB=5，AC=4，BC=3，∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，由作法得MN垂直平分AB，
∴AO=OB，∴OC=AB=2.5，
故选D．
2.
(2017 滨州)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，其中正确的个数为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B.
【解析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF,PM=PN,故(1)正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值,故(3)正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF NF=2OE=定值,故(2)正确，
MN的长度是变化的,故(4)错误，
故选B.
【点评】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
3．（2018 巴中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于
DE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB于点G．下列结论正确的是（ ）
A．CF=FG
B．AF=AG
C．AF=CF
D．AG=FG
【答案】A
【解析】根据作图的过程知道：EF是∠CBG的角平分线，根据角平分线的性质解答．
解：根据作图的步骤得到：EF是∠CBG的角平分线，
A、因为EF是∠CBG的角平分线，FG⊥AB，CF⊥BC，所以CF=FG，故本选项正确；
B、AF是直角△AFG的斜边，AF＞AG，故本选项错误；
C、EF是∠CBG的角平分线，但是点F不一定是AC的中点，即AF与CF不一定相等，故本选项错误；
D、当Rt△ABC是等腰直角三角形时，等式AG=FG才成立，故本选项错误；
故选：A．
【点评】考查了角平分线的性质，根据作图的步骤推知EF是∠CBG的角平分线，是解题的关键．
4．（2018 台湾）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（ ）
A．115
B．120
C．125
D．130
【答案】C
【解析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．
解：∵三角形ACD为正三角形，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，
∵AB=DE，BC=AE，
∴△ABC≌△DEA，
∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，
故选：C．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．
5．（2018 成都）如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
6．（2019 临沂）如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是(
)
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
【答案】B
【解析】根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，，即可求线段的长．
解：∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴.
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键．
7．（2019 青岛）如图，
BD
是△ABC
的角平分线，
AE⊥
BD
，垂足为
F
，若∠ABC＝35°，∠
C＝50°，则∠CDE
的度数为（
）
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
【答案】C
【解析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，
∴AB=BE，
∴AF=EF，
∴AD=ED，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-50°=45°，
故选C．
【点评】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
8．（2019 长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是(
)
A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
【答案】B
【解析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．
解：在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，
故选B．
【点评】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
二、填空题
9、（2017 黑龙江）如图，BC//EF，AC//DF，添加一个条件________，使得△ABC≌△DEF．
【答案】AB=DE或BC=EF或AC=DF
【解析】解：∵BC//EF，
∴∠ABC=∠E，
∵AC//DF，
∴∠A=∠EDF，
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF，
同理，BC=EF或AC=DF也可求证△ABC≌△DEF．
故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF均可．
【点评】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．
10、（2017 达州）△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．
【答案】1＜m＜4
【解析】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△EDC中，
∵
，
∴△ADB≌△EDC，
∴EC=AB=5，
在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，
即5﹣3＜2m＜5+3，
∴1＜m＜4，
故答案为：1＜m＜4．
【点评】作辅助线，构建△AEC，根据三角形三边关系得：EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，所以1＜m＜4．
11．（2018 广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=_____．
【答案】2
【解析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．
解：作EH⊥OA于H，
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH=EC=1，∠AOB=30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，
∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，
∴OF=EF=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12．（2018 金华）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_____．
【答案】AC=BC．
【解析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．
解：添加AC=BC，
∵△ABC的两条高AD，BE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
在△ADC和△BEC中
，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
故答案为：AC=BC．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
13．（2018 深圳）在中，，平分，平分，相交于点，且，则__________．
【答案】
【解析】由已知易得∠AFE=45°，过E作EG⊥AD，垂足为G，根据已知易得EG=FG=1，再根据勾股定理可得AE=，过F分别作FH⊥AC垂足为H，
FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，根据勾股定理可求出a=，继而可得CH=，由AC=AE+EH+HC即可求得.
解：如图，∵AD、BE分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠C=90°，∴∠2+∠3=45°，∴∠AFE=45°，
过E作EG⊥AD，垂足为G，
在Rt△EFG中，∠EFG=45°，EF=，∴EG=FG=1，
在Rt△AEG中，AG=AF-FG=4-1=3，∴AE=，
过F分别作FH⊥AC垂足为H，
FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，
设EH=a，则FH2=EF2-EH2=2-a2，
在Rt△AHF中，AH2+HF2=AF2，
即+2-a2=16，
∴a=，
∴CH=FH=，
∴AC=AE+EH+HC=，
故答案为：.
【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用等，综合性质较强，正确添加辅助线是解题的关键.
14．（2019 邵阳）如图，已知，请你添加一个条件，使得，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）
【答案】或或.
【解析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA、SAS、AAS证明两三角形全等．
解：∵
，，
∴可以添加
，此时满足SAS；
添加条件
，此时满足ASA；
添加条件，此时满足AAS，
故答案为：或或；
【点评】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．
15．（2019 丹东）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是_____．
【答案】3
【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据等边对等角的性质求出∠DAB＝∠B，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出∠B＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，然后求解即可．
解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝1，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠DAB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD+∠DAB+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝BD+CD＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，属于基础题，熟记性质是解题的关键．
16．（2019 呼和浩特）下面三个命题：底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为_____．
【答案】．
【解析】由全等三角形的判定方法得出①②正确，③不正确
解：底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确；
两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；
斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；不正确；
故答案为：．
【点评】本题考查了命题与定理、全等三角形的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
三、解答题
17、（2017·怀化）如图，点在一条直线上，，．写出与之间的关系，并证明你的结论．
【答案】证明见解析：
【解析】
解：CD与AB之间的关系是：CD=AB，且CD∥AB
证明：∵CE=BF，∴CF=BE
在ΔCDF和ΔBAE中
∴ΔCDF≌ΔBAE
∴CD=BA，∠C=∠B
∴CD∥BA
【解析】本题主要考查全等三角形的性质.
通过证明ΔCDF≌ΔABE，即可得出结论.
18．（2018 伊春）如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．
（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：AE=EF；
（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段AE与EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）AE=EF，证明见解析.
【解析】（1）如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．证明△AHE≌△EDF，根据全等三角形的性质可得AE=EF；（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，类比（1）的方法可证AE=EF；如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．类比（1）的方法可证AE=EF．
解：（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．
∵BC=AB=BD，BE=BH，
∴AH=ED，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠FED=∠HAE，
∵∠BHE=∠CDB=45°，
∴∠AHE=∠EDF=135°，
∴△AHE≌△EDF，
∴AE=EF．
（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：AE=EF
如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：AE=EF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
19．（2019 泸州）如图，，和相交于点，．求证：．
【答案】见解析.
【解析】由平行线的性质先得到，
，继而利用AAS证明，根据全等三角形的性质即可证得结论.
解：，
，
，
在和中，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
20．（2019 枣庄）在中，，，于点．
（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；
（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；
（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：．
【答案】(1)
；(2)见解析；(3)见解析.
【解析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到
AD＝BD＝DC＝
，求出
∠MBD＝30°，根据勾股定理计算即可；
（2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明；
（3）过点
M作
ME∥BC交
AB的延长线于
E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性质得到
BE＝AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．
解：（1）解：，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，，即，
解得，，
；
（2）证明：，，
，
在和中，
，
；
（3）证明：过点作交的延长线于，
，
则，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形
的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
一、选择题
1．（2018·信阳模拟）如图，E、B、F、C四点在一条直线上，且EB=CF，∠A=∠D，增加下列条件中的一个仍不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．DF∥AC
B．AB=DE
C．∠E=∠ABC
D．AB∥DE
【答案】B
【解析】由EB=CF可求得EF=BC，结合∠A=∠D，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可．
解：∵EB=CF，
∴EB+BF=BF+CF，即EF=BC，且∠A=∠D，
∴当DF∥AC时，可得∠DFE=∠C，满足AAS，可证明全等；
当AB=DE时，满足ASS，不能证明全等；
当∠E=∠ABC时，满足ASA，可证明全等；
当AB∥DE时，可得∠E=∠ABC，满足ASA，可证明全等；
故选B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
2．（2018 临沂模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若AD＝3，BE＝1，则DE＝(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】根据余角的性质，可得∠DCA与∠CBE的关系，根据AAS可得△ACD与△CBE的关系，根据全等三角形的性质，可得AD与CE的关系，根据线段的和差，可得答案．
解：∴∠ADC=∠BEC=90°.
∵∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠CAD=90°，
∠DCA=∠CBE，
在△ACD和△CBE中,，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴CE=AD=3，CD=BE=1，
DE=CE CD=3 1=2，
故答案选：B.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质.
3．（2018 沈阳二模）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（ ）
A．三条高的交点
B．重心
C．内心
D．外心
【答案】D
【解析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
4．（2018 柳州三模）如图，，，若，则PD等于
A．10
B．
C．5
D．
【答案】C
【解析】根据平行线的性质可得，过点P作交于AO于点E，则≌，可得，在中，求出的度数，根据勾股定理解答．
解：，
，
，
，
过点P作交于AO于点E，则≌，
，
，
．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PD的长的问题进行转化．
5．（2019 普宁模拟）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙
B．乙和丙
C．甲和丙
D．只有丙
【答案】B
【解析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（2019 广州模拟）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是( )
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】A
【解析】过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
解：如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点评】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
7．（2019 西安模拟）在△ABC中，∠BAC＝115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．25°
【答案】A
【解析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，GA=GC，根据等腰三角形的性质计算即可．
解：∵∠BAC=115°，
∴∠B+∠C=65°，
∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，
∴EA=EB，GA=GC，
∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，
∴∠EAG=∠BAC-（∠EAB+∠GAC）=∠BAC-（∠B+∠C）=50°，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．（2019 揭阳模拟）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，①PA平分∠BAC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．则这四个结论中正确的有(
)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【解析】根据已知条件利用HL易证△APR≌△APS，再利用全等三角形的性质可得∠PAR=∠PAS，AR=AS，从而可证（1）、（2）正确；由AQ=PQ，利用等边对等角易得∠1=∠APQ，再利用三角形外角的性质可得∠PQC=2∠1，而（1）中PA是∠BAC的角平分线可得∠BAC=2∠1，等量代换，从而有∠PQC=∠BAC，利用同位角相等两直线平行可得QP∥AR，（3）正确；根据已知条件可知△BRP与△CSP只有一角、一边对应相等，故不能证明两三角形全等，因此（4）不正确．
解：（1）PA平分∠BAC．∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，∴△APR≌△APS，∴∠PAR=∠PAS，∴PA平分∠BAC；
（2）由（1）中的全等也可得AS=AR；
（3）如图所示
∵AQ=PR，∴∠1=∠APQ，∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，又∵PA平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∴∠PQS=∠BAC，∴PQ∥AR；
（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠CSP，∵PR=PS，∴△BRP不一定全等与△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；做题时利用了平行线的判定、等边对等角、三角形外角的性质，要熟练掌握这些知识并能灵活应用．
二、填空题
9．（2018 山西联考）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，则∠ACF的度数为__________°．
【答案】58
【解析】根据HL证明Rt△CBF≌Rt△ABE，推出∠FCB=∠EAB，求出∠CAB=∠ACB=45°，
求出∠BCF=∠BAE=13°，即可求出答案．
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
在Rt△CBF和Rt△ABE中
∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL），
∴∠FCB=∠EAB，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°．
∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣32°=13°，
∴∠BCF=∠BAE=13°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+13°=58°
故答案为：58
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．
10．（2018 厦门模拟）如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=6，AC=3，则BE=_____．
【答案】1.5
【解析】如图，连接CD，BD，根据角平分线的性质可得DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，即可得AE=AF，然后根据垂直平分线的性质可得CD=BD，则可通过HL证明Rt△CDF≌Rt△BDE，得到BE=CF，然后即可得到答案.
解：如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=6，AC=3，
∴BE=1.5．
故答案为：1.5．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
11．（2018 银川模拟）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD=BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是__．
【答案】ASA
【解析】根据已知条件分析，题目中给出了三角形的边相等，两条垂线，可得一对角相等，加上图形中的对顶角相等，条件满足了ASA，答案可得．
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABD=∠EDC=90°，
在△EDC和△ABC中，
，
∴△EDC≌△ABC（ASA），
∴DE=AB，
故答案为：ASA．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
12．（2018 山西模拟）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，则∠ACF的度数为__________°．
【答案】58
【解析】根据HL证明Rt△CBF≌Rt△ABE，推出∠FCB=∠EAB，求出∠CAB=∠ACB=45°，
求出∠BCF=∠BAE=13°，即可求出答案．
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
在Rt△CBF和Rt△ABE中
∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL），
∴∠FCB=∠EAB，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°．
∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣32°=13°，
∴∠BCF=∠BAE=13°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+13°=58°
故答案为：58
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．
13．（2019 昆明模拟）小明不慎将一块三角形玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该是第______块.
【答案】2
【解析】由题目可知，要使配得的玻璃与原来一样大小，即是要两个三角形全等；利用三角形全等的判定定理，即可解答.
解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一条完整的边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，
故答案为：2
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理.
14．（2019 株洲模拟）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．
【答案】24
【解析】根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.
解：∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180°
，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
【点评】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算.
15．（2019 三河模拟）如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为_____．
【答案】13
【解析】连接BE，依据l是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而得到AE+CE=BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC．
解：如图，连接BE．
∵点D是AB边的中点，l⊥AB，∴l是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴AE+CE=BE+CE．
∵BE+CE≥BC，∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=13．
故答案为13．
【点评】本题考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．（2019 包头模拟）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是
．①BE＝CD；②∠BOD＝60 ；③△BOD∽△COE．
【答案】①②
【解析】
解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB,AE=AC,∠ADB=∠ABD=60
,∠DAB=∠EAC=60 ，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中
∴△DAC≌△BAE(SAS),
∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，
∵∠BOD=180
∠ODB ∠DBA ∠ABE=180
∠ODB 60
∠ADC=120 (∠ODB+∠ADC)=120 60 =60
∴∠BOD=60 ，
∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB=∠AEC=60
，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，
∴说∠BDO=∠CEO错误，
∴△BOD∽△COE错误，
∴③错误；
故答案为①②.
三、解答题
17．（2018 南通模拟）如图，△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于点D，CD=BD，BE平分∠ABC，点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G．
（1）求证：△ADC≌△FDB；
（2）求证：CE=BF；
（3）连结CG，判断△ECG的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【解析】（1）首先根据AB=BC，BE平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，进一步得到∠ACD=∠DBF，结合CD=BD，即可证明出△ADC≌△FDB；（2）由△ADC≌△FDB得到AC=BF，结合CE=AE，即可证明出结论；（3）由点H是BC边的中点，得到GH垂直平分BC，即GC=GB，由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECO=45°，结合BE⊥AC，即可判断出△ECG的形状；
证明：（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，CE=AE
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠DBF，
在△ADC和△FDB中，
，
∴△ADC≌△FDB（ASA）；
（2）∵△ADC≌△FDB，
∴AC=BF，
又∵CE=AE，
∴CE=BF；
（3）△ECG为等腰直角三角形．
∵点H是BC边的中点，
∴GH垂直平分BC，
∴GC=GB，
∵∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，
∵DB=DC，∠BDC=90°，
∴∠ECG=∠DCB=45°，
又∵BE⊥AC，
∴△ECG为等腰直角三角形；
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质的知识点，解题的关键是熟练掌握三角形的判定．
18．（2018 蚌埠模拟）⑴如图1，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM＝ON，过点M、N分别作MP⊥OA、NP⊥OB，MP、NP交于P，E、F分别为线段MP、NP上的点，且∠EOF＝∠AOB，延长PM到S，使MS＝NF，连接OS，则∠EOF与∠EOS的数量关系为
，线段NF、EM、EF的数量关系为
⑵如图2，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM＝ON，，
E、F分别为线段MP、NP上的点，且∠EOF＝∠AOB，⑴中的线段NF、EM、EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。
⑶如图3，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM＝ON，，
E、F分别为线段PM、NP延长线上的点，且∠EOF＝∠AOB，⑴中的线段NF、EM、EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。
【答案】（1）相等，EF=FN+EM；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】（1）结论：相等，EF=FN+EM．先证明△OMS≌△ONF，再证明△OES≌△OEF即可解决问题．
（2）结论：EF=FN+EM．如图2中，延长EM到S，使得SM=FN，连接SO，先证明△OMS≌△ONF，再证明△OES≌△OEF即可解决问题．
（3）结论：EF=FN-EM．如图3中，延长ME到S，使得MS=FN，连接SO，先证明△OMS≌△ONF，再证明△OES≌△OEF即可解决问题．
解：理由：如图1中，
在△OMS和△ONF中，OM=ON，∠OMS=∠ONF，MS=FN，
∴△OMS≌△ONF，
∴OS=OF，∠SOM=∠FON，
∵∠EOF=∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，
在△OES和△OEF中，OE=OE，∠SOE=∠EOF，OS=OF，
∴△OES≌△OEF，
∴EF=SE=SM+EM=FN+EM．
故答案为相等，EF=FN+EM．
（2）如图2中，延长EM到S，使得SM=FN，连接SO．
∵∠OMP+∠ONP=180°，∠OMS+∠OMP=180°，
∴∠OMS=∠ONF，
在△OMS和△ONF中，OM=ON，∠OMS=∠ONF，MS=FN，
∴△OMS≌△ONF，
∴OS=OF，∠SOM=∠FON，
∵∠EOF=∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，
在△OES和△OEF中，OE=OE，∠SOE=∠EOF，OS=OF，
∴△OES≌△OEF，
∴EF=SE=SM+EM=FN+EM．
（3）结论：EF=FN-EM．
理由：如图3中，延长ME到S，使得MS=FN，连接SO．
∵∠OMP+∠ONP=180°，∠OMS+∠OMP=180°，
∴∠OMS=∠ONF，
在△OMS和△ONF中，OM=ON,∠OMS=∠ONF,MS=FN∴△OMS≌△ONF，
∴OS=OF，∠SOM=∠FON，
∵∠EOF=∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，
在△OES和△OEF中，OE=OE,∠SOE=∠EOF,OS=OF，
∴△OES≌△OEF，
∴EF=SE=SM-EM=FN-EM．
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
19．（2019 宜宾模拟）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．
【答案】见解析.
【解析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF=∠GFE，
∴EG=FG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
20．（2019 六安模拟）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）BE=AF，证明见解析.
【解析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF；
（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF．
（1）证明：连接AD，如图①所示．
∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．
∵点D为BC的中点，
∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．
∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF．
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF；
（2）BE=AF，证明如下：
连接AD，如图②所示．
∵∠ABD=∠BAD=45°，
∴∠EBD=∠FAD=135°．
∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，
∴∠EDB=∠FDA．
在△EDB和△FDA中，
，
∴△EDB≌△FDA（ASA），
∴BE=AF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：（1）根据全等三角形的判定定理ASA证出△BDE≌△ADF；（2）根据全等三角形的判定定理ASA证出△EDB≌△FDA．
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