2019-2020学年北师大版数学选修1-1第4章4.1.2导数应用课件:54张PPT

课件54张PPT。第四章导数应用§1　函数的单调性与极值1.2　函数的极值自主预习学案
函数的极值与导数的关系(1)如图是函数y＝f(x)的图像，在x＝a邻近的左侧f(x)单调递__________，f ′(x)__________0，右侧f(x)单调递__________,_f ′(x)__________0，在x＝a邻近的函数值都比f(a)小，且f ′(a)__________0.在x＝b邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有__________，(e，f(e))，与b类似的点还有__________.
我们把点a叫作函数f(x)的极__________值点，f(a)是函数的一个极__________值；把点b叫作函数f(x)的极__________值点，f(b)是函数的一个极__________值．增　>　减　<　＝ 　(c,_f(c))　(d，f(d))　大　大　小　小　(2)一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于包含x0在内的开区间(a，b)内的所有点x，如果都有_____________，则称函数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数f(x)的一个______________；如果都有__________，则称函数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数f(x)的一个__________.极大值与极小值统称为__________，极大值点与极小值点统称为__________.f(x)f(x0)　极小值　极小值点　极值　极值点　1．按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b.
2．极值是一个局部性概念，只要在一个小区域内成立即可，要注意极值必须在区间内的连续点取得，一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系．即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．(如图)3．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． 1．函数y＝x3＋1的极大值是(　　)
A．1　　 　 B．0　　 　
C．2　　 　 D．不存在
[解析]　∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，
∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，
∴函数y＝x3＋1无极值．D2．下列说法正确的是(　　)
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小
C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值
D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值
[解析]　函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A，B，D错误，C正确，函数f(x)＝|x|只有一个极小值为0.C3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个A5．已知k为实数， f(x)＝(x2－4)(x＋k)．
(1)求导函数f ′(x)；
(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点，求y＝f(x)在区间[－2,2]上的极值．互动探究学案 求函数y＝3x3－x＋1的极值．
[思路分析]　首先对函数求导，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．命题方向1　?利用导数求函数的极值典例 1 『规律方法』　1.当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否为极大(小)值的方法是：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f(x0)是极小值；
(3)如果f ′(x)在点x0的左、右两侧符号不变，则f(x0)不是函数f(x)的极值．
2．利用导数求函数极值的步骤：
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f ′(x)．
(3)解方程f ′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程f ′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．
〔跟踪练习1〕
设函数f(x)＝x3＋ax2－9x的导函数为f ′(x)，且f ′(2)＝15.
(1)求函数f(x)的图像在x＝0处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
[解析]　(1)∵f ′(x)＝3x2＋2ax－9，
∵f ′(2)＝15，∴12＋4a－9＝15，∴a＝3.
∴f(x)＝x3＋3x2－9x，
∴f ′(x)＝3x2＋6x－9，
∴f(0)＝0，f ′(0)＝－9，
∴函数在x＝0处的切线方程为y＝－9x. 已知函数f(x)＝ax4·ln x＋bx4－c(x>0)．在x＝1处取得极值－3－c，其中a、b为常数．
(1)试确定a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调区间．
[思路分析]　本题考查函数极值的逆向应用．(1)根据f(1)＝－3－c和f ′(1)＝0即可求解；(2)根据函数的导数和单调性的关系可解决．命题方向2　?已知函数极值求参数典例 2 『规律方法』　已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．〔跟踪练习2〕
已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处的极小值为－1，试确定a、b的值，并求f(x)的单调区间． 右图是函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图像，对此图像，有如下结论：
①在区间(－2,1)内f(x)是增函数；
②在区间(1,3)内f(x)是减函数；
③x＝2时，f(x)取到极大值；
④在x＝3时，f(x)取到极小值．
其中正确的是__________(将你认为正确的序号填在横线上)．
[思路分析]　给出了y＝f ′(x)的图像，应观察图像找出使f ′(x)>0与f ′(x)<0的x的取值范围，并区分f ′(x)的符号由正到负和由负到正，再做判断．命题方向3　?图像信息问题③ 　典例 3 『规律方法』　有关给出图像研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图像还是f ′(x)的图像，若给的是f(x)的图像，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图像，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．〔跟踪练习3〕
函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图像如图所示，则函数f(x)(　　)
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有一个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
[解析]　设f ′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，
当x0，f(x)为增函数，
当x1则x＝x1为极大值点，
同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点．C命题方向4　?分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用典例 3 『规律方法』　利用导数求极值时，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值范围进行讨论(可从导数值为0的几个x值的大小入手)．其次，这类问题可以归结为求含参函数的单调性．单调性求出后，极值即可确定．〔跟踪练习4〕
(2019·日照高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，求常数a，b的值．对于方程f(x)＝a的根的个数问题，我们可将问题转化为函数y＝f(x)与函数y＝a的图像的交点个数问题．在解决问题时，可遵循以下步骤：
第一步：利用导数判断函数y＝f(x)的单调性及极值等情况，综合各种信息画出函数y＝f(x)的大致图像；
第二步：研究函数y＝f(x)与y＝a的图像的交点个数；
第三步：根据交点个数写出方程根的情况．
如果方程f(x)＝0是三次方程，也可以按照如下步骤处理：利用函数极值研究方程根的个数第一步：求导数y＝f ′(x)，解不等式f ′(x)>0和f ′(x)<0，确定函数的单调性及极值的情况，进一步得到反映三次函数大致趋势的图；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)，主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式(组)即可．典例 5 〔跟踪练习5〕
(2019·全国Ⅱ卷文，21)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．注意极大值点与极小值点的区别典例 6 [正解]　(在上述解法之后继续)当a＝1，b＝3时，f ′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；
当a＝2，b＝9时，f ′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数；当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于(　　)
A．2　　　 B．3　　　
C．4　　　 D．5D2．函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p：f ′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件C－2 －19