北师大版九年级数学下册 1.1 锐角三角函数 教案（2课时习题含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册 1.1 锐角三角函数 教案（2课时习题含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 165.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-01 12:24:04 | ||
图片预览
文档简介
第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
第1课时 正切
课标要求
【知识与技能】
让学生理解并掌握正切的含义，并能够举例说明；会在直角三角形中说出某个锐角的正切值；了解锐角的正切值随锐角的增大而增大．
【过程与方法】
让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力．
【情感态度】
能激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识．
【教学重点】
1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系．
2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．
【教学难点】
理解正切的意义，并用它来表示两边的比．
教学过程
一、情景导入，初步认识
你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C69.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C69.TIF" \* MERGEFORMATINET
【教学说明】
通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望．
二、思考探究，获取新知
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C70.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C70.tif" \* MERGEFORMATINET
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
(2)有什么关系？
(3)如果改变B2的位置(如B3C3)呢？
(4)由此你得出什么结论？
【归纳结论】
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定．这个比叫做∠A的正切．记作：tan A＝.当锐角A变化时，tan A也随之变化．
(5)梯子的倾斜度与tan A有关系吗？
【归纳结论】
在这些直角三角形中，当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与∠A的邻边的比值总是唯一确定的．所以，倾斜角的对边与邻边的比可以用来描述坡面的倾斜程度．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P3上例1.
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，C＝5，求tan A和tan B.
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C71.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C71.tif" \* MERGEFORMATINET
解：tan A＝＝，
tan B＝＝.
3．若某人沿坡度i＝3∶4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米．
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C73.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C73.tif" \* MERGEFORMATINET
解析：坡度i＝3∶4，也就是说tan B＝＝，
∴设AC＝3x，BC＝4x.
根据勾股定理可求出x＝2 m，∴AC＝6 m.
答案：6
5．若三角形三边的比是25∶24∶7，求最小角的正切值．
解：在三角形中，根据大边对大角，可知7所对的角最小．又由勾股定理可知该三角形为直角三角形．
最小角的正切值＝7∶24.
【教学说明】
巩固正切的概念，进一步落实课标要求．习题1至3是对基础知识的训练．习题4在对基础知识巩固的同时，发展了学生的思维能力，使思维进一步缜密，认识进一步深化．
四、师生互动、课堂小结
师生一起小结在研究怎样描述坡面的倾斜程度的过程中．我们首先从实际问题中抽象出数学模型，构建直角三角形．这里体现出将实际问题中抽象出数学模型的建模思想．这样一来问题就转化为对直角三角形的边、角这些基本元素的探讨上．经过大家的探讨，单一元素中：可以用锐角来描述坡面的倾斜程度，而只用一条边却不可以．虽然多次遇挫，但大家没有放弃，而是主动变换思考问题的角度去探究，从而得到可以用倾斜角的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度．同时还找到了倾斜角和倾斜角的对边与邻边的比之间的关系．
课后作业
1．布置作业：教材“习题1.1”中第1、2、4题．
2．完成练习册中本课时的练习．
第2课时 正弦和余弦
课标要求
【知识与技能】
1．使学生理解锐角正弦、余弦的定义
2．会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值
【过程与方法】
通过探索正弦、余弦定义，培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
【情感态度】
通过探索、发现，培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯．
【教学重点】
理解锐角正弦、余弦的定义；会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．
【教学难点】
求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．
教学过程
一、情景导入，初步认识
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C74.TIF" \* MERGEFORMATINET
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明是怎样算出的吗？
【教学说明】
通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望．
二、思考探究，获取新知
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C75.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C75.tif" \* MERGEFORMATINET
1．想一想：如图
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？
(2)和有什么关系？和呢？
(3)如果改变B2在梯子AB1上的位置呢？你由此可得出什么结论？
(4)如果改变梯子AB1的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？
请讨论后回答．
【归纳结论】
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．
∠A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦(sine)，记作sin A，即：sin A＝
∠A的邻边与斜边的比值叫做∠A的余弦(cosine)，记作cos A，即：cos A＝
锐角A的正切、正弦、余弦都是∠A的三角函数，当∠A变化时，相应的∠A的正切、正弦、余弦值也随之变化．
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C76.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C76.tif" \* MERGEFORMATINET
2．议一议：如图
由图讨论梯子的倾斜程度与sin A和cos A的关系．
【归纳结论】
sin A的值越大，梯子越陡；cos A的值越小，梯子越陡．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P5例2.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，求cos A和tan B的值．
解：∵sin A＝，∴AB＝＝6×＝10.
又∵AC＝＝＝8，
∴cos A＝＝，tan B＝＝.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A和cos B有什么关系？你能得到什么结论？
解：∵sin A＝，cos B＝.∴sin A＝cos B.
结论：在同一直角三角形中，一锐角的正弦值等于另一锐角的余弦值．
4．已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C78.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C78.tif" \* MERGEFORMATINET
解：在Rt△ABC中，sin A＝
在Rt△BCD中，cos B＝，
根据上题中的结论，可知：
在Rt△ABC中，sin A＝cos B．∴＝，即BC2＝AB·BD.
【教学说明】
对于前三题，比较简单，可以放手让学生独立完成．而后面两题，可以适当的加以提示、补充．
四、师生互动，课堂小结
通过学习，你对正弦、余弦在知识应用方面有什么认识，对指导解决现实问题有什么意义，你发现的规律或公式在解决问题中起到了什么作用．
课后作业
1．布置作业：教材“习题1.2”中第1、4题．
2．完成练习册中本课时的练习．
1 锐角三角函数
第1课时 正切
课标要求
【知识与技能】
让学生理解并掌握正切的含义，并能够举例说明；会在直角三角形中说出某个锐角的正切值；了解锐角的正切值随锐角的增大而增大．
【过程与方法】
让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力．
【情感态度】
能激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识．
【教学重点】
1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系．
2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．
【教学难点】
理解正切的意义，并用它来表示两边的比．
教学过程
一、情景导入，初步认识
你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C69.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C69.TIF" \* MERGEFORMATINET
【教学说明】
通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望．
二、思考探究，获取新知
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C70.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C70.tif" \* MERGEFORMATINET
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
(2)有什么关系？
(3)如果改变B2的位置(如B3C3)呢？
(4)由此你得出什么结论？
【归纳结论】
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定．这个比叫做∠A的正切．记作：tan A＝.当锐角A变化时，tan A也随之变化．
(5)梯子的倾斜度与tan A有关系吗？
【归纳结论】
在这些直角三角形中，当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与∠A的邻边的比值总是唯一确定的．所以，倾斜角的对边与邻边的比可以用来描述坡面的倾斜程度．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P3上例1.
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，C＝5，求tan A和tan B.
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C71.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C71.tif" \* MERGEFORMATINET
解：tan A＝＝，
tan B＝＝.
3．若某人沿坡度i＝3∶4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米．
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C73.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C73.tif" \* MERGEFORMATINET
解析：坡度i＝3∶4，也就是说tan B＝＝，
∴设AC＝3x，BC＝4x.
根据勾股定理可求出x＝2 m，∴AC＝6 m.
答案：6
5．若三角形三边的比是25∶24∶7，求最小角的正切值．
解：在三角形中，根据大边对大角，可知7所对的角最小．又由勾股定理可知该三角形为直角三角形．
最小角的正切值＝7∶24.
【教学说明】
巩固正切的概念，进一步落实课标要求．习题1至3是对基础知识的训练．习题4在对基础知识巩固的同时，发展了学生的思维能力，使思维进一步缜密，认识进一步深化．
四、师生互动、课堂小结
师生一起小结在研究怎样描述坡面的倾斜程度的过程中．我们首先从实际问题中抽象出数学模型，构建直角三角形．这里体现出将实际问题中抽象出数学模型的建模思想．这样一来问题就转化为对直角三角形的边、角这些基本元素的探讨上．经过大家的探讨，单一元素中：可以用锐角来描述坡面的倾斜程度，而只用一条边却不可以．虽然多次遇挫，但大家没有放弃，而是主动变换思考问题的角度去探究，从而得到可以用倾斜角的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度．同时还找到了倾斜角和倾斜角的对边与邻边的比之间的关系．
课后作业
1．布置作业：教材“习题1.1”中第1、2、4题．
2．完成练习册中本课时的练习．
第2课时 正弦和余弦
课标要求
【知识与技能】
1．使学生理解锐角正弦、余弦的定义
2．会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值
【过程与方法】
通过探索正弦、余弦定义，培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
【情感态度】
通过探索、发现，培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯．
【教学重点】
理解锐角正弦、余弦的定义；会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．
【教学难点】
求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．
教学过程
一、情景导入，初步认识
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C74.TIF" \* MERGEFORMATINET
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明是怎样算出的吗？
【教学说明】
通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望．
二、思考探究，获取新知
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C75.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C75.tif" \* MERGEFORMATINET
1．想一想：如图
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？
(2)和有什么关系？和呢？
(3)如果改变B2在梯子AB1上的位置呢？你由此可得出什么结论？
(4)如果改变梯子AB1的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？
请讨论后回答．
【归纳结论】
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．
∠A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦(sine)，记作sin A，即：sin A＝
∠A的邻边与斜边的比值叫做∠A的余弦(cosine)，记作cos A，即：cos A＝
锐角A的正切、正弦、余弦都是∠A的三角函数，当∠A变化时，相应的∠A的正切、正弦、余弦值也随之变化．
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C76.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C76.tif" \* MERGEFORMATINET
2．议一议：如图
由图讨论梯子的倾斜程度与sin A和cos A的关系．
【归纳结论】
sin A的值越大，梯子越陡；cos A的值越小，梯子越陡．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P5例2.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，求cos A和tan B的值．
解：∵sin A＝，∴AB＝＝6×＝10.
又∵AC＝＝＝8，
∴cos A＝＝，tan B＝＝.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A和cos B有什么关系？你能得到什么结论？
解：∵sin A＝，cos B＝.∴sin A＝cos B.
结论：在同一直角三角形中，一锐角的正弦值等于另一锐角的余弦值．
4．已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C78.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第1章 直角三角形的边角关系\\C78.tif" \* MERGEFORMATINET
解：在Rt△ABC中，sin A＝
在Rt△BCD中，cos B＝，
根据上题中的结论，可知：
在Rt△ABC中，sin A＝cos B．∴＝，即BC2＝AB·BD.
【教学说明】
对于前三题，比较简单，可以放手让学生独立完成．而后面两题，可以适当的加以提示、补充．
四、师生互动，课堂小结
通过学习，你对正弦、余弦在知识应用方面有什么认识，对指导解决现实问题有什么意义，你发现的规律或公式在解决问题中起到了什么作用．
课后作业
1．布置作业：教材“习题1.2”中第1、4题．
2．完成练习册中本课时的练习．