江苏省公道中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷Word版含答案

江苏省公道中学2019-2020学年上学期期末考试
高二数学试卷
（全卷满分160分，考试时间120分钟）
注意事项：
答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1. 命题“，”的否定是 ▲ ．
2. 已知直线过点,则直线的斜率为 ▲ ．
3. 一质点的运动方程为（位移单位：；时间单位：），则该质点在时
的瞬时速度为 ▲ ．
4. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为, 若用分层抽样的方法抽取个城市，则丙组中应抽取的城市数为 ▲ 个.
5. 在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为 ▲ ．
6. 执行如图所示的伪代码，若输出的的值为，则输入的的值
是 ▲ ．
7.若,则“”是“直线：与：垂直”的 ▲ 条件．（注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“ 必要不充分”中选填一个）
8. 函数的单调递减区间为 ▲ ．
9. 已知椭圆左焦点为F1，左准线为，若过F1且垂直于轴的弦的
长等于点F1到的距离，则椭圆的离心率是 ▲ ．
10. 有一个质地均匀的正四面体木块个面分别标有数字.将此木块在水平桌面上
抛两次，则两次看不到的数字都大于的概率为 ▲ ．
11. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的一个焦点为，则双曲线
的渐近线方程为 ▲ ．
12. 已知可导函数的定义域为，，其导函数满足,则不
等式的解集为 ▲ ．
13. 已知圆，为圆上的两个动点，且，为弦
的中点.直线上有两个动点，且.当在圆上运动时，
恒为锐角，则线段中点的横坐标取值范围为 ▲ ．
14．函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分14分）
已知为实数.命题：方程表示双曲线；命题：对任意，恒成立.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题“或”为真命题、“且”为假命题，求实数的取值范围．
16．（本小题满分14分）
某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭。在进行资产清算时发现有3000名客户办理的充值会员卡上还有余额. 为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了300名客户的充值卡余额进行统计．其中余额分组区间为，，，，，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：
（1）求的值；
（2）求余额不低于元的客户大约为多少人？
（3）根据频率分布直方图，估计客户人均损失多少？(用组中值代替各组数据的平均值)．
17.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，直线，
(1)直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由;
(2)已知点，若直线上存在点满足条件，求实数的取值范围.
18.（本小题满分16分）
2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心、之间的距离为米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点，，，均在圆弧上，于点．设，
时, 求喷泉的面积;
(2) 求为何值时，可使喷泉的面积最大?.
19．（本小题满分16分）
已知椭圆的长轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，(在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点.
①设直线、的斜率分别为，证明为定值;
②求直线斜率取最小值时，直线的方程.
20．（本小题满分16分）
已知函数 ,
(1) 求在处的切线方程；
(2) 当时，求在上的最大值；
(3) 求证：的极大值小于1.
江苏省公道中学2019-2020学年上学期期末考试
高二数学试卷参考答案
一、填空题：
1. ， 2．-1 3．6 4. 2 . 5. 6. 3
7．充分不必要 8. (写成也算对) 9． 10． .11． 12．
13. 14.．
二、解答题：
15．解：（1）若命题为真命题，则，即的取值范围是.
…………………………………………………………………4分
（2）若命题为真命题，则，解得．即．…………7分
∵命题“或”为真命题、“且”为假命题，∴和中有且仅有一个正确．
若真假，则，解得； ………………………………10分
若假真，则，解得或．………………13分
所以，综上所述：的取值范围为．………………………………14分
16. 解：（1）由，解得……4分
（2）余额在之间的频率为，故可估计余额不低于900元的客户大约为 (人) ………………………………………………………………………8分
（3） 客户人均损失的估计值为：
(元)…………………14分
(注: 若仅有列式,没有前面文字说明,必需要答,否则扣1分)
17．解：(1) 解：假设直线过定点，
则
关于恒成立， ………2分
， ， ………4分
所以直线过定点，定点坐标为 ………6分
(2) 已知点，设点，
则，
，，
所以点的轨迹方程为圆， ………10分
又点在直线上，
所以直线与圆有公共点， ………12分
设圆心到直线的距离为，则，
解得实数的范围为或. ……… 14分
18．解: (1) 在直角中，，，
则， ………2分
所以 （平方米） ………3分
答：矩形的面积为平方米. ………4分
(2)在直角中，，，则，
所以矩形的面积，………8分
………10分
令，，
则， ………12分
令，得．设，且，
列表如下：
0
↗
极大值
↘
所以当时, 最大, 即最大．
此时 ………………15分
答：当时，喷泉的面积最大 ………………16分
19. 解： (1)由题意得:
………2分
， ………4分
(2) ①设，由M(0,m)，可得
所以直线PM的斜率 ，直线QM的斜率.……6分
此时，所以为定值. ………8分
②设，直线的方程为，直线的方程为.
联立，整理得，
由，可得 ，
同理，. ………10分

所以，，
，
所以 ， ………12分
由，可知，所以 ，当且仅当时取得等号.
由，在椭圆:上得，
此时，即， ………14分
由得，，所以，符号题意.
所以直线AB的斜率的最小值，直线的方程为. ………16分
②法2：同上可得；………10分
因为
所以
………12分
下面同解法1.
20. 解：（Ⅰ）， …………2分
，在处的切线方程为,
即 …………4分
（2）,(), 令，得，
在区间上， ，函数是增函数；
在区间，函数是减函数; …………6分
故当
当
当 …………10分
(3) ，令，
，则函数在上单调递减，，，所以存在唯一的， …………12分
当时，，
当时，，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，其中，所以函数有极大值. …………14分

函数的极大值是，由，得，
所以，因为，所以，即，
所以的极大值小于1. …………16分