4.1
三角形
一、三角形的定义及分类
1、三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
其中：组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角.
2、三角形的分类
（1）按边分类：
（2）按角分类：
3、三角形具有稳定性.
二、三角形中的主要线段
1、三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）.
2、三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线.
注意：三角形的三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
3、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.
注意：三角形的三条中线的交点，叫做三角形的重心.
4、三角形的中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.
（2）性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
三、三角形的三边关系定理及推论
1、三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.
2、三角形三边关系定理推论：三角形的两边之差小于第三边.
注意：三角形三边关系定理及推论的作用：
（1）判断三条已知线段能否组成三角形
（2）当已知两边时，可确定第三边的范围.
（3）证明线段不等关系.
四、三角形的内角和定理及推论
1、三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.
2、推论：
（1）直角三角形的两个锐角互余.
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.
五、多边形的相关知识
1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
2、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
注意：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形.（2）n边形共有条对角线.
3、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.
4、多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2） 180°
5、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
6、多边形的外角和：多边形的内角和为360°.
7、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
考点一：三角形的三边关系
下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A.
3，2，1
B.
3，2，5
C.
3，4，6
D.
3，4，7
【答案】C
【解析】根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，1+2=3，不能组成三角形；
B中，2+3=5，不能组成三角形；
C中，3+4=7＞6，能够组成三角形；
D中，3+4=7，不能组成三角形．
故选:C．
【点评】根据三角形任意两边之和大于第三边进行判断即可.
变式跟进1有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7．
（1）请写出其中一个三角形的第三边的长；
（2）设组中最多有n个三角形，求n的值；
【答案】（1）10（答案不唯一）；（2）n=9.
【解析】解：(1)设三角形的第三边为x，
∵每个三角形有两条边的长分别为5和7，
∴7 5∴2∴其中一个三角形的第三边的长可以为10.
(2)∵2∴x=3，4，5，6，7，8，9，10，11，
∴组中最多有9个三角形，
∴n=9；
【点评】（1）根据三角形的三边关系列出不等式组，再解不等式组即可；（2）在取值范围找出整数值，即可求出n的值.
考点二：三角形的三线：角平分线、中线和高线
如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24cm2，求△BEF的面积．
【答案】6
【解析】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=×24=12，
∴S△BCE=S△ABC=×24=12，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=S△BCE=×12=6．
【点评】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的两个三角形解答.
变式跟进2（1）如图1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠BAC=70°，求∠BOC的度数；
（2）如图2，若点P为△ABC外部一点，PB平分∠ABC，PC平分外角∠ACD，先写出∠BAC和∠BPC的数量关系：
，并证明你的结论．
【答案】（1）∠BOC=125°；（2）∠BPC=∠BAC，理由见解析.
【解析】解：（1）∵∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=，
∴在△BOC中，∠BOC=180°﹣55°=125°；
（2）∠BPC=∠BAC．
理由：在△ABC中，∠ACD=∠A+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD=∠P+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，
∴∠P+∠PCB=（∠A+∠ABC）=∠A+∠ABC=∠A+∠PCB，
∴∠BPC=∠BAC．
【点评】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的值；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC，根据角平分线的定义可得∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，然后整理得到∠PCD=∠A，再代入数据计算即可得解．
考点三：三角形的中位线
如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4，D、E、F分别为BC、AC、AB中点，连接DE、FE，则四边形BDEF的周长是____．
【答案】14
【解析】解：∵D,E,F分别为BC、AC、AB中点,
∴EF=BD=8÷2=4，DE=BF=6÷2=3.
∴四边形BDEF的周长是4+4+3+3=14.
【点评】根据三角形的中位线定理，即可求解.
变式跟进3如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则的值为
.
【答案】.
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC.
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线.
∴.
∴.
【点评】先利用三角形的中位线定理得出，再利用平行四边形的性质即可得出
考点四：三角形的内角和
如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G．若∠1＝50°，则∠E＝（
）.
A.
60°
B.
50°
C.
40°
D.
30°
【答案】C
【解析】解：如图所示，
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2＝∠1＝50°
∵EG⊥AB，
∴∠AGE＝90°
∴∠E=90°-50°=40°.
故选：C
【点评】先根据对顶角相等求出∠1的对顶角，然后根据两直线平行，同位角相等，求出直角三角形的一个内角，最后利用直角三角形两锐角互余即可求解.
变式跟进4如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（
）
A.
∠1+∠2=2∠A
B.
∠2-∠A=2∠1
C.
∠2-∠1=2∠A
D.
∠1+∠A=∠2
【答案】C
【解析】如图：
分别延长CE、BD交于点，
∴∠2=∠EA+∠EA,∠1=∠DA+∠DA，
而根据折叠可以得到∠EA=∠EA,∠DA=∠DA，
∴∠2 ∠1=2(∠EA ∠DA)=2∠EAD.
故选C.
【点评】利用三角形的外角等于与不相邻的两个内角的和，再利用轴对称的性质即可解出.
考点五：三角形的面积
数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为（ ）
A.
S△ABC＞S△DEF
B.
S△ABC＜S△DEF
C.
S△ABC=S△DEF
D.
不能确定
【答案】C
【解析】解：如图，过点A. D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，
在Rt△ABG中,
在Rt△DHE中,
∴AG=DH.
∵BC=4，EF=4，
故选C.
【点评】根据等底等高的两个三角形的面积相等即可得出答案.
变式跟进5已知三角形相邻两边长分别为20㎝和30㎝，第三边上的高为10㎝，则此三角
形的面积为
㎝ .
【答案】（100+50）或（100－50）
【解析】解：设AB=30cm，AC=20cm，AD=10cm，
由题意作图，有两种情况：
第一种：如图①，
在Rt△ABD中，利用勾股定理BD==cm，
同理求出CD=10cm，
则三角形面积=BC AD=（10+20）×10=（100）cm2
第二种：如图②，
在Rt△ABD中，BD===20cm
在Rt△ACD中，CD===10cm
则BC=cm
所以三角形面积=BC AD=（20﹣10）×10=cm2
故答案为：
【点评】本题主要考查三角形的面积.
利用分类讨论思想作出符合题意的全部图形是解题的关键所在.
考点六：
多边形
一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于
．
【答案】72°．
【解析】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）=540，
解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．
故答案为：72°．
【点评】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
变式跟进6如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_________米．
【答案】120
【解析】解：∵360÷30=12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．
故答案为：120．
【点评】小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．
一、选择题
1、（2017 株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（
）
A、145°
B、150°
C、155°
D、160°
【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，
∴6x=180，
∴x=30，
∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，
故选B．
【点评】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
2、（2017 遵义）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（
）
A、4.5
B、5
C、5.5
D、6
【答案】A
【解析】解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CF是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，
∴△AEF的面积=
×△ABE的面积=
×△ABD的面积=
×△ABC的面积=
，
同理可得△AEG的面积=
，
△BCE的面积=
×△ABC的面积=6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积=
×△BCE的面积=
，
∴△AFG的面积是
×3=
，
故选：A．
【点评】根据中线的性质，可得△AEF的面积=
×△ABE的面积=
×△ABD的面积=
×△ABC的面积=
，△AEG的面积=
，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积=
×△BCE的面积=
，进而得到△AFG的面积．
3．（2018 青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则等于
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：如图：
，，
，，
∴
=
=，
故选C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、熟练掌握相关定理及性质以及一副三角板中各个角的度数是解题的关键.
4．（2018 黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75°
B．80°
C．85°
D．90°
【答案】A
【解析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
5．（2018 扬州）在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE．
故选C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC=∠BCE是解题的关键．
6．（2019 百色）三角形的内角和等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据三角形的内角和定理进行解答即可．
解：因为三角形的内角和等于180度，
故选B．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟记“三角形的内角和等于180度“是解题的关键．
7．（2019 徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．，，
B．，，12
C．，，
D．，，
【答案】D
【解析】根据三角形三边关系，看其中较小两边的和是否大于最长边即可判断各个选项中的三条线段是否能组成三角形．
解：，，，不能组成三角形，故选项A错误，
，，，不能组成三角形，故选项B错误，
，，，不能组成三角形，故选项C错误，
，
，，能组成三角形，故选项D正确，
故选D．
【点评】本题考查了三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．
8．（2019 荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意求出、，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．
解：由题意得，，
，
由三角形的外角性质可知，，
故选C．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
二、填空题
9、（2017 盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1=________°．
【答案】120
【解析】解：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°，
故答案为：120．
【点评】根据三角形的外角的性质计算即可．
10、（2017 福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于________度．
【答案】108
【解析】解：如图
，
由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，
∠5=∠6=180°﹣108°=72°，
∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．
∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，
故答案为：108．
【点评】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．
11．（2018 绥化）三角形三边长分别为3，，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围．
解：三角形的三边长分别为3，，4，
，
即，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．
12．（2018 陇南）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____．
【答案】7
【解析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
解：∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，
∴a﹣7=0，b﹣1=0，
解得a=7，b=1，
∵7﹣1=6，7+1=8，
∴
又∵c为奇数，
∴c=7，
故答案为：7．
【点评】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．
13．（2018 上海）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是_____度．
【答案】540
【解析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和．
解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．
所以该多边形的内角和是3×180°=540°，
故答案为：540．
【点评】本题考查了多边形的内角和与对角线，熟知n边形从一个顶点出发的对角线将n边形分成（n-2）个三角形是关键.这里体现了转化的数学思想.
14．（2019 北京）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）
【答案】1.9
【解析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，
（cm2）．
故答案为：1.9．
【点评】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
15．（2019 益阳）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝____________度．
【答案】52
【解析】根据平行线的性质可得∠OED＝∠2，再根据∠O＝90°，∠1＝∠OED+∠O＝142°，即可求得答案.
解：∵AB∥CD，
∴∠OED＝∠2，
∵OA⊥OB，
∴∠O＝90°，
∵∠1＝∠OED+∠O＝142°，
∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°，
故答案为：52．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
16．（2019 永州）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝_____．
【答案】4．
【解析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．
解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM＝DE＝2．
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，
∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．
在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，
∴DF＝2DM＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．
三、解答题
17、（2017 绍兴）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β.
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上.
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=________°，β=________°.②求α，β之间的关系式.________
(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，请求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由.
【答案】（1）20；10；α=2β；（2）α=2β-180°
【解析】解：（1）①因为AD=AE，
所以∠AED=∠ADE=70°，∠DAE=40°，
又因为AB=AC，∠ABC=60°，
所以∠BAC=∠C=∠ABC=60°，
所以α=∠BAC-∠DAE=60°-40°=20°，
β=∠AED-∠C=70°-60°=10°；
②解：如图，设∠ABC=x,∠ADE=y,
则∠ACB=x，∠AED=y，
在△DEC中，y=β+x，
在△ABD中，α+x=y+β,
所以α=2β.
（2）解：如图，点E在CA延长线上，点D在线段BC上，
设∠ABC=x，∠ADE=y，则∠ACB=x，∠AED=y，
在△ABD中，x+α=β-y，
在△DEC中，x+y+β=180°,
所以α=2β-180°.
注：求出其它关系式，相应给分，如点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，可得α=180°-2β.
【点评】（1）①在△ADE中，由AD=AE，∠ADE=70°，不难求出∠AED和∠DAE；由AB=AC，∠ABC=60°，可得∠BAC=∠C=∠ABC=60°，则α=∠BAC-∠DAE，再根据三角形外角的性质可得β=∠AED-∠C；②求解时可借助设未知数的方法，然后再把未知数消去的方法，可设∠ABC=x,∠ADE=y；（2）有很多种不同的情况，做法与（1）中的②类似，可求这种情况：点E在CA延长线上，点D在线段BC上.
18．（2018 淄博）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
【答案】证明见解析
【解析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．
解：如图，过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．
19．（2019 苏州）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点
(1)求证：；
(2)若，，求的度数.
【答案】(1)证明见解析；(2)78°.
【解析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到；
（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC
解：(1)
(2)
【点评】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键
20．（2019 河北）如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD=∠CAE；
（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
【答案】（1）详见解析；（2）PD的最大值为3；（3）m=105，n=150．
【解析】（1）根据ASA证明△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出结论．
（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．可得AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．
（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．
解：（1）如图1．在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．
（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．
当AD⊥BC时，APAB=3最小，即PD=6﹣3=3为PD的最大值．
（3）如图2，设∠BAP=α，则∠APC=α+30°．
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．
∵I为△APC的内心，∴AI平分∠PAC，CI平分∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180°（∠PAC+∠PCA）=180°（90°﹣α+60°）α+105°
∵0＜α＜90°，∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．
【点评】本题是一道几何综合题，考查了垂线段最短，含30°的角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题的关键是将PD最大值转化为PA的最小值．
一、选择题
1．（2018 北京模拟）如图，在△ABC中，BC边上的高是（ ）
A．AF
B．BH
C．CD
D．EC
【答案】A
【解析】BC的高为过点A到BC的垂线段，看图得BC边上的高为AF.
解:由图看出，只有AF过点A且垂直BC，故BC边上的高为AF，故选A.
【点评】本题考查作高，解题的关键是清楚高的定义.
2．（2018 扬州二模）如图，△ABC中，AB=AC,∠A=40 ，点P是△ABC内一点，连结PB、PC，∠1=∠2，则∠BPC的度数是（
）
A．110
B．130
C．140
D．120
【答案】A
【解析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC+∠ACB=140°，∠1=∠PBC=∠PCB=∠2，最后根据三角形内角和定理得出∠BPC的度数．
解：∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠PBC=∠PCB=∠2，
∴∠PBC+∠PCB=140°÷2=70°，
∴∠BPC=180°－70°=110°． 故选A．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质以及角平分线的性质，属于基础题型．解决这个问题的关键就是得出∠1=∠PBC=∠PCB=∠2．
3．（2018 福州模拟）如图，在中，
，将绕顶点逆时针旋转得到Rt△DEC,点M是BC的中点，点P是DE的中点，连接PM，若BC
=2,∠BAC=30°，则线段PM的最大值是
（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【解析】连接CP，由题意可知BC的长，从而求出AB、CM的长，由旋转的性质得出ED的长,再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可求出PC的长，最后由三角形的两边之和大于第三边可知，当点P、M、C共线时，PM取最大值.
解：如图：连接CP，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4.
∵BC的中点为M，
∴CM=BC=×2=1.
∵绕点C逆时针旋转任意一个角度得到Rt△DEC，P是Rt△DEC中ED的中点.
∴AB=ED,
∴CP=ED=AB=×4=2.
由三角形的三边关系得，CM+CP＞PM，
∴P、C、M三点共线时PM有最大值.
此时PM=CM+CP=1+2=3．
【点评】本题考查了旋转的性质、三角形的三边关系.
4．（2018 韶关一模）正多边形的一个外角的度数为36°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】C
【解析】多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都相等，且一个外角的度数为36°，由此即可求出答案．
解：360÷36=10，则正多边形的边数为10．
故选C．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知正多边形的外角求正多边形的边数是一个考试中经常出现的问题．
5．（2019·兴化模拟）三角形的重心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平行线的交点
【答案】A
【解析】解：三角形的重心是三条中线的交点，
故选A．
6．（2019 遵义模拟）将一幅三角板如图所示摆放，若BC∥DE，那么∠1的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】延长DF交BC于点G，∠D和∠CGD互为内错角，∠D=∠CGD=45°；根据三角尺的特点，∠B=30°；再根据三角形的外角定理，可得∠GFB=∠CGD-∠B=15°；最后根据∠EFG=90°，计算∠1=∠EFG
-∠GFB即可得到答案.
解：延长DF交BC于点G，
∵BC∥DE，
∴∠D=∠CGD=45°，
∵∠B+∠GFB=∠CGD=45°，∠B=30°，
∴∠GFB=15°，
∴∠1=90°-15°=75°．
故选C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角定理（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）的相关知识，学会作辅助线和熟练掌握内错角、外角定理的基本性质是解答本题的关键.
7．（2019 安丘模拟）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140°
B．100°
C．50°
D．40°
【答案】B
【解析】如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°,即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°,同理可得∠OPM=∠ODM=50°,所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.故选B.
【点评】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识点，根据轴对称的性质证得△OCD是等腰三角形，求得得∠OCD=∠ODC=50°，再利用SAS证明△CON≌△PON，△ODM≌△OPM，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°,∠OPM=∠ODM=50°,再由∠MPN=∠NPO+∠OPM即可求解．
8．（2019 温州模拟）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是
A．8
B．9
C．10
D．12
【答案】A
【解析】设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．
解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，
由题意得：x+3x=180，
解得x=45，
这个多边形的边数：360°÷45°=8，
故选A．
二、填空题
9．（2018 陕西二模）如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形和正六边形的一条边重合并叠在一起，则∠1的度数为_____．
【答案】60°
【解析】先根据多边形的内角和公式求出正六边形每个内角的度数，然后用正六边形内角的度数减去正三角形内角的度数即可.
解：（6-2）×180°÷6=120°，
∠1=120°-60°=60°.
故答案为：60°.
【点评】题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n-2)
×180°是解答本题的关键.
10．（2018 南京调研）等腰三角形一边长为4cm，一腰上中线把其周长分为两部分之差为3cm，则等腰三角形周长为______．
【答案】9cm,15cm或18cm
【解析】分有两种情况，当底比较长的时候和腰比较长的时候两种情况．
解：当底比较长时，腰为，三边为4，4，1能构成三角形，等腰三角形周长.
当腰比较长时，腰为，三边为4，7，7能构成三角形，等腰三角形周长.
当腰比较长时，腰为，三边为4，4，7能构成三角形，等腰三角形周长.
故答案为
,15cm或18cm．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系.用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
11．（2018 扬州三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分別为AB，AC，BC的中点，若CD=5，則EF的长为___．
【答案】5．
【解析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．
解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
∴CD=
AB，
又∵EF是△ABC的中位线，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
∴EF=×10=5cm.
故答案为：5.
【点评】本题主要考查三角形中位线定理，
直角三角形斜边上的中线,熟悉掌握是关键.
12．（2018 兴化模拟）若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为_____．
【答案】六
【解析】设多边形的边数是，
根据题意得，，
解得．
故答案为6．
13．（2019 茂名模拟）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是_____．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】
试题分析：钉在墙上的方法是构造三角形，因而应用了三角形的稳定性．
解：这种方法应用的数学知识是：三角形具有稳定性.
故答案为三角形具有稳定性.
14．（2019 北京模拟）如图，，，是多边形的三个外角，边CD，AE的延长线交于点F，如果，那么的度数是______.
【答案】45°
【解析】利用多边形的外角和为360°以及三角形内角和为180°，然后通过计算即可求解.
解：∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠DEF+∠EDF=360°，又∵∠1+∠2+∠3=225°，
∴∠DEF+∠EDF=135°，∵∠DEF+∠EDF+∠DFE=180°，∴∠DFE=180°-135°=45°．
故答案是为45°.
【点评】本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．
15．（2019 北京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，D是A'B'的中点，连接BD，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段BD的最大值为_____．
【答案】4
【解析】连接CD．根据直角三角形斜边中线的性质求出CD=A′B′=2，利用三角形的三边关系即可解决问题．
解：连接CD，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝4，
∵DB′＝DA′，
∴CD＝A′B′＝2，
∴BD≤CD+CB＝4，
∴BD的最大值为4，
故答案为4．
【点评】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．（2019 沈阳模拟）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．
【答案】30
【解析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P的度数.
解：∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，
∵∠PBC+∠P=∠PCM，
∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，
故答案为：30
【点评】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.
三、解答题
17．（2018 保定二模）连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线．
（1）
对角线条数分别为
、
、
、
．
（2）n边形可以有20条对角线吗？如果可以，求边数n的值；如果不可以，请说明理由．
（3）若一个n边形的内角和为1800°，求它对角线的条数．
【答案】（1）2；5；9；；（2）n边形可以有20条对角线，此时边数n为八；（3）这个多边形有54条对角线
【解析】（1）设n边形的对角线条数为an，根据多边形对角线条数公式即可求出结论；
（2）假设可以，根据多边形对角线条数公式，可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）根据多边形内角和定理，可求出边数，再套用多边形对角线条数公式，即可得出结论．
解：（1）设n边形的对角线条数为an，
则a4==2，a5==5，a6==9，…，an=．
（2）假设可以，根据题意得：
=20，
解得：n=8或n=-5（舍去），
∴n边形可以有20条对角线，此时边数n为八．
（3）∵一个n边形的内角和为1800°，
∴180°×（n-2）=1800°，
解得：n=12，
∴==54．
答：这个多边形有54条对角线．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、多边形的对角线以及多边形内角和定理，解题的关键是：（1）根据多边形对角线条数公式求出多边形的对角线条数；（2）根据多边形对角线条数公式，列出关于n的一元二次方程；（3）根据多边形内角和定理，求出边数n．
18．（2018 鞍山二模）如图1，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=1，连接DE、CD，点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，连接MP、PN、MN．
（1）求证：△PMN是等腰三角形；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转，
①如图2，当点D、E分别在边AC两侧时，求证：△PMN是等腰三角形；
②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次点D、E、C在一条直线上时，请直接写出此时BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②.
【解析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论PM=PN；
（2）①先证明△ABD≌△ACE，得BD=CE，同理根据三角形中位线定理可得结论；
②如图4，连接AM，计算AN和DE、EM的长，如图3，证明△ABD≌△CAE，得BD=CE，根据勾股定理计算CM的长，可得结论
解：（1）如图1，∵点N，P是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN=BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM=CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
（2）①如图2，∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∵点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，
∴PN=BD，PM=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次点D、E、C在一条直线上时，如图3，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=CE，
如图4，连接AM，
∵M是DE的中点，N是BC的中点，AB=AC，
∴A、M、N共线，且AN⊥BC，
由勾股定理得：AN==4，
∵AD=AE=1，AB=AC=6，
∴=，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△AEC，
∴，
∴，
∴AM=，DE=，
∴EM=，
如图3，Rt△ACM中，CM===，
∴BD=CE=CM+EM=．
【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，全等和相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解（2）①的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（2）②的关键是判断出△ADE∽△AEC
19．（2019 邵阳模拟）如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．
【答案】
【解析】根据三角形内角和求出∠BAC的度数，根据角平分线求出∠BAD的度数，根据外角的性质求出∠ADE的度数，最后根据三角形内角和求出∠DAE的度数.
解：∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（己知)
∴∠BAC=180°―38°―100°=42°（三角形内角和180°)
又∵AD平分∠BAC（己知)
∴∠BAD=21°
∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°（三角形的外角性质)
又∵AE是BC边上的高，
即∠E=90°
∴∠DAE=90°―59°=31°
20．（2019 秦皇岛模拟）发现
如图1，在有一个“凹角∠A1A2A3”n边形A1A2A3A4……An中（n为大于3的整数），∠A1A2A3＝∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+……+∠An﹣（n﹣4）×180°．
验证
（1）如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，证明：∠ABC＝∠A+∠C+∠D．
（2）证明3，在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，证明；∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣360°．
延伸
（3）如图4，在有两个连续“凹角A1A2A3和∠A2A3A4”的四边形A1A2A3A4……An中（n为大于4的整数），∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A6……+∠An﹣（n﹣
）×180°．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6．
【解析】（1）如图2，延长AB交CD于E，可知∠ABC＝∠BEC+∠C，∠BEC＝∠A+∠D，即可解答
（2）如图3，延长AB交CD于G，可知∠ABC＝∠BGC+∠C，即可解答
（3）如图4，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1An于B，可知∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4，再找出规律即可解答
解：（1）如图2，延长AB交CD于E，
则∠ABC＝∠BEC+∠C，∠BEC＝∠A+∠D，
∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D；
（2）如图3，延长AB交CD于G，则∠ABC＝∠BGC+∠C，
∵∠BGC＝180°﹣∠BGC，∠BGD＝3×180°﹣（∠A+∠D+∠E+∠F），
∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣360°；
（3）如图4，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1An于B，
则∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4，
∵∠1+∠3＝（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A6……+∠An），
而∠2+∠4＝360°﹣（∠1+∠3）＝360°﹣[（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A6……+∠An）]，
∴∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A6……+∠An﹣（n﹣6）×180°．
故答案为6．
【点评】此题考查多边形的内角和外角，，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质，属于中考常考题型
364.1
三角形
一、三角形的定义及分类
1、三角形的概念：由不在同一直线上的_______线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
其中：组成三角形的线段叫三角形的________；相邻两边的公共端点叫三角形的________；相邻两边所组成的角叫三角形的________，简称三角形的________.
2、三角形的分类
（1）按边分类：
（2）按角分类：
3、三角形具有________性.
二、三角形中的主要线段
1、三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边做________，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）.
2、三角形的角平分线：三角形的一个角的________与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线.
注意：三角形的三条角平分线的交点，叫做三角形的________.
3、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的_______的线段叫做三角形的中线.
注意：三角形的三条中线的交点，叫做三角形的________.
4、三角形的中位线
（1）定义：连接三角形两边________的线段，叫做三角形的中位线.
（2）性质：三角形的中位线________于第三边，并且等于第三边的________.
三、三角形的三边关系定理及推论
1、三角形三边关系定理：三角形的两边之和________第三边.
2、三角形三边关系定理推论：三角形的两边之差________第三边.
注意：三角形三边关系定理及推论的作用：
（1）判断三条已知线段能否组成三角形
（2）当已知两边时，可确定第三边的范围.
（3）证明线段不等关系.
四、三角形的内角和定理及推论
1、三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于________.
2、推论：
（1）直角三角形的两个锐角________.
（2）三角形的一个外角________和它不相邻的来两个内角的和.
五、多边形的相关知识
1、多边形：在平面内，由一些线段________相接组成的封闭图形叫做多边形.
2、多边形的对角线：连接多边形________的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
注意：（1）从n边形的一个顶点出发可以引________条对角线，把多边形分成________个三角形.（2）n边形共有________条对角线.
3、多边形的内角：多边形相邻两边组成的________叫做它的内角.
4、多边形内角和公式：n边形的内角和等于________
5、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的________组成的角叫做多边形的外角.
6、多边形的外角和：多边形的内角和为________.
7、正多边形：在平面内，各个角都________，各条边都________的多边形叫做正多边形.
考点一：三角形的三边关系
下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A.
3，2，1
B.
3，2，5
C.
3，4，6
D.
3，4，7
变式跟进1有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7．
（1）请写出其中一个三角形的第三边的长；
（2）设组中最多有n个三角形，求n的值；
考点二：三角形的三线：角平分线、中线和高线
如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24cm2，求△BEF的面积．
变式跟进2（1）如图1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠BAC=70°，求∠BOC的度数；
（2）如图2，若点P为△ABC外部一点，PB平分∠ABC，PC平分外角∠ACD，先写出∠BAC和∠BPC的数量关系：
，并证明你的结论．
考点三：三角形的中位线
如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4，D、E、F分别为BC、AC、AB中点，连接DE、FE，则四边形BDEF的周长是____．
变式跟进3如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则的值为
.
考点四：三角形的内角和
如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G．若∠1＝50°，则∠E＝（
）.
A.
60°
B.
50°
C.
40°
D.
30°
变式跟进4如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（
）
A.
∠1+∠2=2∠A
B.
∠2-∠A=2∠1
C.
∠2-∠1=2∠A
D.
∠1+∠A=∠2
考点五：三角形的面积
数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为（ ）
A.
S△ABC＞S△DEF
B.
S△ABC＜S△DEF
C.
S△ABC=S△DEF
D.
不能确定
变式跟进5已知三角形相邻两边长分别为20㎝和30㎝，第三边上的高为10㎝，则此三角
形的面积为
㎝ .
考点六：
多边形
一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于
．
变式跟进6如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_________米．
一、选择题
1、（2017 株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（
）
A、145°
B、150°
C、155°
D、160°
2、（2017 遵义）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（
）
3．（2018 青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则等于
A．
B．
C．
D．
4．（2018 黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75°
B．80°
C．85°
D．90°
5．（2018 扬州）在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2019 百色）三角形的内角和等于（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2019 徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．，，
B．，，12
C．，，
D．，，
8．（2019 荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9、（2017 盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1=________°．
10、（2017 福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于________度．
11．（2018 绥化）三角形三边长分别为3，，则a的取值范围是______．
12．（2018 陇南）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____．
13．（2018 上海）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是_____度．
14．（2019 北京）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）
15．（2019 益阳）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝____________度．
16．（2019 永州）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝_____．
三、解答题
17、（2017 绍兴）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β.
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上.
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=________°，β=________°.②求α，β之间的关系式.________
(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，请求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由.
18．（2018 淄博）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
19．（2019 苏州）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点
(1)求证：；
(2)若，，求的度数.
20．（2019 河北）如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD=∠CAE；
（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
一、选择题
1．（2018 北京模拟）如图，在△ABC中，BC边上的高是（ ）
A．AF
B．BH
C．CD
D．EC
2．（2018 扬州二模）如图，△ABC中，AB=AC,∠A=40 ，点P是△ABC内一点，连结PB、PC，∠1=∠2，则∠BPC的度数是（
）
A．110
B．130
C．140
D．120
3．（2018 福州模拟）如图，在中，
，将绕顶点逆时针旋转得到Rt△DEC,点M是BC的中点，点P是DE的中点，连接PM，若BC
=2,∠BAC=30°，则线段PM的最大值是
（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
4．（2018 韶关一模）正多边形的一个外角的度数为36°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
5．（2019·兴化模拟）三角形的重心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平行线的交点
6．（2019 遵义模拟）将一幅三角板如图所示摆放，若BC∥DE，那么∠1的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2019 安丘模拟）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140°
B．100°
C．50°
D．40°
8．（2019 温州模拟）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是
A．8
B．9
C．10
D．12
二、填空题
9．（2018 陕西二模）如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形和正六边形的一条边重合并叠在一起，则∠1的度数为_____．
10．（2018 南京调研）等腰三角形一边长为4cm，一腰上中线把其周长分为两部分之差为3cm，则等腰三角形周长为______．
11．（2018 扬州三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分別为AB，AC，BC的中点，若CD=5，則EF的长为___．
12．（2018 兴化模拟）若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为_____．
13．（2019 茂名模拟）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是_____．
14．（2019 北京模拟）如图，，，是多边形的三个外角，边CD，AE的延长线交于点F，如果，那么的度数是______.
15．（2019 北京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，D是A'B'的中点，连接BD，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段BD的最大值为_____．
16．（2019 沈阳模拟）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．
三、解答题
17．（2018 保定二模）连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线．
（1）
对角线条数分别为
、
、
、
．
（2）n边形可以有20条对角线吗？如果可以，求边数n的值；如果不可以，请说明理由．
（3）若一个n边形的内角和为1800°，求它对角线的条数．
18．（2018 鞍山二模）如图1，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=1，连接DE、CD，点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，连接MP、PN、MN．
（1）求证：△PMN是等腰三角形；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转，
①如图2，当点D、E分别在边AC两侧时，求证：△PMN是等腰三角形；
②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次点D、E、C在一条直线上时，请直接写出此时BD的长．
19．（2019 邵阳模拟）如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．
20．（2019 秦皇岛模拟）发现
如图1，在有一个“凹角∠A1A2A3”n边形A1A2A3A4……An中（n为大于3的整数），∠A1A2A3＝∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+……+∠An﹣（n﹣4）×180°．
验证
（1）如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，证明：∠ABC＝∠A+∠C+∠D．
（2）证明3，在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，证明；∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣360°．
延伸
（3）如图4，在有两个连续“凹角A1A2A3和∠A2A3A4”的四边形A1A2A3A4……An中（n为大于4的整数），∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A6……+∠An﹣（n﹣
）×180°．
16
