4.5
锐角三角函数
一、锐角三角函数
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b
，AB＝c
（1）正弦：∠A的对边与________的比值是∠A的正弦.
即：
（2）余弦：∠A的________与斜边的比值是∠A的余弦.
即：
（3）正切：∠A的________与________的比值是∠A的正切.
即：
2、锐角三角函数：锐角A的________、________、正切都叫做∠A的锐角三角函数
二、三角函数值
1、特殊角的三角函数值
a
30°
45°
60°
sina
________
cosa
________
tana]
1
________
2、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=________(90°—A)，cosA=________(90°—A)
tanA=________(90°—A)，cotA=________(90°—A)
（2）平方关系：________+________
=1
（3）倒数关系：tanA·tan(90°—A)=________（4）弦切关系：tanA=.
3、锐角三角函数的增减性
当角度在0°～90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的________（或________）而________（或________）；
（2）余弦值随着角度的________（或________）而________（或________）；
（3）正切值随着角度的________（或________）而________（或________）；
（4）余切值随着角度的________（或________）而________（或________）.
三、解直角三角形
1、定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素求出其余________的过程，叫做解直角三角形.
2、解直角三角形的常用关系
（1）三边关系（勾股定理）：________＋b2＝________；
（2）两锐角关系（两锐角互余）：________＋________＝90°；
（3）边与角关系（锐角三角函数）：
，，，
3、解直角三角形类型：
（1）已知一边和一锐角；
（2）已知两边.
四、利用解直角三角形的知识解决实际问题
1、仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线________的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线________的角叫做俯角
2、方向(位)角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角.
如：下图中的目标方向线OA表示________60°.
3、坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的________叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝h：l
坡角：坡面与水平面的________叫做坡角，记作a，i＝＝tana
注意：坡度越大，a角越大，坡面越________.
考点一：锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，，，那么_______________；
变式跟进1在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan∠B的值为_________
考点二：有关于特殊角的三角函数值的运算
计算：sin45°+6tan30°﹣2cos30°．
变式跟进2计算：
．
考点三：锐角三角函数的增减性
三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（
）
A.
sin30°＜cos16°＜cos43°
B.
cos43°＜sin30°＜cos16°
C.
sin30°＜cos43°＜cos16°
D.
sin16°＜cos30°＜cos43°
变式跟进3如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①③
考点四：解直角三角形
如图，
，
，
，求BD的长.
变式跟进4小红同学要测量A、C两地的距离，但A、C之间有一水池，不能直接测量，于是她在A、C同一水平面上选取了一点B，点B可直接到达A、C两地．她测量得到AB=80米，BC=20米，∠ABC=120°．请你帮助小红同学求出A、C两点之间的距离．（参考数据≈4.5，≈4.6）
考点五：解直角三角形的应用
如图，其中、、三地在同一直线上，
地在地北偏东方向、在地北偏西方向．
地在地北偏东方向．且．从地到地的距离是（
）．
A.
B.
C.
D.
变式跟进5某度假村依山而建，大门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处测得度假村楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=60°，离B点8米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=73.5°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．（参考数据：sin73.5°≈0.96，con73.5°≈0.28，tan73.5°≈3.4，≈1.7）
一、选择题
1．（2017 益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（
）
A、
B、
C、
D、h cosα
2．（2017 河北）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（
）
A、北偏东55°
B、北偏西55°
C、北偏东35°
D、北偏西35°
3．（2018 益阳）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
4．（2018 贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
5．（2018 长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（ ）
A．800sinα米
B．800tanα米
C．米
D．米
6．（2019·宜昌）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2019·温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
8．（2019·泰安）如图，一艘船由港沿北偏东65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏东20°方向，则，两港之间的距离为（
）.
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．（2017 无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于________．
10．（2017 天门）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12
米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=
，则CE的长为________米．
11．（2018 青海）在中，若，则的度数是______．
12．（2018 眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.
13．（2018 荆州）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为_____米（≈1.73，结果精确到0.1）．
14．（2019·临沂）计算：_____．
15．（2019·盐城）如图，在中，，，，则的长为________．
16．（2019·宁波）如图，某海防响所发现在它的西北方向，距离哨所400米的处有一般船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东方向的处，则此时这般船与哨所的距离约为________米。（精确到1米，参考数据：，）
三、解答题
17．（2017·台州）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由.（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
18．（2018 巴彦淖尔）如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空，在A处测到空投地点C的俯角α=60°，测到地面指挥台β的俯角=30°，已知BC的距离是2000米，求此时飞机的高度（结果保留根号）。
19．（2019·北京）计算：.
20．（2019·聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，部分），在起点处测得大楼部分楼体的顶端点的仰角为，底端点的仰角为，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达处，测得顶端的仰角为（如图②所示），求大楼部分楼体的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：，，，，）
一、选择题
1．（2018 天津二模）sin45°的值等于（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．（2018 济南模拟）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t=（ ）
A．0.5
B．1.5
C．4.5
D．2
3．（2018 北京二模）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为．已知，冬至时北京的正午日光入射角约为°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为(
)
A．
B．
C．
D．
4．（2018 济南三模）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30日，在A点测得D点的仰角，在B点测得D点的仰角为，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为 米．
A．，30
B．30，
C．，30
D．，
5．（2019·成都模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2019·高安模拟）已知sin=，且是锐角，则等于(
)
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
7．（2019·金华模拟）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是
A．
B．
C．
D．
8．（2019·昆明模拟）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）
A．21.7米
B．22.4米
C．27.4米
D．28.8米
二、填空题
9．（2018 无锡模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=
，则sinA=________．
10．（2018 上海模拟）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为____米．（结果保留两个有效数字）（参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601）
11．（2018 葫芦岛一模）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知DE⊥EA，斜坡CD的长度为30m，DE的长为15m，则树AB的高度是_____m．
12．（2018·上海模拟）已知某斜面的坡度为1:，那么这个斜面的坡角等于_____度．
13．（2019·成都模拟）如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝_____度．
14．（2019·淮安模拟）为了测量某建筑物BE的高度(如图)，小明在离建筑物15米(即DE＝15米)的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝_____米．
15．（2019·上海模拟）如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是_____cm．
16．（2019·菏泽模拟）
一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα cosβ+cosα sinβ；sin（α﹣β）=sinα cosβ﹣cosα sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60° cos30°+cos60° sin30°==1．类似地，可以求得sin15°的值是_______．
三、解答题
17．（2018 连云港模拟）计算：2sin30°﹣|1﹣|+（）﹣1
18．（2018 连云港模拟）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF（EF=DC），可直接沿直线AB从A地到达B地，已知BC=12km，∠A=45°，∠B=30°，桥DC和AB平行．
（1）求桥DC与直线AB的距离；
（2）现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（以上两问中的结果均精确到0.1km，参考数据：≈1.14，≈1.73）
19．（2019·长沙模拟）计算：
20．（2019·常德模拟）图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B
之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度。
154.5
锐角三角函数
一、锐角三角函数
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b
，AB＝c
（1）正弦：∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦.
即：
（2）余弦：∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦.
即：
（3）正切：∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切.
即：
2、锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数
二、三角函数值
1、特殊角的三角函数值
a
30°
45°
60°
sina
cosa
tana]
1
2、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
（2）平方关系：sin2A+cos2A
=1
（3）倒数关系：tanA·tan(90°—A)=1
（4）弦切关系：tanA=.
3、锐角三角函数的增减性
当角度在0°～90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）.
三、解直角三角形
1、定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2、解直角三角形的常用关系
（1）三边关系（勾股定理）：a2＋b2＝c2；
（2）两锐角关系（两锐角互余）：∠A＋∠B＝90°；
（3）边与角关系（锐角三角函数）：
，，，
3、解直角三角形类型：
（1）已知一边和一锐角；
（2）已知两边.
四、利用解直角三角形的知识解决实际问题
1、仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角
2、方向(位)角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角.
如：下图中的目标方向线OA表示北偏东60°.
3、坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝h：l
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，i＝＝tana
注意：坡度越大，a角越大，坡面越陡.
考点一：锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，，，那么_______________；
【答案】
【解析】解：由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，由勾股定理得
．
sinA==
【点评】利用勾股定理和正弦定义即可求解.
变式跟进1在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan∠B的值为_________
【答案】1
【解析】解：如图所示：
tan∠B
.
故答案是：1.
【点评】构造直角三角形，利用正切定义进行求解.
考点二：有关于特殊角的三角函数值的运算
计算：sin45°+6tan30°﹣2cos30°．
【答案】+1
【解析】解：原式= +6×﹣2×=+1．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值.
变式跟进2计算：
．
【答案】
【解析】解：原式
．
【点评】将特殊角的三角函数值代入，同时注意零次幂和负整数指数幂的运算.
考点三：锐角三角函数的增减性
三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（
）
A.
sin30°＜cos16°＜cos43°
B.
cos43°＜sin30°＜cos16°
C.
sin30°＜cos43°＜cos16°
D.
sin16°＜cos30°＜cos43°
【答案】C
【解析】由锐角三角函数值知sin30°=cos60°，在三角函数中，若0°＜A＜90°，则sinA随着∠A的增大而增大，cosA随着∠A的增大而减小，所以cos60°＜cos43°＜cos16°，即：sin30°＜cos43°＜cos16°.
故选：C.
【点评】此题首先要先把所有三角函数化为统一的类型，或者化为sinA，或者化为cosA，进而更加方便计算.
变式跟进3如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①③
【答案】D
【解析】如图，连接BE，
根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，
∵∠AEB=∠D+∠DBE，
∴∠AEB>∠D，
∴∠C>∠D，
根据锐角三角形函数的增减性，可得，
sin∠C>sin∠D，故①正确；
cos∠Ctan∠C>tan∠D，故③正确；
故选：D．
【点评】连接BE，根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，因为∠AEB=∠D+∠DBE，所以∠AEB>∠D，所以∠C>∠D，根据锐角三角形函数的增减性，即可判断．
考点四：解直角三角形
如图，
，
，
，求BD的长.
【答案】
【解析】解：∵，
，AD＝20,
∴
,
∴DC=16,AC=
,
又∵，
∴AB＝2AC＝24，
∴BC＝
，
又∵BD＝BC－CD，
∴BD＝.
【点评】在Rt△ADC中求出CD的长度，在Rt△ABC中求出BC的长度，再根据BD＝BC－CD求值即可.
变式跟进4小红同学要测量A、C两地的距离，但A、C之间有一水池，不能直接测量，于是她在A、C同一水平面上选取了一点B，点B可直接到达A、C两地．她测量得到AB=80米，BC=20米，∠ABC=120°．请你帮助小红同学求出A、C两点之间的距离．（参考数据≈4.5，≈4.6）
【答案】A、C两点之间的距离约为92米．
【解析】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于点D，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBD=60°，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°﹣∠CBD=30°，
∴BD=BC=×20=10（米），
∴CD=，
∴AD=AB+BD=80+10=90米，
在Rt△ACD中，AC=≈92（米），
答：A、C两点之间的距离约为92米．
【点评】首先过C作CD⊥AB交AB延长线于点D，然后可得∠BCD=30°，再根据直角三角形的性质可得BD=10米，然后利用勾股定理计算出CD长，再次利用勾股定理计算出AC长即可．
考点五：解直角三角形的应用
如图，其中、、三地在同一直线上，
地在地北偏东方向、在地北偏西方向．
地在地北偏东方向．且．从地到地的距离是（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：过点作，
由题意可得，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
在中，
，
，
，
∴，
在中，
，
，
∴．
故选：D.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，结合实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.再解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的预交等知识转化为所需要的角.
变式跟进5某度假村依山而建，大门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处测得度假村楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=60°，离B点8米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=73.5°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．（参考数据：sin73.5°≈0.96，con73.5°≈0.28，tan73.5°≈3.4，≈1.7）
【答案】（1）1：2.4；（2）34.4米．
【解析】解：（1）过B作BG⊥AD于G，
则四边形BGDF是矩形，
∴BG=DF=5米，
∵AB=13米，
∴AG==12米，
∴AB的坡度i==1：2.4；
（2）在Rt△BCF中，BF=
，
在Rt△CEF中，EF=
,
∵BF﹣EF=BE=8米，
∴CF﹣CF=8，
解得：CF≈29.35．
∴DC=CF+DF≈29.35+5≈34.4米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角和俯角问题，解直角三角形的应用—坡度和坡比问题，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
一、选择题
1．（2017 益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（
）
A、
B、
C、
D、h cosα
【答案】B
【解析】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=
，
∴BC=
=
，
故选：B．
【点评】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD=
知BC=
=
．
2．（2017 河北）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（
）
A、北偏东55°
B、北偏西55°
C、北偏东35°
D、北偏西35°
【答案】D
【解析】解：∵甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，
∴乙的航向不能是北偏西35°，
故选D．
【点评】根据已知条件即可得到结论．
3．（2018 益阳）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】A
【解析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．
解：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，
BO=AB sinα=300sinα米．
故选A．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键．
4．（2018 贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
解：如图，连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
5．（2018 长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（ ）
A．800sinα米
B．800tanα米
C．米
D．米
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题.
解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，
∴tanα=，
∴AB=，
故选D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
6．（2019·宜昌）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值．
解：如图，过作于，则，
AC＝＝5．
．
故选D．
【点评】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
7．（2019·温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】B
【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．
解：作AD⊥BC于点D，
则BD＝＋0.3＝，
∵cosα＝，
∴cosα＝，
解得，AB＝米，
故选B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2019·泰安）如图，一艘船由港沿北偏东65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏东20°方向，则，两港之间的距离为（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意作BD垂直于AC于点D，根据计算可得，;根据直角三角形的性质求解即可.
解：根据题意作BD垂直于AC于点D.可得AB=
，
所以可得
因此可得
故选B.
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，根据特殊角的三角函数值计算即可.
二、填空题
9．（2017 无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于________．
【答案】3
【解析】解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B=
，O′D′=
，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE=
，
∴O′E=
=
，
∴tanBO′E=
，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
【点评】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值．，本题得以解决
10．（2017 天门）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12
米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=
，则CE的长为________米．
【答案】8
【解析】解：分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．
∵在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60°，
∴sin∠B=
，
∴AF=12×
=6
，
∴DG=6
．
∵在Rt△DGC中，CD=12
，DG=6
米，
∴GC=
=18．
∵在Rt△DEG中，tanE=
，
∴
=
，
∴GE=26，
∴CE=GE﹣CG=26﹣18=8．
即CE的长为8米．
故答案为8．
【点评】分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，在Rt△DEG中，根据正切函数定义得到GE的长；根据CE=GE﹣CG即可求解．
11．（2018 青海）在中，若，则的度数是______．
【答案】
【解析】先根据非负数的性质求出，，再由特殊角的三角函数值求出与的值，根据三角形内角和定理即可得出结论．
解：在中，，
，，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
12．（2018 眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.
【答案】2
【解析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
解：如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为：2
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
13．（2018 荆州）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为_____米（≈1.73，结果精确到0.1）．
【答案】24.1
【解析】设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，进而得出BE=CE=33，AE=a+33，在Rt△ACE中，依据tanA=，即可得到a的值．
解：如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，
∴CE=33，
∵∠CBE=45°=∠BCE，∠CAE=30°，
∴BE=CE=33，
∴AE=a+33，
∵tanA=，
∴tan30°=，即33=a+33，
解得a=33（﹣1）≈24.1，
∴a的值约为24.1米，
故答案为：24.1．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据在直角三角形中三角函数的定义列出算式，得出关于a的方程．
14．（2019·临沂）计算：_____．
【答案】
【解析】根据二次根式的乘法运算的法则和特殊角的三角函数值计算即可．
解：，
故答案为.
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记法则是解题的关键．
15．（2019·盐城）如图，在中，，，，则的长为________．
【答案】
【解析】过点作的垂线，则得到两个直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式，求的长.
解：过作于点，设，则，因为，所以，则由勾股定理得，因为，所以，则．则．
【点评】本题考查勾股定理和正余弦公式的运用，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.
16．（2019·宁波）如图，某海防响所发现在它的西北方向，距离哨所400米的处有一般船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东方向的处，则此时这般船与哨所的距离约为________米。（精确到1米，参考数据：，）
【答案】566
【解析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．
解：设与正北方向线相交于点，
根据题意，所以，
在中，因为，
所以，
中，因为，
所以（米）。
故答案为：566.
【点评】考查了解直角三角形的应用-方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
三、解答题
17．（2017·台州）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由.（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【答案】不会，理由见解析
【解析】解：过A作AC⊥OB于点C，
在Rt△AOC中，∠AOC=40°,
∴sin40°=,
又∵AO=1.2,
∴AC=OAsin40°=1.2×0.64=0.768（米）,
∵AC=0.768＜0.8,
∴车门不会碰到墙.
【点评】过A作AC⊥OB于点C，在Rt△AOC中，∠AOC=40°,AO=1.2,根据sin40°=,得出AC的长度，再与0.8比较大小即可得出判断.
18．（2018 巴彦淖尔）如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空，在A处测到空投地点C的俯角α=60°，测到地面指挥台β的俯角=30°，已知BC的距离是2000米，求此时飞机的高度（结果保留根号）。
【答案】1000米
【解析】作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，连接CD，利用解直角三角形的知识求得AD的长即可．
解：作AD⊥BC，交BC的延长线为点D，连结CD，
∵∠α=60°，∠β=30°，
∴∠BAC=60°-30°=30°，
∵AE//BC，
∴∠B=∠β=30°=∠BAC，
∴AC=BC=2000，
∴AD=AC×cos30°=1000米.
【点评】本题主要考查了解直角三角形——仰角、俯角的问题，理解仰角、俯角的定义、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.
19．（2019·北京）计算：.
【答案】
【解析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂法则计算即可
解：原式=
【点评】本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值，负指数幂，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
20．（2019·聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，部分），在起点处测得大楼部分楼体的顶端点的仰角为，底端点的仰角为，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达处，测得顶端的仰角为（如图②所示），求大楼部分楼体的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：，，，，）
【答案】大楼部分楼体的高度约为17米.
【解析】设楼高CE为x米，于是得到BE=x-20，解直角三角形即可得到结论．
解：设楼高为米.
∵在中，，
∴.
∵，
∴，
在中，，
∴.
解得（米）.
在中，，
∴（米）.
答：大楼部分楼体的高度约为17米.
【点评】此题是解直角三角形的应用---仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答．
一、选择题
1．（2018 天津二模）sin45°的值等于（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【解析】根据特殊角的三角函数值得出即可．
解：sin45°=，
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．
2．（2018 济南模拟）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t=（ ）
A．0.5
B．1.5
C．4.5
D．2
【答案】C
【解析】
解：过点A作AB⊥x轴于B，
∵点A（3，t）在第一象限，
∴AB=t，OB=3，
又∵tanα=，
∴t=4.5．
故选：C．
3．（2018 北京二模）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为．已知，冬至时北京的正午日光入射角约为°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】分析:在中，根据即可表示出
B
解：在中，
故选B.
【点评】考查解直角三角形，熟练运算锐角三角函数是解题的关键.
4．（2018 济南三模）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30日，在A点测得D点的仰角，在B点测得D点的仰角为，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为 米．
A．，30
B．30，
C．，30
D．，
【答案】D
【解析】在中可求得CD的长，即求得乙的高度，延长AE交CD于F，则，求得，在中可求得DF，则可求得CF的长，即可求得甲的高度．
解：延长AE交CD于F，则，
，，
，
．
四边形ABCF为矩形，
，．
，
，
，
在中，
，
答：甲建筑物的高AB为，乙建筑物的高DC为
故选：D．
【点评】本题主要考查角直角三角形的应用，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键．
5．（2019·成都模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先求第三边，再求三角函数值.
解：∵中，，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，cosB＝＝．
故选B．
【点评】此题重点考察学生对三角函数值的理解，掌握三角函数值的计算是解题的关键.
6．（2019·高安模拟）已知sin=，且是锐角，则等于(
)
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
【答案】B
【解析】本题只需要根据特殊角的三角函数值即可得出答案.sin60°=，则=60°.
7．（2019·金华模拟）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】连接．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO=
.
解：如图，连接AD．
∵OD是直径，
∴∠OAD=90o，
∵∠AOB+∠AOD=90o,∠AOD+∠ADO=90o，
∴∠AOB=∠ADO，
∴sin∠AOB=sin∠ADO=.
故选D．
【点评】考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.
8．（2019·昆明模拟）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）
A．21.7米
B．22.4米
C．27.4米
D．28.8米
【答案】A
【解析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题.
解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．
在Rt△CDN中，∵，设CN=4k，DN=3k，
∴CD=10，
∴（3k）2+（4k）2=100，
∴k=2，
∴CN=8，DN=6，
∵四边形BMNC是矩形，
∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，
在Rt△AEM中，tan24°=，
∴0.45=，
∴AB=21.7（米），
故选A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题
9．（2018 无锡模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=
，则sinA=________．
【答案】
【解析】直接画出图形进而利用锐角三角函数关系得出答案．
解：∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=，
∴sinA==.
故答案为：.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的概念.
10．（2018 上海模拟）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为____米．（结果保留两个有效数字）（参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601）
【答案】6.2
【解析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题.
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AB sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
故答案为：6.2.
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.
11．（2018 葫芦岛一模）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知DE⊥EA，斜坡CD的长度为30m，DE的长为15m，则树AB的高度是_____m．
【答案】45
【解析】先根据CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
解：作DF⊥AB于F，交BC于G．则四边形DEAF是矩形，
∴DE=AF=15m，
∵DF∥AE，
∴∠BGF=∠BCA=60°，
∵∠BGF=∠GDB+∠GBD=60°，∠GDB=30°，
∴∠GDB=∠GBD=30°，
∴GD=GB，
在Rt△DCE中，∵CD=2DE，
∴∠DCE=30°，
∴∠DCB=90°，
∵∠DGC=∠BGF，∠DCG=∠BFG=90°
∴△DGC≌△BGF，
∴BF=DC=30m，
∴AB=30+15=45（m），
故答案为45．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
12．（2018·上海模拟）已知某斜面的坡度为1:，那么这个斜面的坡角等于_____度．
【答案】30°
【解析】画出示意图，利用坡角的定义直接得出tanA=求出∠A即可．
解：如图所示：
∵某坡面的坡比为1:，
∴tanA==，
则它的坡角是：30 .
故答案为30.
【点评】本题考查三角函数的知识，解题的关键是掌握特殊角度的三角函数值，常见的特殊角的三角函数值包括30°、60°、90°、45°的三角函数值，直接根据特殊角度的三角函数值进行求解即可.
13．（2019·成都模拟）如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝_____度．
【答案】70.
【解析】直接利用sinA＝cos（90°﹣∠A），进而得出答案．
解：∵sinα＝cos20°，
∴α＝90°﹣20°＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题考查了锐角三角函数的性质，正确把握相关性质是解题关键．掌握正余弦的转换方法：在直角三角形中一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值；一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值.
14．（2019·淮安模拟）为了测量某建筑物BE的高度(如图)，小明在离建筑物15米(即DE＝15米)的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝_____米．
【答案】16.8
【解析】由于仰角是45°，可以直接得到BC=DE=15,然后加上测角仪的高度即可得到答案.
解：如图，
∠CAB=45°
AD=1.8
BE=BC+CE=16.8
故答案为：16.8
【点评】此题重点考察学生对三角函数值的应用，掌握三角函数的解法是解题的关键.
15．（2019·上海模拟）如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是_____cm．
【答案】270
【解析】根据题意先求出BH，在Rt△BHC中，根据坡度的概念求出CH，计算即可．
解：
由题意得，BH⊥AC，
则BH=18×4=72，
∵斜坡BC的坡度i=1：5，
∴CH=72×5=360，
∴AC=360-30×3=270（cm），
故答案为270．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
16．（2019·菏泽模拟）
一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα cosβ+cosα sinβ；sin（α﹣β）=sinα cosβ﹣cosα sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60° cos30°+cos60° sin30°==1．类似地，可以求得sin15°的值是_______．
【答案】．
【解析】sin15°=sin（60°﹣45°）=sin60° cos45°﹣cos60° sin45°==．故答案为．
三、解答题
17．（2018 连云港模拟）计算：2sin30°﹣|1﹣|+（）﹣1
【答案】4﹣
【解析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的法则计算即可．
解：原式=2×﹣（
﹣1）+2
=1﹣+1+2
=4﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2018 连云港模拟）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF（EF=DC），可直接沿直线AB从A地到达B地，已知BC=12km，∠A=45°，∠B=30°，桥DC和AB平行．
（1）求桥DC与直线AB的距离；
（2）现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（以上两问中的结果均精确到0.1km，参考数据：≈1.14，≈1.73）
【答案】（1）桥DC与直线AB的距离是6.0km；（2）现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km．
【解析】第一问过C向AB作垂线构建三角形，求出垂线段的长度即可；第二问，过点D向AB作垂线，然后根据解三角形求出AD，
CB的长，进而求出现在从A地到达B地可比原来少走的路程.
解：（1）作CH⊥AB于点H，如图所示，
∵BC=12km，∠B=30°，
∴km，BH=km，
即桥DC与直线AB的距离是6.0km；
（2）作DM⊥AB于点M，如图所示，
∵桥DC和AB平行，CH=6km，
∴DM=CH=6km，
∵∠DMA=90°，∠B=45°，MH=EF=DC，
∴AD=km，AM=DM=6km，
∴现在从A地到达B地可比原来少走的路程是：（AD+DC+BC）﹣（AM+MH+BH）=AD+DC+BC﹣AM﹣MH﹣BH=AD+BC﹣AM﹣BH==6≈4.1km，
即现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km．
【点评】做辅助线，构建直角三角形，根据边角关系解三角形，是解答本题的关键.
19．（2019·长沙模拟）计算：
【答案】
【解析】根据负指数幂、特殊角三角函数值、二次根式和零次幂的性质计算即可.
解：原式=
=
【点评】本题考查负指数幂、特殊角三角函数值、二次根式和零次幂的运算，熟记特殊角三角函数值是解题关键.
20．（2019·常德模拟）图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B
之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度。
【答案】64cm.
【解析】根据题意过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，然后在直角三角形中利用三角函数求出AE和BF，从而可求出通过闸机的物体的最大宽度.
解：如图所示：
过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
在RT△ACE中，AE=sin30°×AC=×54=27cm，
同理可得BF=27cm,
又∵点A与B之间的距离为10cm,
∴通过闸机的物体的最大宽度为：27+10+27=64cm,
答：通过闸机的物体的最大宽度为：64cm.
【点评】三角函数在直角三角形中的实际应用是本题的考点，根据题意作出辅助线转化成解直角三角形是解题的关键.
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