4.4
相似三角形
一、比例线段
1、线段的比：两条线段长度的比，叫作这两条线段的比.
2、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.当比例中两个比例内项相等，即比例a：b=b：c时，我们把b叫做a和d的比例中项.
3、比例的性质
（1）
（2）
（3）
4、黄金分割：把一条线段AB分割成两条线段，使其中较长线段AC是原线段AB与较短线BC的比例中项，即，这种线段分割叫作黄金分割.
一条线段的黄金分割点有两个.
注意：
.
5、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
二、相似
1、相似三角形：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
2、相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；
（2）三边对应成比例或两边对应成比例且夹角相等或两角对应相等的两个三角形相似；
（3）两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；
注意：直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似．
3、相似三角形性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
4．相似多边形的性质
（1）相似多边形对应角相等，对应边成比例．
（2）相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
三、位似图形
1、定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
考点一：比例的性质
若x、y为非零线段的长，则下列说法错误的是（ ）
A.
若
，则
B.
若2x﹣5y=0，则
C.
若线段a：b=c：d,，则
D.
若线段a：b=c：d,则
【答案】D
【解析】解：
A.
若,则,∴,,∴，故此选项正确；
B.
若2x﹣5y=0，则
，代入
，故此选项正确；
C.
∵，∴
，∴，故此选项正确；
D.
由，得不到故此选项错误；
故选D.
【点评】利用比例的性质进行判断即可.
变式跟进1在比例尺为1：20000的地图上，测得一个多边形地块的面积为30，则这个多边形地块的实际面积是_______
(结果用科学记数法表示)．
【答案】1.2×106
【解析】解：设这个多边形地块的实际面积是x，
∵30=0.003，
∴()2=，
∴x=1200000.
用科学记数法表示为：1.2×106
故答案为：1.2×106.
【点评】利用比例尺进行求解，要注意相似图形面积比等于相似比的平方.
考点二：平行线分线段成比例定理
如图，
，直线
与分别相交于点和点，若，
,则的长是（
）
A.
B.
C.
6
D.
10
【答案】A
【解析】解：∵，
∴=，
即=，
解得：EF=
.
故选：A.
【点评】利用平行线分线段成比例定理进行求解.
变式跟进2如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则的值是_____．
【答案】
【解析】解：∵AB∥EF，∴，
∵CE=4，CF=3，AE=BC，
∴，解得AE=12，
∵AB∥CD，
∴．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，先利用AB∥EF得到，求得AE=12，然后利用AB∥CD，根据定理可即求出的值．
考点三：相似的判定和性质
如图，DE是△ABC的中位线，DC、BE相交于点O，OE＝2．则BE的长为____．
【答案】6．
【解析】解：根据中位线的性质可得：DE∥BC，DE=BC，则△DOE∽△COB，则，解得：OB=2OE=4，则BE=OB+OE=4+2=6.
【点评】本题主要考查的就是三角形相似的判定与应用以及三角形中位线的性质，解决本题的关键就是根据中位线的性质得出三角形相似.三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
变式跟进3如图．在等边△ABC中，AC＝4，点D、E、F分别在三边AB、BC、AC上，且AF＝1，FD⊥DE，∠DFE＝60°，则AD的长为_____________．
【答案】1.5
【解析】解：如图所示，
∵∠DFE=60°，
∴∠1+∠2+60°=180°，
∴∠2=120° ∠1，
在等边△ABC中,∠A=∠C=60°，
∴∠A+∠1+∠3=180°,
∴∠3=180° ∠A ∠1=120° ∠1，
∴∠2=∠3，
又∵∠A=∠C，
∴△ADF∽△CFE，
∴AD:CF=DF:EF，
∵FD⊥DE,∠DFE=60°，
∴∠DEF=90° 60°=30°，
∴DF=EF，
又∵AF=1，AC=4，
∴CF=4 1=3，
∴=，
解得AD=1.5.
故答案为：1.5.
【点评】根据三角形的内角和定理列式求出∠2=∠3，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠A=∠C，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ADF和△CFE相似，根据相似三角形对应边成比例可得AD：CF=DF：EF，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出EF的长，然后代入数据进行计算即可得解．
考点四：相似三角形的应用
如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P从点B出发,沿BC以2cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动,若点P、Q分别从点B、C同时出发,设运动时间为ts,当t=________时,△CPQ与△CBA相似．
【答案】或4.8
【解析】解：当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，
即，
解得t=4.8；
当CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，
即，
解得t=．
综上所述，当t=4.8秒或秒时，△CPQ与△CBA相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论．分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
变式跟进4如图四边形ABCD中，AD=DC，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F．DF与AB相交于E．设AB=15，BC=9，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为__．
【答案】
【解析】解：∵∠ACB=90°，AB=15，BC=9，
∴AC=，
∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF=AC=6，
∴点C关于DE的对称点是A，故E点与P点重合时△BCP的周长最小，
∴DP=DE，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，解得AE=，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴Rt△AED∽Rt△CBA，
∴，即
解得DE==12.5，即DP=12.5．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，综合运用相似三角形的判定和性质是解题的关键.
考点五：位似
如图，以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得五边形，则_________ ．
【答案】
【解析】解∵以O为位似中心,把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍,得五边形，
则OD:OD1=1:2，
故答案为：1:2.
【点评】本题考查了位似变换.根据面积的比等于相似比的平方是解决问题的关键.
变式跟进5如图，△ABO缩小后变为△,其中A、B的对应点分别为、
，点A、B、、均在图中格点上，若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在上的对应点的坐标为（
）
A．(，n)
B．(m，n)
C．(m，
)
D．(，
)
【答案】D
【解析】解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O,其中A. B的对应点分别为A′、B′点A.
B. A′、B′均在图中在格点上，
即A点坐标为：(4,6),B点坐标为：(6,2),A′点坐标为：(2,3),B′点坐标为：(3,1)，
∴线段AB上有一点P(m,n),则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：(，
).
故选C.
【点评】本题考查了位似变换的性质.利用图形关于原点进行位似变换的特点求对应点的坐标是解题的切入点.
一、单选题
1．（2017 兰州）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（
）
A、=
B、=
C、=
D、=
【答案】A
【解析】解：A、两边都除以2y，得
=
，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得
=
，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】根据等式的性质，可得答案．
2．（2017 通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（
）
A、540元
B、1080元
C、1620元
D、1800元
【答案】C
【解析】解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，
∴每平方厘米的广告费为：180÷50=
元，
∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×15×
=1620元
故选C
【点评】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案．
3．（2018 内江）已知与相似，且相似比为，则与的面积比
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，
则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，
故选：D．
【点评】此题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
4．（2018 长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈
B．四丈五尺
C．一丈
D．五尺
【答案】B
【解析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴，
解得x=45（尺），
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
5．（2018 巴中）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】由点D，E分别是边AC，AB的中点知DE是△ABC的中位线，据此知DE∥BC且，从而得△ODE∽△OBC，根据相似三角形的性质逐一判断可得．
解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且，②正确；
∴∠ODE=∠OBC、∠OED=∠OCB，
∴△ODE∽△OBC，
∴，①错误；
，③错误；
∵，
∴，④正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的判定与性质．
6．（2019·常州）若，相似比为，则与的周长的比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】直接利用相似三角形的性质求解．
解：，相似比为，
与的周长的比为．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
7．（2019 广州）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（
）
A．EH=HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．的面积是的面积的2倍
【答案】B
【解析】根据三角形中位线的性质和平行四边形的性质分别判断各选项即可解答，
解：因为E、H为OA、OD的中点，
所以，EH＝＝2，同理，HG＝＝1，所以，A错误；
EH∥AD，EH＝，
FG∥BC，FG＝，
因为平行四边形ABCD中，AD＝BC，且AD∥BC，
所以，EH＝FG，且EH∥FG，
所以，四边形EFGH是平行四边形，
B正确。
AC与BD不一定垂直，C错误；
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，知：△ABC的面积是△EFO的面积的4倍，D错误；
故选B.
【点评】本题考查了三角形中位线的性质和平行四边形的性质，熟练掌握是解题的关键.
8．（2019 东营）如图，在正方形中，点是对角线的交点，过点作射线分别交于点，且，交于点．给出下列结论：;C；四边形的面积为正方形面积的；．其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据全等三角形的判定（ASA）即可得到正确；根据相似三角形的判定可得正确；根据全等三角形的性质可得正确；根据相似三角形的性质和判定、勾股定理，即可得到答案.
解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
故正确；
，
点四点共圆，
∴，
∴，
故正确；
，
，
，
故正确；
，
，又，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又中，，
，
，
故错误，
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定（ASA）和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA）和性质、相似三角形的性质和判定.
二、填空题
9．（2017 临沂）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若
=
，AD=10，则AO=________．
【答案】4
【解析】解：∵AB∥CD，
∴
=
=
，即
=
，
解得，AO=4，
故答案为：4．
【点评】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
10．（2017 随州）在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
【答案】或
【解析】解：当
=
时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE=
=
=
；
当
=
时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE=
=
=
；
故答案为：
或
．
【点评】若A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则
=
或
=
，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．
11．（2018 百色）如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且=，若点A（﹣1，0），点C（，1），则A′C′=_____．
【答案】
【解析】根据位似图形的性质和已知求出A′、C′的坐标，根据两点间的距离公式求出A′C′即可．
解:∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且=，点A（﹣1，0），点C（，1），∴A′（﹣2，0），C′（1，2），∴A′C′===．
故答案为：．
【点评】本题考查了位似变换、坐标与图形性质、两点间的距离公式等知识点，求出点A′和C′的坐标是解答此题的关键．
12．（2018 阜新）如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF=2，那么线段BF的长度为__．
【答案】4．
【解析】根据矩形的性质可得AD∥BC，那么△DEF∽△BCF，利用相似三角形对应边成比例即可求出线段BF的长度．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴，
∵点E为AD中点，
∴DE=AD，
∴DE=BC，
∴，
∴BF=2DF=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，线段中点的定义，证明出△DEF∽△BCF是解题的关键．
13．（2018 黔西南）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为_____．
【答案】60
【解析】首先证明△AEF≌△BEC，推出AF=BC=10，设DF=x．由△ADC∽△BDF，推出，构建方程求出x即可解决问题；
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，
∵∠BAC=45°，
∴AE=EB，
∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBE，
∴△AEF≌△BEC，
∴AF=BC=10，设DF=x．
∵△ADC∽△BDF，
∴，
∴，
整理得x2+10x﹣24=0，
解得x=2或﹣12（舍弃），
∴AD=AF+DF=12，
∴S△ABC= BC AD=×10×12=60．
故答案为60．
【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
14．（2019 吉林）在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为________．
【答案】54
【解析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
解：设这栋楼的高度为hm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，
∴，
解得h=54（m）．
故答案为：54．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
15．（2019 钦州）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）
【答案】40
【解析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系即可得出答案．
解：由题意可得：∠BDA=45°，
则AB=AD=120m，
又∵∠CAD=30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CDA=tan30°=，
解得：CD=40（m），
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA=tan30°=是解题关键．
16．（2019 南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长为_____．
【答案】
【解析】作AM⊥BC于E，由角平分线的性质得出，设AC＝2x，则BC＝3x，由线段垂直平分线得出MN⊥BC，BN＝CN＝x，得出MN∥AE，得出，NE＝x，BE＝BN＋EN＝x，CE＝CN EN＝x，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．
解：作AM⊥BC于E，如图所示：
∵CD平分∠ACB，
∴，
设AC＝2x，则BC＝3x，
∵MN是BC的垂直平分线，
∴MN⊥BC，BN＝CN＝x，
∴MN∥AE，
∴，
∴NE＝x，
∴BE＝BN＋EN＝x，CE＝CN EN＝x，
由勾股定理得：AE2＝AB2 BE2＝AC2 CE2，
即52 （x）2＝（2x）2 （x）2，
解得：x＝，
∴AC＝2x＝；
故答案为．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
三、解答题
17、（2017 株洲）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
【答案】证明见解析
【解析】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，
∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF；
②延长BA到M，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，
∵∠MAD=∠BCD=90°，
∴∠EAM=∠BCF，
∵∠EAM=∠BAG，
∴∠BAG=∠BCF，
∵∠AGB=∠CGF，
∴△ABG∽△CFG．
【点评】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；②由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG=∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
18．（2018 绥化）如图，在中，，，，D、E分别是斜边AB、直角边BC上的点，把沿着直线DE折叠．
如图1，当折叠后点B和点A重合时，用直尺和圆规作出直线DE；不写作法和证明，保留作图痕迹
如图2，当折叠后点B落在AC边上点P处，且四边形PEBD是菱形时，求折痕DE的长．
【答案】画图见解析；．
【解析】由折叠后点B和点A重合，可知DE垂直平分AB，作线段AB的垂直平分线即可得出结论；
连接BP，由菱形的性质可得出，设，则，由可得出∽，根据相似三角形的性质可求出x的值，进而可得出CE、BE、PE的值，在和中，利用勾股定理可求出PC、BP的值，由菱形的面积公式可得出，代入各值即可求出折痕DE的长．
解：作直线AB的垂直平分线DE，如图1所示；
在中，，，，
，
连接BP，如图2所示，
四边形PEBD是菱形，
，
设，则，
，
∽，
，即，
，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
又，
，
．
【点评】本题考查了垂直平分线的画法、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、菱形的性质以及菱形的面积，解题的关键是：(1)牢记线段垂直平分线的画法；(2)利用菱形的面积公式求出DE的值．
19．（2019 张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．
(1)求证：；
(2)若，，求FG的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)FG=2.
【解析】(1)由平行四边形的性质可得，，进而得，根据相似三角形的性质即可求得答案；
(2)由平行四边形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质即可求得答案.
解：(1)四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
∴，
∵BE=AB，AE=AB+BE，
，
，
；
(2)四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，即，
解得，．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
20．（2019 武汉）在中，，，是上一点，连接
（1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证：
（2）过点作，为垂足，连接并延长交于点.
①如图2，若，求证：
②如图3，若是的中点，直接写出的值（用含的式子表示）
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②
【解析】(1)延长交于点，证明即可得；
(2)①过点作交的延长线于点，由(1)，得，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；
②过点C作CD//BP交AB的延长线于点D，延长AM交CD于点H，先证明△BPM≌△CHM，从而可得BP=CH，PM=HM，再证明△ABM∽△BPM，得到，在Rt△PCH中，由tan∠PCH=可得tan∠BPQ=，继而根据BC=2BM，即可求得答案.
解：(1)延长交于点，
∵与垂直，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
(2)①过点作交的延长线于点，
∵，∴与垂直，
由(1)，得，
∵，
∴，即；
②过点C作CD//BP交AB的延长线于点D，延长AM交CD于点H，
∴∠PCH=∠BPQ，
∵，∴⊥，
∴∠BPM=∠CHM=90°，
又∵∠BMP=∠CMH，BM=CM，
∴△BPM≌△CHM，
∴BP=CH，PM=HM，
∴PH=2PM，
∵∠PMB=∠BMA，∠ABM=∠BPM=90°，
∴△ABM∽△BPM，
∴，
在Rt△PCH中，tan∠PCH=，
∴tan∠BPQ=，
又∵BC=2BM，，
∴tan∠BPQ=.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
一、单选题
1．（2018 定西模拟）下面两个图形一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
【答案】D
【解析】根据相似多边形的定义解答即可.
解：选项A，两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似多边形的定义；
选项B，两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似多边形的定义；
选项C，两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似多边形的定义；
选项D，两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似.
故选D．
【点评】本题主要考查了相似多边形，熟知相似多边形的概念是解题的关键.
2．（2018 潍坊模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A的坐标是（ ）
A．（2，）
B．（1，2）
C．（4，8）或（﹣4，﹣8）
D．（1，2）或（﹣1，﹣2）
【答案】D
【解析】利用位似的性质求出A点的对称点.
解：以O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，
则点A的对应点A′的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，
即（1，2）或（﹣1，﹣2），
故选：D．
【点评】位似与相似：①位似与相似既有联系又有区别,相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点.②如果两个图形是位似图形那么这两个图形必是相似图形,但是相似的两个图形不一定是位似图形,因此位似是相似的特殊情况.利用位似,可以把一个图形放大或缩小.
3．（2018 北京联考）如图，左、右并排的两棵树AB和CD，小树的高AB=6m，大树的高CD=9m，小明估计自己眼睛距地面EF=1.5m，当他站在F点时恰好看到大树顶端C点．已知此时他与小树的距离BF=2m，则两棵树之间的距离BD是（ ）
A．1m
B．m
C．3m
D．m
【答案】B
【解析】由∠AGE=∠CHE=90°，∠AEG=∠CEH可证明△AEG∽△CEH，根据相似三角形对应边成比例求出GH的长即BD的长即可.
解：由题意得：FB=EG=2m，AG=AB﹣BG=6﹣1.5=4.5m，CH=CD﹣DH=9﹣1.5=7.5m，
∵AG⊥EH，CH⊥EH，
∴∠AGE=∠CHE=90°，
∵∠AEG=∠CEH，
∴△AEG∽△CEH，
∴
==
，即
=，
解得：GH=，
则BD=GH=m，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形.
4．（2018 临沂模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点C为顶点向△ABC内作正方形DECF，使正方形的另三个顶点D、E、F分别在边AB，BC，AC上，若BC=6，AB=10，则正方形DECF的边长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据勾股定理求出第三边AC的长，再根据相似三角形的判定和性质来求角即可.
解：在Rt△ABC中
+=
∴AC===8.
∵四边形DECF为正方形，
∴DE=CE,DE∥AC，
∴△DEB△ACB.
∴=,
设正方形的边长为x,则
=
解得：x=
故选B
【点评】本题主要考查子平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键，注意方程思想的运用.
5．（2019 上海模拟）如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中，；；；，正确的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】根据中心的三角形相似即可解答.
解：已知DE//BC，且DE经过重心G，
可得△ADE∽△ABC，且相似比为2:3，
故正确，
且，故，
，故正确的有三个,选C.
【点评】本题主要考察三角形相似的相关性质，熟悉掌握是解题关键.
6．（2019 白银模拟）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，3）、B（3，0），以原点为位似中心，将线段AB放大得到线段CD，若点C的坐标为（6，0），则点D的坐标为（ ）
A．（3，6）
B．（2，4.5）
C．（2，6）
D．（1.5，4.5）
【答案】C
【解析】根据位似变换的概念得到△OAB∽△ODC，根据题意求出相似比，计算即可．
解：由题意得，△OAB与△ODC为位似图形，
∴△OAB∽△ODC，
由题意得，OB＝3，OC＝6，
∴△OAB与△ODC的相似比为1：2，
∴点D的坐标为（1×2，3×2），即（2，6），
故选C．
【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质，掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
7．（2019 芜湖模拟）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元
B．720元
C．1080元
D．2160元
【答案】C
【解析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．
解：3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，
故选C．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8．（2019 自贡模拟）以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC相似的三角形图形为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设每个小正方形的边长为1,则△ABC的各边长分别为：2,
,，同理求得：
A中三角形的各边长为：,1,
，与△ABC的各边对应成比例，所以两三角形相似；
故选A.
【点评】此题是识图题，既考查相似三角形的判定，又考查观察辨别能力，同时还考查计算能力.
根据已知分别求得各个小三角形的边长，从而根据三组对应边的比相等的三个三角形相似，得到与△ABC相似的三角形图形．
二、填空题
9．（2018 长沙模拟）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，如果DE=2AD，AE=3，那么EC=_____．
【答案】6．
【解析】由BE平分∠ABC，DE∥BC，易得△BDE是等腰三角形，即可得BD=2AD，又由平行线分线段成比例定理，即可求得答案．
解：∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠DEB，
∴BD=DE，
∵DE=2AD，
∴BD=2AD，
∵DE∥BC，
∴AD：DB=AE：EC，
∴EC=2AE=2×3=6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质．注意掌握线段的对应关系是解此题的关键．
10．（2018 成都模拟）如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为_____m2．
【答案】0.81π
【解析】如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，依题意可以得到△OBC∽△OAD，然后由它们的对应边成比例可以求出地面影子的半径，这样可以求出阴影部分的面积．
解：如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD，
∴△OBC∽△OAD
∴而OD=3，CD=1，
∴OC=OD-CD=3-1=2，BC=×1.2=0.6，
∴
∴AD=0.9
，
S=π×0.92=0.81πm2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm2．
【点评】本题主要考查的就是三角形相似的应用，属于基础题型．解决本题的关键就是根据三角形相似求出阴影部分圆的半径，从而可以得出面积．
11．（2018 无锡一模）在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于M，则AM：BM=__．
【答案】5：12
【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据三角形相似即可解答本题．
解：
作AE∥BC交DC于点E，交DF于点F，
设每个小正方形的边长为a，
则△DEF∽△DCN，
∴＝＝，
∴EF=a，
∵AF=2a，
∴AE=a，
∵△AME∽△BMC，
∴＝＝＝，
故答案为：5：12．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
12．（2018 太原三模）某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为_____m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈，
cos53°≈，tan53°≈）．
【答案】1.2．
【解析】过点D作DO⊥AH于点O，先证明△ABC∽△AOD得出=，再根据已知条件求出AO，则OH=AH-AO=DG.
解：过点D作DO⊥AH于点O，如图：
由题意得CB∥DO，
∴△ABC∽△AOD，
∴=，
∵∠CAB=53°，tan53°=,
∴tan∠CAB==,
∵AB=1.74m，
∴CB=2.32m，
∵四边形DGHO为长方形，
∴DO=GH=3.05m，OH=DG，
∴=，
则AO=2.2875m，
∵BH=AB=1.75m，
∴AH=3.5m，
则OH=AH-AO≈1.2m，
∴DG≈1.2m.
故答案为1.2.
【点评】本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.
13．（2019 绥化模拟）如图,利用标杆测量建筑物的高度,已知标杆高1.2,测得,则建筑物的高是__________．
【答案】10.5
【解析】先证△AEB∽△ABC，再利用相似的性质即可求出答案.
解：由题可知，BE⊥AC，DC⊥AC
∵BE//DC，
∴△AEB∽△ADC，
∴，
即：，
∴CD＝10.5（m）.
故答案为10.5.
【点评】本题考查了相似的判定和性质.利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键.
14．（2019 北京模拟）小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2,0），则点E的坐标是_____．
【答案】(4,0)
【解析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∵BC=1.2，
∴DE=2，
∴E（4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点评】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．（2019 金华模拟）在Rt△ABC纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E，F落在AB边上，每个正方形的边长为1，则Rt△ABC的面积为_____．
【答案】
【解析】如图，设AH=x，GB=y，利用平行线分线段成比例定理，构建方程组求出x，y即可解决问题．
解：如图，设AH＝x，GB＝y，
∵EH∥BC，
，
∵FG∥AC，
，
由①②可得x＝，y＝2，
∴AC＝，BC＝7，
∴S△ABC＝，
故答案为．
【点评】本题考查图形的相似，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
16．（2019 安丘模拟）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△Bn nMn的面积为Sn，则Sn＝_____．（用含n的式子表示）
【答案】．
【解析】解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，
∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，
S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，
S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，
S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，
S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=，
∵BnCn∥B1C1，
∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，
∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=，
即Sn：
=
∴Sn=．
故答案为．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
三、解答题
17．（2018 苏州模拟）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD=AC，EC交AD于点F．
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)求证：FC=3EF．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）由AD=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，利用两对对应角相等的三角形相似即可得证；
（2）根据相似三角形的性质得到，由D是BC边的中点，得到BC=2CD，于是得到AD=AC=2FD，由于∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，推出∠EAD=∠ACE，得到△EAF∽△ECA，根据相似三角形的性质得到，即可得到结论．
解：(1)∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠B=∠ECB，
∴△ABC∽△FCD；
(2)∵△ABC∽△FCD，
∴
，
∵D是BC边的中点，
∴BC=2CD，
∴AD=AC=2FD，
∵∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，
∴∠EAD=∠ACE，
∴△EAF∽△ECA，
∴，
∴EC=2EA=4EF，
∴FC=3EF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18．（2018 六安模拟）我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I为△ABC的内心．
（1）如图1，连接AI并延长交BC于点D，若AB=AC=3，BC=2，求ID的长；
（2）如图2，过点I作直线交AB于点M，交AC于点N．
①若MN⊥AI，求证：MI2=BM CN；
②如图3，AI交BC于点D，若∠BAC=60°，AI=4，求的值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）。
【解析】（1）如图1中，作IE⊥AB于E．设ID=x．由△BEI≌△BDI，可得ID=IE=x，BD=BE=1，AE=2，在Rt△AEI中，根据AE2+EI2=AI2，可得解方程即可；
（2）如图2中，连接BI、CI．首先证明△AMI≌△ANI（ASA），再证明△BMI∽△INC，可得，推出NI2=BM CN，由此即可解决问题；
（3）过点N作NG∥AD交MA的延长线于G．由∠ANG=∠AGN=30°，推出AN=AG，由AI∥NG，推出，可得即可推出
解：（1）如图1中，作IE⊥AB于E．设ID=x．
∵AB=AC=3，AI平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=1，
在Rt△ABD中，
∵∠EBI=∠DBI，∠BEI=∠BDI=90°，BI=BI，
∴△BEI≌△BDI，
∴ID=IE=x，BD=BE=1，AE=2，
在Rt△AEI中，∵AE2+EI2=AI2，
∴
∴
∴
（2）如图2中，连接BI、CI．
∵I是内心，
∴∠MAI=∠NAI，
∵AI⊥MN，
∴∠AIM=∠AIN=90°，
∵AI=AI，
∴△AMI≌△ANI（ASA），
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠BMI=∠CNI，
设∠BAI=∠CAI=α，∠ACI=∠BCI=β，
∴∠NIC=90°﹣α﹣β，
∵∠ABC=180°﹣2α﹣2β，
∴∠MBI=90°﹣α﹣β，
∴∠MBI=∠NIC，
∴△BMI∽△INC，
∴
∴NI2=BM CN，
∵NI=MI，
∴MI2=BM CN．
（3）过点N作NG∥AD交MA的延长线于G．
∴∠ANG=∠AGN=30°，
∴AN=AG，
∵AI∥NG，
∴
∴
∴
【点评】考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大.
19．（2019 咸宁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
【答案】（1）线段CD的长为4.8；（2）①S△CPQ=﹣t2+t；②当t=秒或t=3秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100．（3）当t为2.4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．
【解析】
解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10．
∵CD⊥AB，
∴．
∴．
∴线段CD的长为4.8．
(2)过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图①所示．
由题意知DP＝t，CQ＝t，
则CP＝4.8－t．
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠HCP＝90°－∠DCB＝∠B．
∵PH⊥AC，
∴∠CHP＝90°．
∴∠CHP＝∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴，
即．
∴．
∴．
存在某一时刻t，使得S△CPQ︰S△ABC＝9︰100．
理由：∵，
且S△CPQ︰S△ABC＝9︰100
∴．
整理得5t2－24t＋27＝0，
即(5t－9)(t－3)＝0．
解得或t＝3．
∵0≤t≤4.8，
∴当或t＝3时，S△CPQ︰S△ABC＝9︰100．
(3)①若CQ＝CP，
则t＝4.8－t．
解得t＝2.4．
②若PQ＝PC，如图①所示．
∵PQ＝PC，PH⊥QC，
∴．
∵△CHP∽△BCA．
∴，
即．
解得．
③若QC＝QP．
过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图②所示．
由△QEC∽△ACB，得，
即，解得．
综上所述：当t的值为2.4或或时，△CPQ为等腰三角形．
20．（2019 宣城模拟）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB=
°，AB=
．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．
【答案】（1）75；4；（2）CD=4．
【解析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴．
又∵AO=3，
∴OD=AO=，
∴AD=AO+OD=4．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=4．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴．
∵BO：OD=1：3，
∴．
∵AO=3，
∴EO=，
∴AE=4．
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，
解得：CD=4．
【点评】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．
144.4
相似三角形
一、比例线段
1、线段的比：两条线段长度的________，叫作这两条线段的比.
2、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外________线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.当比例中两个比例内项相等，即比例a：b=b：c时，我们把b叫做a和d的________.
3、比例的性质
（1）
（2）
（3）
4、黄金分割：把一条线段AB分割成两条线段，使其中较长线段AC是原线段AB与较短线BC的比例________，即，这种线段分割叫作黄金分割.
一条线段的黄金分割点有________个.
注意：
.
5、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成________.
二、相似
1、相似三角形：对应角________、对应边________的三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的________．
2、相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形________；
（2）三边对应________或两边对应成比例且夹角________或两角对应________的两个三角形相似；
（3）两个直角三角形的斜边和一条直角边对应________，两直角三角形相似；
注意：直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形和________相似．
3、相似三角形性质：相似三角形的对应角________，对应边________，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于________，周长比等于________，________等于相似比的平方．
4．相似多边形的性质
（1）相似多边形________相等，对应边________．
（2）相似多边形周长之比等于________，面积之比等于相似比的________．
三、位似图形
1、定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于________，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似________．
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的________等于位似比．
考点一：比例的性质
若x、y为非零线段的长，则下列说法错误的是（ ）
A.
若
，则
B.
若2x﹣5y=0，则
C.
若线段a：b=c：d,，则
D.
若线段a：b=c：d,则
变式跟进1在比例尺为1：20000的地图上，测得一个多边形地块的面积为30，则这个多边形地块的实际面积是_______
(结果用科学记数法表示)．
考点二：平行线分线段成比例定理
如图，
，直线
与分别相交于点和点，若，
,则的长是（
）
A.
B.
C.
6
D.
10
变式跟进2如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则的值是_____．
考点三：相似的判定和性质
如图，DE是△ABC的中位线，DC、BE相交于点O，OE＝2．则BE的长为____．
变式跟进3如图．在等边△ABC中，AC＝4，点D、E、F分别在三边AB、BC、AC上，且AF＝1，FD⊥DE，∠DFE＝60°，则AD的长为_____________．
考点四：相似三角形的应用
如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P从点B出发,沿BC以2cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动,若点P、Q分别从点B、C同时出发,设运动时间为ts,当t=________时,△CPQ与△CBA相似．
变式跟进4如图四边形ABCD中，AD=DC，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F．DF与AB相交于E．设AB=15，BC=9，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为__________．
考点五：位似
如图，以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得五边形，则_________ ．
变式跟进5如图，△ABO缩小后变为△,其中A、B的对应点分别为、
，点A、B、、均在图中格点上，若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在上的对应点的坐标为（
）
A．(，n)
B．(m，n)
C．(m，
)
D．(，
)
一、单选题
1．（2017 兰州）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（
）
A、=
B、=
C、=
D、=
2．（2017 通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（
）
A、540元
B、1080元
C、1620元
D、1800元
3．（2018 内江）已知与相似，且相似比为，则与的面积比
A．
B．
C．
D．
4．（2018 长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈
B．四丈五尺
C．一丈
D．五尺
5．（2018 巴中）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．（2019·常州）若，相似比为，则与的周长的比为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2019 广州）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（
）
A．EH=HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．的面积是的面积的2倍
8．（2019 东营）如图，在正方形中，点是对角线的交点，过点作射线分别交于点，且，交于点．给出下列结论：;C；四边形的面积为正方形面积的；．其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．（2017 临沂）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若
=
，AD=10，则AO=________．
10．（2017 随州）在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
11．（2018 百色）如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且=，若点A（﹣1，0），点C（，1），则A′C′=_____．
12．（2018 阜新）如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF=2，那么线段BF的长度为__．
13．（2018 黔西南）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为_____．
14．（2019 吉林）在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为________．
15．（2019 钦州）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）
16．（2019 南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长为_____．
三、解答题
17、（2017 株洲）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
18．（2018 绥化）如图，在中，，，，D、E分别是斜边AB、直角边BC上的点，把沿着直线DE折叠．
如图1，当折叠后点B和点A重合时，用直尺和圆规作出直线DE；不写作法和证明，保留作图痕迹
如图2，当折叠后点B落在AC边上点P处，且四边形PEBD是菱形时，求折痕DE的长．
19．（2019 张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．
(1)求证：；
(2)若，，求FG的长．
20．（2019 武汉）在中，，，是上一点，连接
（1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证：
（2）过点作，为垂足，连接并延长交于点.
①如图2，若，求证：
②如图3，若是的中点，直接写出的值（用含的式子表示）
一、单选题
1．（2018 定西模拟）下面两个图形一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
2．（2018 潍坊模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A的坐标是（ ）
A．（2，）
B．（1，2）
C．（4，8）或（﹣4，﹣8）
D．（1，2）或（﹣1，﹣2）
3．（2018 北京联考）如图，左、右并排的两棵树AB和CD，小树的高AB=6m，大树的高CD=9m，小明估计自己眼睛距地面EF=1.5m，当他站在F点时恰好看到大树顶端C点．已知此时他与小树的距离BF=2m，则两棵树之间的距离BD是（ ）
A．1m
B．m
C．3m
D．m
4．（2018 临沂模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点C为顶点向△ABC内作正方形DECF，使正方形的另三个顶点D、E、F分别在边AB，BC，AC上，若BC=6，AB=10，则正方形DECF的边长为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2019 上海模拟）如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中，；；；，正确的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．（2019 白银模拟）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，3）、B（3，0），以原点为位似中心，将线段AB放大得到线段CD，若点C的坐标为（6，0），则点D的坐标为（ ）
A．（3，6）
B．（2，4.5）
C．（2，6）
D．（1.5，4.5）
7．（2019 芜湖模拟）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元
B．720元
C．1080元
D．2160元
8．（2019 自贡模拟）以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC相似的三角形图形为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．（2018 长沙模拟）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，如果DE=2AD，AE=3，那么EC=_____．
10．（2018 成都模拟）如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为_____m2．
11．（2018 无锡一模）在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于M，则AM：BM=__．
12．（2018 太原三模）某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为_____m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈，
cos53°≈，tan53°≈）．
13．（2019 绥化模拟）如图,利用标杆测量建筑物的高度,已知标杆高1.2,测得,则建筑物的高是__________．
14．（2019 北京模拟）小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2,0），则点E的坐标是_____．
15．（2019 金华模拟）在Rt△ABC纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E，F落在AB边上，每个正方形的边长为1，则Rt△ABC的面积为_____．
16．（2019 安丘模拟）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△Bn nMn的面积为Sn，则Sn＝_____．（用含n的式子表示）
三、解答题
17．（2018 苏州模拟）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD=AC，EC交AD于点F．
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)求证：FC=3EF．
18．（2018 六安模拟）我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I为△ABC的内心．
（1）如图1，连接AI并延长交BC于点D，若AB=AC=3，BC=2，求ID的长；
（2）如图2，过点I作直线交AB于点M，交AC于点N．
①若MN⊥AI，求证：MI2=BM CN；
②如图3，AI交BC于点D，若∠BAC=60°，AI=4，求的值．
19．（2019 咸宁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
20．（2019 宣城模拟）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB=
°，AB=
．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．
17
