【备考2020】数学3年中考2年模拟专题复习 4.3 特殊三角形学案(原卷+解析卷)

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名称 【备考2020】数学3年中考2年模拟专题复习 4.3 特殊三角形学案(原卷+解析卷)
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2020-01-29 14:51:17

文档简介

4.3
特殊三角形
一、等腰三角形
1、等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角________(简称:等边对等角)
推论1:等腰三角形顶角平分线________底边并且________于底边.即等腰三角形的顶角平分线、________、________重合.(三线合一)
推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于________.
2、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角________,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边).
推论1:三个角都相等的三角形是________三角形
推论2:有一个角是60°的________三角形是等边三角形.
二、等边三角形
1、定义:三条边都________的三角形是等边三角形.
2、性质:等边三角形的各角都________,并且每一个角都等于________
3、判定:(1)三个角都________的三角形是等边三角形;
(2)有一个角等于________的等腰三角形是等边三角形.
三、直角三角形
1、定义:有一个角是________的三角形叫作直角三角形
2、性质:(1)直角三角形两锐角________.
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于________的一半;
(3)在直角三角形中,斜边上的________等于斜边的一半.
3、判定:(1)两个内角________的三角形是直角三角形.
(2)三角形一边上的中线等于这条边的________,那么这个三角形是直角三角形.[]
四、勾股定理及逆定理
1、勾股定理:直角三角形的两条直角边a、b的________等于斜边c的平方,即:a2+b2=c2;
2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边a、b、c有关系:________,那么这个三角形是直角三角形.
五、互逆命题、互逆定理
1、互逆命题:如果一个命题的题设和________是另一个命题的结论和________,我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.
2、互逆定理:若一个定理的逆命题是________的,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理.
考点一:等腰三角形的性质及判定
如图,在△ABC中,AB=AC=6,D是BC上的点,DF∥AB交AC于点F,DE∥AC交AB于E,那么四边形AFDE的周长为(  )
A.
6
B.
12
C.
24
D.
48
变式跟进1等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15
cm和6
cm两部分.求等腰三角形的底边长.
考点二:等边三角形的性质及判定
如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=.将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′,使得点B′恰好落在对角线BD上,连接DD′,则DD′的长度为(  )
A.
B.
C.
+1
D.
2
变式跟进2如图,线段,
为线段上的一个动点,以、为边作等边和等边,⊙外接于,则⊙半径的最小值为__________.
考点三:等腰三角形中的多解问题
如图1,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=4
cm,E为CD中点.点P从A点出发,沿A—B—C的方向在矩形边上匀速运动,速度为1
cm
/s,运动到C点停止.设点P运动的时间为t
s.(图2为备用图)
(1)当P在AB上,t为何值时,△APE的面积是矩形ABCD面积的?
(2)在整个运动过程中,t为何值时,△APE为等腰三角形?
变式跟进3如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=20,BC=15,点D为AC边上的动点,点D从点C出发,沿边CA往A运动,当运动点A时停止,若设点D运动的时间为t秒,点D运动的速度为每秒2个单位长度.
(1)当t=2时,CD= 
,AD= 
 ;(请直接写出答案)
(2)当t= 
 时,△CBD是直角三角形;(请直接写出答案)
(3)求当t为何值时,△CBD是等腰三角形?并说明理由.
考点四:
直角三角形斜边上的中线问题
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为斜边AB的中点,CD=6cm,则AB的长为
cm.
变式跟进4在一张直角三角形纸片中,分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形,得到如图所示的直角梯形,则原直角三角形纸片的斜边长是________.
考点五:勾股定理及其逆定理
如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′.若边A′B交线段CD于H,且BH=DH,则DH的值是(  )
A.
B.
8-2
C.
D.
6
变式跟进5如图,已知∠ADC=90°,AD=8,CD=6,AB=26,BC=24.
(1)试说明:△ABC是直角三角形.
(2)请求图中阴影部分的面积.
一、选择题
1、(2017 包头)若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为(

A、2cm
B、4cm
C、6cm
D、8cm
2、(2017·武汉)如图,在中,,以的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(

A.4
B.5
C.
6
D.7
3.(2018 福建)如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于(  )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
4.(2018 淄博)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为(  )
A.4
B.6
C.
D.8
5.(2018 龙东)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC、BD于点E、P,连接OE,∠ADC=60°,AB=BC=1,则下列结论:
①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB AC④OE=AD⑤S△APO=,正确的个数是(  )
A.2
B.3
C.4
D.5
6.(2019·衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒,组成,两根棒在点相连并可绕转动,点固定,,点,可在槽中滑动,若,则的度数是(

A.60°
B.65°
C.75°
D.80°
7.(2019·抚顺)若一个等腰三角形的两边长分别为2,4,则第三边的长为(

A.2
B.3
C.4
D.2或4
8.(2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周醉算经》中早有记载。如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出(

A.直角三角形的面积
B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积
D.最大正方形与直角三角形的面积和
二、填空题
9、(2017 青岛)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD.若∠BAD=58°,则∠EBD的度数为________度.
10、(2017 齐齐哈尔)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形,如果其中一个是等腰三角形,另外一个三角形和原三角形相似,那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图,线段CD是△ABC的“和谐分割线”,△ACD为等腰三角形,△CBD和△ABC相似,∠A=46°,则∠ACB的度数为________.
11.(2018 荆州)为了比较+1与的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,D在BC上且BD=AC=1.通过计算可得+1_____.(填“>”或“<”或“=”)
12.(2018 辽阳)如图,AB是半圆O的直径,E是半圆上一点,且OE⊥AB,点C为的中点,则∠A=__________°.
13.(2018 本溪)如图所示,已知:点A(0,0),B(,0),C(0,1)在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1,第2个△B1A2B2,第3个△B2A3B3,…,则第个等边三角形的边长等于__________.
14.(2019·北京)如图所示的网格是正方形网格,则=_____°(点A,B,P是网格线交点).
15.(2019·通辽)腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为_____.
16.(2019·黄冈)如图,在的同侧,,点为的中点,若,则的最大值是_____.
三、解答题
17、(2017 恩施州)如图,△ABC、△CDE均为等边三角形,连接BD、AE交于点O,BC与AE交于点P.求证:∠AOB=60°.
18.(2018 安徽)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E,点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F.
(1)求证:CM=EM;
(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;
(3)如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证:AN∥EM.
19.(2019·无锡)如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC上,BD=CE,BE、CD相交于点0;
求证:(1)
(2)
20.(2019·淮安)如图①,在中,,,D是BC的中点.
小明对图①进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转,点B的对应点是点E,连接BE,得到.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:
(1)当点E在直线AD上时,如图②所示.

;②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是

(2)请在图③中画出,使点E在直线AD的右侧,连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由.
(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.
一、选择题
1.(2018 包头)如图,BD是∠ABC的角平分线,DC∥AB,下列说法正确的是(  )
A.BC=CD
B.AD∥BC
C.AD=BC
D.点A与点C关于BD对称
2.(2018 西安)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE是角平分线,则图中的等腰三角形共有
A.8个
B.7个
C.6个
D.5个
3.(2018 淄博模拟)将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶点A在纸带的另一边沿上,测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角尺的最长边的长为(  )
A.6
B.3
C.4
D.6
4.(2018 松滋模拟)一支长为13cm的金属筷子(粗细忽略不计),放入一个长、宽、高分别是4cm、3cm、16cm的长方体水槽中,那么水槽至少要放进(  )深的水才能完全淹没筷子.
A.13cm
B.4cm
C.12cm
D.
cm
5.(2019·唐山模拟)如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是(  )
A.20°
B.35°
C.40°
D.70°
6.(2019·开封模拟)如图,在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,若使点D恰好落在BC上,则线段AP的长是(  )
A.4
B.5
C.6
D.8
7.(2019·天津模拟)如图,是等边三角形,是边上的高,点E是边的中点,点P是上的一个动点,当最小时,的度数是(

A.
B.
C.
D.
8.(2019·江门模拟)如果三角形满足一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中,能作为一个智慧三角形三边长的一组是(  )
A.1,2,3
B.1,1,
C.1,1,
D.1,2,
二、填空题
9.(2018 曲靖三模)在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,它的最小边的长是2cm,则它的最大边的长是_____cm.
10.(2018 南阳二模)如图,已知
OP
平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是_________.
11.(2018 绍兴模拟)如图,等边三角形ABC中,,点D在直线BC上,点E在直线AC上,且,当时,则AE的长为______.
12.(2018·哈尔滨模拟)已知:在△ABC中,AH⊥BC,垂足为点H,若AB+BH=CH,∠ABH=70°,则∠BAC=_____°.
13.(2019·厦门模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=6cm,则BC=_____cm.
14.(2019·北京模拟)如图所示的网格是正方形网格,△ABC是_____三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
15.(2019·宝鸡模拟)如图,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,点OAC的中点,点D在A射线BO上,连接OE,EC,若AB=4,则OE的最小值为_____.
16.(2019·天津模拟)如图,点分别在正三角形的三边上,且也是正三角形.若的边长为,的边长为,则的内切圆半径为__________.
三、解答题
17.(2018 镇江押题)△ABC中,∠ACB<90°,以AB为一边作等边△ABD,且点D与点C在直线AB同侧,平面内有一点E与点D分别在直线AB两侧,且BE=BC,∠ABE=∠DBC,连接CD、AE,AC=5,BC=3.(1)求证:CD=AE;
(2)点E关于直线AB的对称点为点F,判断△BFC的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,当线段CD最短时,请直接写出四边形AEBF的面积.
18.(2018 哈尔滨调研)如图,在△ABC中,点D在边AB上,点E在边AC上,CE=BD,连接CD,BE,BE与CD相交于点F.
(1)如图1,若△ACD为等边三角形,且CE=DF,求∠CEF的度数;
(2)如图2,若AC=AD,求证:EF=FB;
(3)如图3,在(2)的条件下,若∠CFE=45°,△BCD的面积为4,求线段CD的长.
19.(2019·重庆模拟)如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA延长线于点F.
(1)证明:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长,
20.(2019·黔东南模拟)先阅读下列材料,然后解答问题.
材料:从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如:如图①,AD把△ABC分成△ABD与△ADC,若△ABD是等腰三角形,且△ADC∽△BAC,那么AD就是△ABC的完美分割线.
解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠B=40°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是以AD为底边的等腰三角形,则∠CAD= 
 度.
(2)在△ABC中,∠B=42°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是等腰三角形,求∠BAC的度数.
14.3
特殊三角形
一、等腰三角形
1、等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)
推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.(三线合一)
推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°.
2、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边).
推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
二、等边三角形
1、定义:三条边都相等的三角形是等边三角形.
2、性质:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
3、判定:(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
三、直角三角形
1、定义:有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
2、性质:(1)直角三角形两锐角互余.
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;
(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
3、判定:(1)两个内角互余的三角形是直角三角形.
(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.[]
四、勾股定理及逆定理
1、勾股定理:直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即:a2+b2=c2;
2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边a、b、c有关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
五、互逆命题、互逆定理
1、互逆命题:如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设,我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.
2、互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理.
考点一:等腰三角形的性质及判定
如图,在△ABC中,AB=AC=6,D是BC上的点,DF∥AB交AC于点F,DE∥AC交AB于E,那么四边形AFDE的周长为(  )
A.
6
B.
12
C.
24
D.
48
【答案】B
【解析】解:∵AB=AC=6,∴∠B=∠C.
∵DF∥AB,
∴∠CDF=∠B,
∴∠CDF=∠C,
∴DF=CF.
同理可求:DE=BD.
∴四边形AFDE的周长:AE+DE+DF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=6+6=12.
故选B.
【点评】利用等腰三角形的判定及性质即可求解.
变式跟进1等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15
cm和6
cm两部分.求等腰三角形的底边长.
【答案】1cm
【解析】解:∵等腰三角形的周长是15cm+6cm=21cm,
设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm,ycm,
由题意得或

解得或
(不符舍去),
∴等腰三角形的底边长为1cm..
【点评】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm,ycm,根据题意列二元一次方程组,注意没有指明具休是哪部分的长为15,故应该列两个方程组求解.
考点二:等边三角形的性质及判定
如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=.将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′,使得点B′恰好落在对角线BD上,连接DD′,则DD′的长度为(  )
A.
B.
C.
+1
D.
2
【答案】A
【解析】解:∵矩形ABCD中,AB=1,BC=,
∴AD=BC=,
∴tan∠ABD==,
∴∠ABD=60°,
∵AB=AB′,
∴△ABB′是等边三角形,
∴∠BAB′=60°,
∴∠DAD′=60°,
∵AD=AD′,
∴△ADD′是等边三角形,
∴DD′=AD=BC=,
故选A.
【点评】先求出∠ABD′=60°,利用旋转的性质即可得到AB=AB′,进而得到△ABB′是等边三角形,于是得到∠BAB′=60°,再次利用旋转的性质得到∠DAD′=60°,结合AD=AD′,可得到△ADD′是等边三角形,最后得到DD′的长度.
变式跟进2如图,线段,
为线段上的一个动点,以、为边作等边和等边,⊙外接于,则⊙半径的最小值为__________.
【答案】
【解析】如图,分别作、的角平分线,交点为,
∴、为等边三角形,
∴、为、中垂线,
∵⊙的圆心在、中垂线上.
∴点与点重合,
连接,若半径最短,则,
∵,

∴,
∴,
∴在中,

∴,

【点评】本题考查了圆的综合题.需要掌握等边三角形的“是那先合一”的性质,三角形的外接圆圆心为三角形的垂心,点到直线的距离垂线段最短以及解直角三角形等知识点.难度不大,注意数形结合数学思想的应用.
考点三:等腰三角形中的多解问题
如图1,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=4
cm,E为CD中点.点P从A点出发,沿A—B—C的方向在矩形边上匀速运动,速度为1
cm
/s,运动到C点停止.设点P运动的时间为t
s.(图2为备用图)
(1)当P在AB上,t为何值时,△APE的面积是矩形ABCD面积的?
(2)在整个运动过程中,t为何值时,△APE为等腰三角形?
【答案】(1)4;(2)或5或6.
【解析】解:(1)设t秒后,△APE的面积为长方形面积的
根据题意得:AP=t,∴△APE的面积=AP AD=,解得:t=4
∴4秒后,△APE的面积为长方形面积的
(2)①当P在AE垂直平分线上时,AP=EP
∴AP2=EP2

解得:
②当EA=EB时,AP=6,∴t=6
③当AE=AP时,∴t=5
∴当t=或5或6时,△APE是等腰三角形.
【点评】(1)求出矩形的面积,即可得出关于t的方程,求出方程的解即可;
(2)当P在AB上时,分为AP=AE,AP=PE,AE=PE三种情况,画出图形,根据等腰三角形的性质得出即可;当P在BC上时,根据AP、AE、PE的长度大小得出即可.
变式跟进3如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=20,BC=15,点D为AC边上的动点,点D从点C出发,沿边CA往A运动,当运动点A时停止,若设点D运动的时间为t秒,点D运动的速度为每秒2个单位长度.
(1)当t=2时,CD= 
,AD= 
 ;(请直接写出答案)
(2)当t= 
 时,△CBD是直角三角形;(请直接写出答案)
(3)求当t为何值时,△CBD是等腰三角形?并说明理由.
【答案】(1)4,21;(2)4.5或12.5秒;(3)t=6.25或7.5或9秒时,△CBD是等腰三角形.
【解析】解:(1)t=2时,CD=2×2=4,
∵∠ABC=90°,AB=20,BC=15,
∴AC==25,
AD=AC CD=25 4=21;
(2)①∠CDB=90°时,S△ABC=AC BD=AB BC,
即×25 BD=×20×15,
解得BD=12,
所以CD==9,
t=9÷2=4.5(秒);
②∠CBD=90°时,点D和点A重合,
t=25÷2=12.5(秒),
综上所述,t=4.5或12.5秒;
故答案为:(1)4,21;(2)4.5或12.5秒;
(3)①CD=BD时,如图1,
过点D作DE⊥BC于E,
则CE=BE,
CD=AD=AC=×25=12.5,(或利用余角的性质说明CD=BD=AD)
t=12.5÷2=6.25;
②CD=BC时,CD=15,t=15÷2=7.5;
③BD=BC时,如图2,
过点B作BF⊥AC于F,
则CF=9,
CD=2CF=9×2=18,
t=18÷2=9,
综上所述,t=6.25或7.5或9秒时,△CBD是等腰三角形.
【点评】(1)根据CD=速度×时间列式计算即可得解,利用勾股定理列式求出AC,再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解;(2)分①∠CDB=90°时,利用△ABC的面积列式计算即可求出BD,然后利用勾股定理列式求解得到CD,再根据时间=路程÷速度计算;②∠CBD=90°时,点D和点A重合,然后根据时间=路程÷速度计算即可得解;(3)分①CD=BD时,过点D作DE⊥BC于E,根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=BE,从而得到CD=AD;②CD=BC时,CD=6;③BD=BC时,过点B作BF⊥AC于F,根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF,再由(2)的结论解答.
考点四:
直角三角形斜边上的中线问题
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为斜边AB的中点,CD=6cm,则AB的长为
cm.
【答案】12.
【解析】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴线段CD是斜边AB上的中线;
又∵CD=6cm,
∴AB=2CD=12cm.
【点评】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
变式跟进4在一张直角三角形纸片中,分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形,得到如图所示的直角梯形,则原直角三角形纸片的斜边长是________.
【答案】或
【解析】解:①如图所示:
连接CD,则

∵D为AB的中点,
∴.
②如图所示:
【点评】先根据题意画出图形.此题要分两种情况,再根据勾股定理求出斜边上的中线,最后根据直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长.
考点五:勾股定理及其逆定理
如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′.若边A′B交线段CD于H,且BH=DH,则DH的值是(  )
A.
B.
8-2
C.
D.
6
【答案】C
【解析】解:设DH=x,

中,
故选
.
【点评】设DH=x,利用勾股定理列出方程即可.
变式跟进5如图,已知∠ADC=90°,AD=8,CD=6,AB=26,BC=24.
(1)试说明:△ABC是直角三角形.
(2)请求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)S阴影=96.
【解析】解:(1)∵在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=8,CD=6,
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100,
∴AC=10(取正值).
在△ABC中,∵AC2+BC2=102+242=676,AB2=262=676,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形;
(2)S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD
=×10×24﹣×8×6=96.
【点评】(1)先根据勾股定理求出AC的长,再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形;(2)根据S阴影=SRt△ABC-SRt△ACD,利用三角形的面积公式计算即可求解.
一、选择题
1、(2017 包头)若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为(

A、2cm
B、4cm
C、6cm
D、8cm
【答案】A
【解析】解:若2cm为等腰三角形的腰长,则底边长为10﹣2﹣2=6(cm),2+2<6,不符合三角形的三边关系;
若2cm为等腰三角形的底边,则腰长为(10﹣2)÷2=4(cm),此时三角形的三边长分别为2cm,4cm,4cm,符合三角形的三边关系;
故选A.
【点评】分为两种情况:2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边,然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形.
2、(2017·武汉)如图,在中,,以的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(

A.4
B.5
C.
6
D.7
【答案】C
【解析】①以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,△BCD就是等腰三角形;
②以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,△ACE就是等腰三角形;
③以C为圆心,BC长为半径画弧,交AC于点F,△BCF就是等腰三角形;
④作AC的垂直平分线交AB于点H,△ACH就是等腰三角形;
⑤作AB的垂直平分线交AC于G,则△AGB是等腰三角形;
⑥作BC的垂直平分线交AB于I,则△BCI是等腰三角形.
故选C.
【点评】根据等腰三角形的定义,利用分类讨论思想即可画出相应的等腰三角形.
3.(2018 福建)如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于(  )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
【答案】A
【解析】
先判断出AD是BC的垂直平分线,进而求出∠ECB=45°,即可得出结论.
解:∵等边三角形ABC中,AD⊥BC,
∴BD=CD,即:AD是BC的垂直平分线,
∵点E在AD上,
∴BE=CE,
∴∠EBC=∠ECB,
∵∠EBC=45°,
∴∠ECB=45°,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°,
故选A.
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质,垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质,求出∠ECB是解本题的关键.
4.(2018 淄博)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为(  )
A.4
B.6
C.
D.8
【答案】B
【解析】根据题意,可以求得∠B的度数,然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长,从而可以求得BC的长.
解:∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,
∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,
∴∠ACB=2∠B,NM=NC,
∴∠B=30°,
∵AN=1,
∴MN=2,
∴AC=AN+NC=3,
∴BC=6,
故选:B.
【点评】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
5.(2018 龙东)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC、BD于点E、P,连接OE,∠ADC=60°,AB=BC=1,则下列结论:
①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB AC④OE=AD⑤S△APO=,正确的个数是(  )
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】D
【解析】①先根据角平分线和平行得:∠BAE=∠BEA,则AB=BE=1,由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得:△ABE是等边三角形,由外角的性质和等腰三角形的性质得:∠ACE=30°,最后由平行线的性质可作判断;
②先根据三角形中位线定理得:OE=AB=,OE∥AB,根据勾股定理计算OC=和OD的长,可得BD的长;
③因为∠BAC=90°,根据平行四边形的面积公式可作判断;
④根据三角形中位线定理可作判断;
⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得:S△AOE=S△EOC=OE OC=,,代入可得结论.
解:①∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠ABC=∠ADC=60°,
∴∠DAE=∠BEA,
∴∠BAE=∠BEA,
∴AB=BE=1,
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=BE=1,
∵BC=2,
∴EC=1,
∴AE=EC,
∴∠EAC=∠ACE,
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°,
∴∠ACE=30°,
∵AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACE=30°,
故①正确;
②∵BE=EC,OA=OC,
∴OE=AB=,OE∥AB,
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°,
Rt△EOC中,OC=,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BCD=∠BAD=120°,
∴∠ACB=30°,
∴∠ACD=90°,
Rt△OCD中,OD=,
∴BD=2OD=,故②正确;
③由②知:∠BAC=90°,
∴S ABCD=AB AC,
故③正确;
④由②知:OE是△ABC的中位线,
又AB=BC,BC=AD,
∴OE=AB=AD,故④正确;
⑤∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=,
∴S△AOE=S△EOC=OE OC=××,
∵OE∥AB,
∴,
∴,
∴S△AOP=
S△AOE==,故⑤正确;
本题正确的有:①②③④⑤,5个,
故选D.
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算;熟练掌握平行四边形的性质,证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键,并熟练掌握同高三角形面积的关系.
6.(2019·衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒,组成,两根棒在点相连并可绕转动,点固定,,点,可在槽中滑动,若,则的度数是(

A.60°
B.65°
C.75°
D.80°
【答案】D
【解析】根据OC=CD=DE,可得∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数,进而求出∠CDE的度数.
解:∵,
∴,,
设,
∴,
∴,
∵,
∴,
即,
解得:,
.
故答案为:D.
【点评】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质,理清各个角之间的关系是解答本题的关键.
7.(2019·抚顺)若一个等腰三角形的两边长分别为2,4,则第三边的长为(

A.2
B.3
C.4
D.2或4
【答案】C
【解析】分4是腰长与底边两种情况,再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可.
解:①4是腰长时,三角形的三边分别为4、4、2,
能组成三角形,
所以,第三边为4;
②4是底边时,三角形的三边分别为2、2、4,

不能组成三角形,
综上所述,第三边为4.
故选:.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的三边关系,难点在于要分情况讨论.
8.(2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周醉算经》中早有记载。如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出(

A.直角三角形的面积
B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积
D.最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【解析】根据勾股定理得到c2=a2+b2,根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可.
解:设直角三角形的斜边长为c,较长直角边为b,较短直角边为a,
由勾股定理得,c2=a2+b2,
阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c),
较小两个正方形重叠部分的长=a-(c-b),宽=a,
则较小两个正方形重叠部分底面积=a(a+b-c),
∴知道图中阴影部分的面积,则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积,
故选C.
【点评】本题考查的是勾股定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
二、填空题
9、(2017 青岛)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD.若∠BAD=58°,则∠EBD的度数为________度.
【答案】32
【解析】解:∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴点A,B,C,D在以E为圆心,AC为直径的同一个圆上,
∵∠BAD=58°,
∴∠DEB=116°,
∵DE=BE=
AC,
∴∠EBD=∠EDB=32°,
故答案为:32.
【点评】根据已知条件得到点A,B,C,D在以E为圆心,AC为直径的同一个圆上,根据圆周角定理得到∠DEB=116°,根据直角三角形的性质得到DE=BE=
AC,根据等腰三角形的性质即可得到结论.
10、(2017 齐齐哈尔)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形,如果其中一个是等腰三角形,另外一个三角形和原三角形相似,那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图,线段CD是△ABC的“和谐分割线”,△ACD为等腰三角形,△CBD和△ABC相似,∠A=46°,则∠ACB的度数为________.
【答案】113°或92°
【解析】解:∵△BCD∽△BAC,
∴∠BCD=∠A=46°,
∵△ACD是等腰三角形,∠ADC>∠BCD,
∴∠ADC>∠A,即AC≠CD,①当AC=AD时,∠ACD=∠ADC=
(180°﹣46°)=67°,
∴∠ACB=67°+46°=113°,②当DA=DC时,∠ACD=∠A=46°,
∴∠ACB=46°+46°=92°,
故答案为113°或92°.
【点评】由△ACD是等腰三角形,∠ADC>∠BCD,推出∠ADC>∠A,即AC≠CD,分两种情形讨论①当AC=AD时,②当DA=DC时,分别求解即可.
11.(2018 荆州)为了比较+1与的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,D在BC上且BD=AC=1.通过计算可得+1_____.(填“>”或“<”或“=”)
【答案】>
【解析】依据勾股定理即可得到AD==,AB==,BD+AD=+1,再根据△ABD中,AD+BD>AB,即可得到+1>.
解:∵∠C=90°,BC=3,BD=AC=1,
∴CD=2,AD==,AB==,
∴BD+AD=+1,
又∵△ABD中,AD+BD>AB,
∴+1>,
故答案为:>.
【点评】本题考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用,熟练掌握勾股定理以及三角形三边关系是解题的关键.
12.(2018 辽阳)如图,AB是半圆O的直径,E是半圆上一点,且OE⊥AB,点C为的中点,则∠A=__________°.
【答案】22.5
【解析】连接半径OC,先根据点C为的中点,得∠BOC=45°,再由同圆的半径相等和等腰三角形的性质得:∠A=∠ACO=×45°,可得结论.
解:连接OC,
∵OE⊥AB,
∴∠EOB=90°,
∵点C为的中点,
∴∠BOC=45°,
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO=×45°=22.5°,
故答案为:22.5°.
【点评】本题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质.解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用.
13.(2018 本溪)如图所示,已知:点A(0,0),B(,0),C(0,1)在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1,第2个△B1A2B2,第3个△B2A3B3,…,则第个等边三角形的边长等于__________.
【答案】
【解析】根据题目已知条件可推出,AA1=OC=,B1A2=A1B1=,依此类推,第n个等边三角形的边长等于.
解:∵OB=,OC=1,
∴BC=2,
∴∠OBC=30°,∠OCB=60°.
而△AA1B1为等边三角形,∠A1AB1=60°,
∴∠COA1=30°,则∠CA1O=90°.
在Rt△CAA1中,AA1=OC=,
同理得:B1A2=A1B1=,
依此类推,第n个等边三角形的边长等于.
【点评】本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形,从而归纳出边长的规律.
14.(2019·北京)如图所示的网格是正方形网格,则=_____°(点A,B,P是网格线交点).
【答案】45.
【解析】延长AP交格点于D,连接BD,根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5,PB2=12+32=10,求得PD2+DB2=PB2,于是得到∠PDB=90°,根据三角形外角的性质即可得到结论.
解:延长AP交格点于D,连接BD,
则PD2=BD2=1+22=5,PB2=12+32=10,
∴PD2+DB2=PB2,
∴∠PDB=90°,
即△PBD为等腰直角三角形,
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°,
故答案为:45.
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,勾股定理,三角形的外角的性质,等腰直角三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
15.(2019·通辽)腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为_____.
【答案】6或或.
【解析】根据不同边上的高为4分类讨论即可得到本题的答案.
解:①如图1
当,,
则,
∴底边长为6;
②如图2.
当,时,
则,
∴,
∴,
∴此时底边长为;
③如图3:
当,时,
则,
∴,
∴,
∴此时底边长为.
故答案为:6或或.
【点评】本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质,解题的关键是分三种情况分类讨论.
16.(2019·黄冈)如图,在的同侧,,点为的中点,若,则的最大值是_____.
【答案】14
【解析】如图,作点A关于CM的对称点A′,点B关于DM的对称点B′,证明△A′MB′为等边三角形,即可解决问题.
解:如图,作点关于的对称点,点关于的对称点.





为等边三角形

的最大值为,
故答案为.
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质,两点之间线段最短,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会利用两点之间线段最短解决最值问题
三、解答题
17、(2017 恩施州)如图,△ABC、△CDE均为等边三角形,连接BD、AE交于点O,BC与AE交于点P.求证:∠AOB=60°.
【答案】证明见解析
【解析】解:∵△ABC和△ECD都是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,
即∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,

∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠CAD=∠CBE,
∵∠APO=∠BPC,
∴∠AOP=∠BCP=60°,即∠AOB=60°.
【点评】利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等,可得∠CAD=∠CBE,然后求出∠OAB+∠OBA=120°,再根据“八字型”证明∠AOP=∠PCB=60°即可.
18.(2018 安徽)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E,点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F.
(1)求证:CM=EM;
(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;
(3)如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证:AN∥EM.
【答案】(1)证明见解析;(2)∠EMF=100°;(3)证明见解析.
【解析】(1)在Rt△DCB和Rt△DEB中,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半进行证明即可得;
(2)根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC=40°,根据CM=MB,可得∠MCB=∠CBM,从而可得∠CMD=2∠CBM,继而可得∠CME=2∠CBA=80°,根据邻补角的定义即可求得∠EMF的度数;
(3)由△DAE≌△CEM,CM=EM,∠DEA=90°,结合CM=DM以及已知条件可得△DEM是等边三角形,从而可得∠EDM=60°,∠MBE=30°,继而可得∠ACM=75°,连接AM,结合AE=EM=MB,可推导得出AC=AM,根据N为CM中点,可得AN⊥CM,再根据CM⊥EM,即可得出AN∥EM.
解:(1)∵M为BD中点,
Rt△DCB中,MC=BD,
Rt△DEB中,EM=BD,
∴MC=ME;
(2)∵∠BAC=50°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=90°-50°=40°,
∵CM=MB,
∴∠MCB=∠CBM,
∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM,
同理,∠DME=2∠EBM,
∴∠CME=2∠CBA=80°,
∴∠EMF=180°-80°=100°;
(3)∵△DAE≌△CEM,CM=EM,
∴AE=EM,DE=CM,∠CME=∠DEA=90°,∠ECM=∠ADE,
∵CM=EM,∴AE=ED,∴∠DAE=∠ADE=45°,
∴∠ABC=45°,∠ECM=45°,
又∵CM=ME=BD=DM,
∴DE=EM=DM,
∴△DEM是等边三角形,
∴∠EDM=60°,
∴∠MBE=30°,
∵CM=BM,∴∠BCM=∠CBM,
∵∠MCB+∠ACE=45°,
∠CBM+∠MBE=45°,
∴∠ACE=∠MBE=30°,
∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°,
连接AM,∵AE=EM=MB,
∴∠MEB=∠EBM=30°,
∠AME=∠MEB=15°,
∵∠CME=90°,
∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM,
∴AC=AM,
∵N为CM中点,
∴AN⊥CM,
∵CM⊥EM,
∴AN∥CM.
【点评】本题考查了三角形全等的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质等,综合性较强,正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.
19.(2019·无锡)如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC上,BD=CE,BE、CD相交于点0;
求证:(1)
(2)
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】(1)由AB=AC可得∠ECB=∠DBC,继而根据已知条件利用SAS进行证明即可;
(2)由(1)根据全等三角形的对应角相等可得∠DCB=∠EBC,继而可得答案.
解:(1)∵AB=AC,
∴∠ECB=∠DBC,




(2)由(1)

∴∠DCB=∠EBC,
∴OB=OC.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质与判定,熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
20.(2019·淮安)如图①,在中,,,D是BC的中点.
小明对图①进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转,点B的对应点是点E,连接BE,得到.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:
(1)当点E在直线AD上时,如图②所示.

;②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是

(2)请在图③中画出,使点E在直线AD的右侧,连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由.
(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.
【答案】(1)①50;②;(2);(3)AE的最小值.
【解析】(1)①利用等腰三角形的性质即可解决问题.②证明,,推出即可.
(2)如图③中,以P为圆心,PB为半径作⊙P.利用圆周角定理证明即可解决问题.
(3)因为点E在射线CE上运动,点P在线段AD上运动,所以当点P运动到与点A重合时,AE的值最小,此时AE的最小值.
解:(1)①如图②中,
∵,,
∴,
②结论:.
理由:∵,,
∴,
∴,
∴,
∵AE垂直平分线段BC,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴.
故答案为50,.
(2)如图③中,以P为圆心,PB为半径作⊙P.
∵AD垂直平分线段BC,
∴,
∴,
∵,


(3)如图④中,作于H,
∵点E在射线CE上运动,点P在线段AD上运动,
∴当点P运动到与点A重合时,AE的值最小,此时AE的最小值.
【点评】本题属于几何变换综合题,考查了等腰三角形的性质,平行线的判定,圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,灵活运用所学知识解决问题,学会利用辅助圆解决问题,属于中考压轴题.
一、选择题
1.(2018 包头)如图,BD是∠ABC的角平分线,DC∥AB,下列说法正确的是(  )
A.BC=CD
B.AD∥BC
C.AD=BC
D.点A与点C关于BD对称
【答案】A
【解析】由BD是∠ABC的角平分线,根据角平分线定义得到一对角∠ABD与∠CBD相等,然后由DC∥AB,根据两直线平行,得到一对内错角∠ABD与∠CDB相等,利用等量代换得到∠DBC=∠CDB,再根据等角对等边得到BC=CD,从而得到正确的选项.
解:∵BD是∠ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠CBD,
又∵DC∥AB,
∴∠ABD=∠CDB,
∴∠CBD=∠CDB,
∴BC=CD.
故选A.
【点评】此题考查了等腰三角形的判定,以及平行线的性质.学生在做题时,若遇到两直线平行,往往要想到用两直线平行得同位角或内错角相等,借助转化的数学思想解决问题.这是一道较易的证明题,锻炼了学生的逻辑思维能力.
2.(2018 西安)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE是角平分线,则图中的等腰三角形共有
A.8个
B.7个
C.6个
D.5个
【答案】A
【解析】根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=72°,根据角平分线求出∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB=36°,根据三角形内角和定理求出∠BDC、∠BEC、∠EOB、∠DOC,根据等腰三角形的判定推出即可.
解:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠ACB=(180° ∠A)=72°,
∵BD,CE是角平分线,
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°,∠ACE=∠ECB=36°,
∴∠A=∠ABD=∠ACE,∠DBC=∠ECB,
∴∠BDC=180° ∠ACB ∠DBC=180° 72° 36°=72°,
同理∠BEC=72°,
∴∠BDC=∠ACB,∠BEC=∠EBC,
∴∠EOB=180° ∠BEC ∠EBD=180° 72° 36°=72°,
同理∠DOC=72°,
∴∠BEO=∠BOE,∠CDO=∠COD,
即等腰三角形有△OBC,△ADB,△AEC,△BEC,△BDC,△ABC,△EBO,△DCO,共8个,
故选:A.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定,角平分线定义,三角形内角和定理的应用,关键是能求出各个角的度数.
3.(2018 淄博模拟)将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶点A在纸带的另一边沿上,测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角尺的最长边的长为(  )
A.6
B.3
C.4
D.6
【答案】D
【解析】如图,作AH⊥CH,根据30°的角所对的直角边是斜边的一半,可得AC的长,在Rt△ABC中,由勾股定理即可求得AB的长.
解:如图,作AH⊥CH,
在Rt△ACH中,∵AH=3,∠AHC=90°,∠ACH=30°,
∴AC=2AH=6,
在Rt△ABC中,AB=.
故选D.
【点评】本题考查了30°角直角三角形的性质及勾股定理,作出辅助线求出AC的长是解题的关键.
4.(2018 松滋模拟)一支长为13cm的金属筷子(粗细忽略不计),放入一个长、宽、高分别是4cm、3cm、16cm的长方体水槽中,那么水槽至少要放进(  )深的水才能完全淹没筷子.
A.13cm
B.4cm
C.12cm
D.
cm
【答案】C
【解析】如图:由题意可知
在中,由勾股定理得
EL为筷子,即
设则在中,
故选C.
5.(2019·唐山模拟)如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是(  )
A.20°
B.35°
C.40°
D.70°
【答案】B
【解析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=(180°-∠CAB)=70°.再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°.
解:∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,
∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=(180°-∠CAB)=70°.
∵CE是△ABC的角平分线,
∴∠ACE=∠ACB=35°.
故选B.
【点评】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质,三角形内角和定理以及角平分线定义,求出∠ACB=70°是解题的关键.
6.(2019·开封模拟)如图,在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,若使点D恰好落在BC上,则线段AP的长是(  )
A.4
B.5
C.6
D.8
【答案】C
【解析】根据题意通过“角角边”证明△AOP≌△CDO,进而得到AP=OC=AC﹣AO=6.
解:根据题意可知:∠A=∠C=60°,
∵线段OP绕点O逆时针旋转得到线段OD,
∴OP=DO,
∵∠DOP=60°,
∴∠AOP+∠COD=∠CDO+∠COD=120°,
∴∠AOP=∠CDO,
在△AOP与△CDO中,

∴△AOP≌△CDO(AAS),
∴AP=OC=AC﹣AO=6.
故选C.
【点评】本题主要考查旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,熟练掌握其知识点是解此题的关键.
7.(2019·天津模拟)如图,是等边三角形,是边上的高,点E是边的中点,点P是上的一个动点,当最小时,的度数是(

A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】连接BE,则BE的长度即为PE与PC和的最小值.再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°,即可解决问题;
解:如连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小,
∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,
∴点B与点D关于AD对称,
∴PC=PB,
∴PE+PC=PB+PE=BE,
∴BE就是PE+PC的最小值,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BCE=60°,
∵BA=BC,AE=EC,
∴BE⊥AC,
∴∠BEC=90°,
∴∠EBC=30°,
∵PB=PC,
∴∠PCB=∠PBC=30°,
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°,
故选:C.
【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质,熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键.
8.(2019·江门模拟)如果三角形满足一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中,能作为一个智慧三角形三边长的一组是(  )
A.1,2,3
B.1,1,
C.1,1,
D.1,2,
【答案】D
【解析】根据三角形三边关系可知,不能构成三角形,依此即可作出判定;
B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形,依此即可作出判定;
C、解直角三角形可知是顶角120°,底角30°的等腰三角形,依此即可作出判定;
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°,60°,30°的直角三角形,依此即可作出判定.
解:∵1+2=3,不能构成三角形,故选项错误;
B、∵12+12=()2,是等腰直角三角形,故选项错误;
C、底边上的高是=,可知是顶角120°,底角30°的等腰三角形,故选项错误;
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°,60°,30°的直角三角形,其中90°÷30°=3,符合“智慧三角形”的定义,故选项正确.
故选D.
二、填空题
9.(2018 曲靖三模)在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,它的最小边的长是2cm,则它的最大边的长是_____cm.
【答案】4.
【解析】根据在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,三角形内角和等于180°可得∠A,∠B,∠C的度数,它的最小边的长是2cm,从而可以求得最大边的长.
解:∵在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,

∵最小边的长是2cm,
∴a=2.
∴c=2a=4cm.
故答案为:4.
【点评】考查含30度角的直角三角形的性质,掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
10.(2018 南阳二模)如图,已知
OP
平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是_________.
【答案】
【解析】由
OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,易得△OCP是等腰三角形,∠COP=30°,又由含30°角的直角三角形的性质,即可求得PE的值,继而求得OP的长,然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
即可求得DM的长.
解:∵OP
平分∠AOB,∠AOB=60°,
∴∠AOP=∠COP=30°,
∵CP∥OA,
∴∠AOP=∠CPO,
∴∠COP=∠CPO,
∴OC=CP=2,
∵∠PCE=∠AOB=60°,PE⊥OB,
∴∠CPE=30°,



∵PD⊥OA,点M是OP的中点,

故答案为:
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、含
30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质.此题难度适中,属于中考常见题型,求出
OP
的长是解题关键.
11.(2018 绍兴模拟)如图,等边三角形ABC中,,点D在直线BC上,点E在直线AC上,且,当时,则AE的长为______.
【答案】2或4或或
【解析】分四种情形分别画出图形,利用全等三角形或相似三角形的性质解决问题即可.
解:分四种情形:
如图1中,当点D在边BC上,点E在边AC上时.
是等边三角形,
,,

≌,


如图2中,当点D在边BC上,点E在AC的延长线上时作交BC的延长线于F.
,,
是等边三角形,设,
,,
∽,



如图3中,当点D在CB的延长线上,点E在AC的延长线上时.
,,,
≌,


如图4中,当点D在CB的延长线上,点E在边AC上时作交BC于F,则是等边三角形.
设,
由∽,可得,



综上所述,满足条件的AE的值为2或4或或.
故答案为2或4或或.
【点评】本题是三角形综合题、考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考压轴题.
12.(2018·哈尔滨模拟)已知:在△ABC中,AH⊥BC,垂足为点H,若AB+BH=CH,∠ABH=70°,则∠BAC=_____°.
【答案】或35
【解析】分析题意,可知本题需分两种情况进行讨论,△ABC为锐角三角形和△ABC为直角三角形;
当△ABC为钝角三角形时,过A作BC的垂线,交CB的延长线于点H,由AB+BH=CH,不难得出AB=BC,接下来,再利用三角形外角的性质,可得∠BAC的度数;
当△ABC为锐角三角形时,在HC上取D点,使BH=HD,连接AD,再结合AB+BH=CH,不难得出AD=DC,接下来,再利用三角形外角的性质,可得∠DAC的度数;
由∠ABH=70°,利用等腰三角形的性质可得出∠BAD的度数,结合上述所得,可得∠BAC的度数.
解:根据题意画出图形,
当△ABC为钝角三角形时,过A作BC的垂线,交CB的延长线于点H,
∵AB+BH=CH,HB+BC=CH,
∴AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB.
∵∠ABH=70°,
∴∠BAC=∠ACB=35°.
当△ABC为锐角三角形时,在HC上取D点,使BH=HD,连接AD,
∵AB+BH=HC=HD+DC,BH=HD,
∴AB=DC.
∵AH⊥BD,BH=HD,
∴AB=AD,
∴∠B=∠ADH=70°,
∴∠BAD=40°.
∵AB=DC,AB=AD,
∴AD=CD,
∴∠C=∠DAC,
∴∠ADH=∠C+∠DAC=2∠C,
∴∠DAC=35°,
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=40°+35°=75°.
故答案为75°或35°
【点评】本题考核知识点:等腰三角形性质,三角形的角.
解题关键点:分类讨论,利用等腰三角形性质求出角的度数.
13.(2019·厦门模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=6cm,则BC=_____cm.
【答案】3
【解析】根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半即可确定BC长
解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=6cm,
∴BC=AB=3cm,
故答案为:3.
【点评】本题考查了直角三角形的性质,正确应用其性质是解题的关键.
14.(2019·北京模拟)如图所示的网格是正方形网格,△ABC是_____三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
【答案】锐角
【解析】根据三边的长可作判断.
解:∵AB2=32+12=10,AC2=12+42=17,BC2=32+42=25,
∴AB2+AC2>BC2,
∴△ABC为锐角三角形,
故答案为:锐角.
【点评】本题考查了三边的关系,会利用三边关系确定三角形的形状:若三角形的三边分别为a、b、c,①当a2+b2>c2时,△ABC为锐角三角形;②当a2+b2<c2时,△ABC为钝角三角形;③当a2+b2=c2时,△ABC为直角三角形.
15.(2019·宝鸡模拟)如图,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,点OAC的中点,点D在A射线BO上,连接OE,EC,若AB=4,则OE的最小值为_____.
【答案】1
【解析】根据等边三角形的性质可得OC=AC,∠ABD=30°,根据“SAS”可证△ABD≌△ACE,可得∠ACE=30°=∠ABD,当OE⊥EC时,OE的长度最小,根据直角三角形的性质可求OE的最小值.
解:∵△ABC的等边三角形,点O是AC的中点,
∴OC=AC,∠ABD=30°
∵△ABC和△ADE均为等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAD=∠CAE,且AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴∠ACE=30°=∠ABD
当OE⊥EC时,OE的长度最小,
∵∠OEC=90°,∠ACE=30°
∴OE最小值=OC=AB=1,
故答案为1
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的性质,熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.
16.(2019·天津模拟)如图,点分别在正三角形的三边上,且也是正三角形.若的边长为,的边长为,则的内切圆半径为__________.
【答案】
【解析】根据△ABC、△EFD都是等边三角形,可证得△AEF≌△BDE≌△CDF,即可求得AE+AF=AE+BE=a,然后根据切线长定理得到AH=(AE+AF-EF)=(a-b);,再根据直角三角形的性质即可求出△AEF的内切圆半径.
解:如图1,⊙I是△ABC的内切圆,由切线长定理可得:AD=AE,BD=BF,CE=CF,
∴AD=AE=[(AB+AC)-(BD+CE)]=
[(AB+AC)-(BF+CF)]=(AB+AC-BC),
如图2,∵△ABC,△DEF都为正三角形,
∴AB=BC=CA,EF=FD=DE,∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°,
∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°,∠1=∠3;
在△AEF和△CFD中,

∴△AEF≌△CFD(AAS);
同理可证:△AEF≌△CFD≌△BDE;
∴BE=AF,即AE+AF=AE+BE=a.
设M是△AEF的内心,过点M作MH⊥AE于H,
则根据图1的结论得:AH=(AE+AF-EF)=(a-b);
∵MA平分∠BAC,
∴∠HAM=30°;
∴HM=AH tan30°=(a-b) =
故答案为:.
【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定,切线的性质,圆的切线长定理,根据已知得出AH的长是解题关键.
三、解答题
17.(2018 镇江押题)△ABC中,∠ACB<90°,以AB为一边作等边△ABD,且点D与点C在直线AB同侧,平面内有一点E与点D分别在直线AB两侧,且BE=BC,∠ABE=∠DBC,连接CD、AE,AC=5,BC=3.
(1)求证:CD=AE;
(2)点E关于直线AB的对称点为点F,判断△BFC的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,当线段CD最短时,请直接写出四边形AEBF的面积.
【答案】(1)详见解析;(2)△BFC是等边三角形;(3)
【解析】(1)根据SAS判定△ABE≌△DBC,即可得出CD=AE;
(2)根据轴对称的性质以及全等三角形的性质,即可得出BF=BC,∠CBF=60°,进而判定△BCF是等边三角形;
(3)根据AF+FC≥AC,即可得到AF+3≥5,即AF≥2,因而得到AF的最小值为2,即CD的最小值为2,此时AF+FC=AC,即点F在AC上,再过B作BG⊥AC于G,则Rt△BFG中,∠FBG=30°,求得△ABF的面积,即可得到四边形AEBF的面积.
解:(1)如图,∵△ABD是等边三角形,
∴AB=DB,
在△ABE和△DBC中,

∴△ABE≌△DBC(SAS),
∴CD=AE;
(2)△BFC是等边三角形,
理由:如图,∵点E关于直线AB的对称点为点F,
∴AB垂直平分EF,
∴BF=BE,∠ABE=∠ABF,
又∵BC=BE,∠ABE=∠DBC,
∴BF=BC,∠ABF=DBC,
∵∠ABD=∠ABF+∠DBF=60°,
∴∠DBC+∠DBF=60°,
即∠CBF=60°,
∴△BCF是等边三角形;
(3)∵点E关于直线AB的对称点为点F,△ABE≌△DBC,
∴AF=AE,AE=DC,
∴AF=CD,
由(2)可得,等边三角形BCF中,FC=BC=3,
∵AF+FC≥AC,
∴AF+3≥5,即AF≥2,
∴AF的最小值为2,即CD的最小值为2,
此时AF+FC=AC,即点F在AC上,
如图所示,过B作BG⊥AC于G,则Rt△BFG中,∠FBG=30°,
∴FG=BF=,
∴BG=FG=,
∴△ABF的面积=AF×BG=×2×=,
∴四边形AEBF的面积=2×△ABF的面积=3.
【点评】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、对称轴的性质、等边三角形的判定与性质以及四边形综合题,解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质、对称轴的性质、等边三角形的判定与性质以及四边形综合题
18.(2018 哈尔滨调研)如图,在△ABC中,点D在边AB上,点E在边AC上,CE=BD,连接CD,BE,BE与CD相交于点F.
(1)如图1,若△ACD为等边三角形,且CE=DF,求∠CEF的度数;
(2)如图2,若AC=AD,求证:EF=FB;
(3)如图3,在(2)的条件下,若∠CFE=45°,△BCD的面积为4,求线段CD的长.
【答案】(1)90°;(2)证明见解析;(3)4.
【解析】(1)根据等边三角形的性质得到ADC=∠C=60°,根据三角形的外角的性质计算;
(2)作BG∥AC交CD的延长线于G,证明△CFE≌△GFB,根据全等三角形的性质证明;
(3)作EP⊥CD于P,BH⊥CD交CD的延长线于H,设EP=x,GH=a,根据全等三角形的性质得到BH=EP=x,根据三角形的面积公式计算.
解:(1)∵CE=BD,CE=DF,
∴BD=DF,
∴∠DFB=∠B,
∵△ACD为等边三角形,
∴∠ADC=∠C=60°,
∴∠DFB=∠B=30°,
∴∠CEF=90°;
(2)证明:作BG∥AC交CD的延长线于G,
∴∠C=∠G,
∵AC=AD,
∴∠C=∠ADC,
∴∠BDG=∠G,
∴BD=BG,
∵CE=BD,
∴BD=CE,
∵BG∥AC,
在△CFE和△GFB中,

∴△CFE≌△GFB,
∴EF=FB;
(3)解:作EP⊥CD于P,BH⊥CD交CD的延长线于H,
设EP=x,GH=a,
∵∠CFE=45°,
∴FP=EP=x,
∵△CFE≌△GFB,
∴BH=EP=x,
则FH=BH=x,
∵BD=BG,BH⊥CD,
∴DH=GH=a,
∴CF=FG=x+a,DF=x﹣a,
∴CD=CF+DF=2x,
由题意得,
×CD×BH=4,即×2x×x=4,
解得,x=2,
则CD=2x=4.
【点评】本题考查的是等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
19.(2019·重庆模拟)如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA延长线于点F.
(1)证明:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长,
【答案】(1)见解析;(2)EC=4.
【解析】(1)由AB=AC,可知∠B=∠C,再由DE⊥BC,可知∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90°,然后余角的性质可推出∠F=∠BDE,再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F=∠FDA,于是得到结论;
(2)根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论.
解:(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵FE⊥BC,
∴∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90°,
∴∠F=∠BDE,
而∠BDE=∠FDA,
∴∠F=∠FDA,
∴AF=AD,
∴△ADF是等腰三角形;
(2)∵DE⊥BC,
∴∠DEB=90°,
∵∠B=60°,BD=4,
∴BE=BD=2,
∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴BC=AB=AD+BD=6,
∴EC=BC﹣BE=4.
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点,关键根据相关的性质定理,通过等量代换推出∠F=∠FDA,即可推出结论.
20.(2019·黔东南模拟)先阅读下列材料,然后解答问题.
材料:从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如:如图①,AD把△ABC分成△ABD与△ADC,若△ABD是等腰三角形,且△ADC∽△BAC,那么AD就是△ABC的完美分割线.
解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠B=40°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是以AD为底边的等腰三角形,则∠CAD= 
 度.
(2)在△ABC中,∠B=42°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是等腰三角形,求∠BAC的度数.
【答案】(1)40;(2)∠BAC的度数为84°或111°
【解析】(1)利用三角形的完美分割线定义可求解;
(2)分三种情况讨论,由三角形的完美分割线定义和等腰三角形的性质可求解.
解:(1)∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC
∴∠CAD=∠B=40°
故答案为40
(2)若BD=AD,
∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC
∴∠CAD=∠B=42°
∵AD=BD,
∴∠ABD=∠BAD=42°
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=84°
若AB=BD,
∴∠BAD=69°=∠BDA
∵∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC
∴∠CAD=∠B=42°
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=42°+69°=111°
若AB=AD,
∴∠B=∠ADB=42°
∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC
∴∠CAD=∠B=42°
∵∠ADB=∠DAC+∠C=42°+∠C≠42°
∴不存在AB=AD,
综上所述:∠BAC的度数为84°或111°
【点评】本题考查了相似三角形的性质,等腰三角形的性质,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.
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