参考答案
1. D 【解析】A选项对应的图形只是中心对称图形；B选项对应的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C选项对应的图形只是轴对称图形；D选项对应的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.故选D.
2. B 【解析】A选项中成立的前提条件是同圆或等圆，不正确；B选项中正确；C选项中垂直于半径的直线有可能是圆的割线，不正确；D选项中垂直且平分弦的直线必经过圆心，不正确.故选B.
3. C 【解析】因为CD⊥AB，所以AE=BE，=，因为CD是☉O的直径，所以∠DBC=90°，不能得出OE=DE，故选C.
4. B 【解析】如图，圆锥的母线AB=13 cm，圆锥的高AO=12 cm，设圆锥的底面半径OB=r cm，在Rt△AOB中，r===5，所以S=πr2=π×52=25π(cm2).故选B.
5. D 【解析】因为AB为☉O的直径，EF切☉O于点B，所以AB⊥EF，又AB⊥CD，所以EF∥CD，故A正确；因为AB⊥弦CD，所以=，所以∠COB=2∠A=60°，因为OC=OB，所以△COB是等边三角形，故B正确；因为AB⊥弦CD，所以CG=DG，故C正确；的长为=π，故D错误.故选D.
6. D 【解析】=π.故选D.
7. D 【解析】因为△ABC是正三角形，所以∠ACB=60°，因为∠APB＋∠ACB=180°，所以∠APB=120°.故选D.
8. B 【解析】连接OC，因为PC为☉O的切线，所以∠PCO=90°，因为OA=OC，则∠ACO=∠PAC=35°，在△ACP中，∠P=180°－35°－35°－90°=20°.故选B.
9. D 【解析】作DH⊥AE于H，因为∠AOB=90°，OA=3，OB=2，所以AB==，由旋转的性质可知，OE=OB=2，DE=EF=AB=，△DHE≌△BOA，所以DH=OB=2，S阴影=S△ADE＋S△EOF＋S扇形AOF－S扇形DEF=×5×2＋×2×3＋－=8－π，故选D.
0
10. B 【解析】连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，因为直线AB与☉O相切于点A，所以OA⊥AB，因为弦CD∥AB，所以AH⊥CD，所以CH=CD=×4=2，因为☉O的半径为，所以OA=OC=，所以OH==，所以AH=OA＋OH=＋=4，所以AC==2.因为∠CDE=∠ADF，所以=，所以=，所以EF=AC=2.故选B.
11. 3 【解析】根据题意，△ABP绕点B顺时针旋转后能与△CBP′重合，由旋转的性质可得BP=BP′，∠PBP′=∠PBC＋∠P′BC=∠PBC＋∠PBA=90°.在Rt△PBP′中，由勾股定理得PP′===3.
12. 35° 【解析】因为∠AOB=40°，OA=OB，所以∠ABO=70°.因为直径CD∥AB，所以∠BOC=∠ABO=70°，所以∠BAC=∠BOC=35°.
13. 36π 【解析】如图，小☉O的切线AB交大☉O于A，B点，C是切点，连接OC，AO，则OC⊥AB，所以AC=CB=AB=6，所以圆环的面积=π·(OA2－OC2)=π·AC2=36π.
14. 【解析】因为菱形ABCD中，AB=BC，又因为AC=AB，所以AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形.所以∠BAC=60°，所以的长是=.
15. 65°或115° 【解析】如图所示，分别连接OA，OB，则∠AOB=360°－50°－90°－90°=130°，所以当点C在优弧上时，∠ACB=65°，当点C在劣弧上时，∠ACB=115°.
16. 3n－1· 【解析】点B1到ON的距离是，点B2到ON的距离是3，点B3到ON的距离是9，点B4到ON的距离是27，…点Bn到ON的距离是3n－1·.
17. (1)证明：如图，连接BD.因为AB为☉O的直径，所以∠ADB=90°，所以∠DAB＋∠ABD=90°.因为AF是☉O的切线，所以∠FAB=90°，即∠DAB＋∠CAF=90°.所以∠CAF=∠ABD.因为BA=BC，∠ADB=90°，所以∠ABC=2∠ABD.所以∠ABC=2∠CAF.
(2)解：如图，连接AE，所以∠AEB=90°，设CE=x，因为CE∶EB=1∶4，所以EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，在Rt△ACE中，AC2=CE2＋AE2，即(2)2=x2＋(3x)2，所以x=2，所以CE=2.
18. 解：(1)如图所示△AB′C′即为所求.
(2)因为AB==5，所以线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为=π.
19. 证明：(1)因为将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，所以QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF，因为∠EAF=45°，所以∠DAF＋∠BAE=45°，所以∠QAE=45°，所以∠QAE=∠FAE，所以△AQE≌△AFE(SAS)，所以∠AEQ=∠AEF，所以EA是∠QED的平分线.
(2)由(1)得△AQE≌△AFE，所以QE=EF，在Rt△QBE中，QB2＋BE2=QE2，则EF2=BE2＋DF2.
20. 解：(1)MN是☉O的切线. 理由：连接OC.因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，因为∠BOC=∠A＋∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，所以∠BCM=∠BOC，因为∠B=90°，所以∠BOC＋∠BCO=90°，所以∠BCM＋∠BCO=90°，所以OC⊥MN，所以MN是☉O的切线.
(2)由(1)可知∠BOC=∠BCM=60°，所以∠AOC=120°，在Rt△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，所以BO=OC=2，BC=2，所以S阴=S扇形OAC－S△OAC=－×4×2=－4.
21. (1)证明：连接OA，因为PA与☉O相切，所以OA⊥AP，因为MN⊥AP，所以MN∥OA，因为OM∥AP，所以四边形ANMO是矩形，所以OM=AN.
(2)解：连接OB，则OB⊥BP，因为OA=MN，OA=OB，OM∥AP.所以OB=MN，∠OMB=∠NPM.所以Rt△OBM≌Rt△MNP，所以OM=MP.设OM=x，则NP=9－x，在Rt△MNP中，有x2=32＋(9－x)2，所以x=5，即OM=5.
22. 解：(1)AG与☉O相切，证明：连接OA，因为点A，E是半圆周上的三等分点，所以==，点A是的中点，所以OA⊥BE.又因为AG∥BE，所以OA⊥AG.所以AG与☉O相切.
(2)因为点A，E是半圆周上的三等分点，所以∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°.又因为OA=OB，所以△ABO为正三角形.又因为AD⊥OB，OB=1，所以BD=OD=，AD=.又因为∠EBC=∠EOC=30°，所以在Rt△FBD中，FD=BD·tan∠EBC=BD·tan 30°=，所以AF=AD－DF=－=.
23. 解：(1)PC是☉O的切线.理由：连接OC.因为AC平分∠EAB，所以∠EAC=∠CAB，因为∠CAB=∠ACO，所以∠EAC=∠OCA，所以OC∥AD，因为AD⊥PD，所以∠OCP=∠D=90°，所以PC是☉O的切线.
(2)连接BE，在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan P=，所以PD=8，AP=10，设☉O半径为r，因为OC∥AD，所以=，即=，解得r=，因为AB是直径，所以∠AEB=∠D=∠90°，所以BE∥PD，所以∠ABE=∠P，所以AE=AB·sin∠ABE=AB·sin P=×=.
沪科版数学九年级下册第24章《圆》单元测试卷
[时间：100分 满分：120分]
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A B C D
2. 下列命题中，真命题是( )
A. 圆周角等于圆心角的一半 B. 在同一个圆内等弧所对的圆周角相等
C. 垂直于半径的直线是圆的切线 D. 过弦的中点的直线必经过圆心
3. 如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是( )
A. AE=BE B. = C. OE=DE D. ∠DBC=90°
4. 如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是13 cm，高是12 cm，则该圆锥形冰淇淋盒底面圆的面积是( )
A. 105π cm2 B. 25π cm2 C. 60π cm2 D. 65π cm2
5. 如图，AB为☉O的直径，AB=6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切☉O于点B，∠A=30°，连接AD，OC，BC，下列结论不正确的是( )
A. EF∥CD B. △COB是等边三角形
C. CG=DG D. 的长为π
6. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为△ABC内一点，AO=2，如果把△ABO绕点A按逆时针方向旋转90°，使AB与AC重合，则点O运动的路径长为( )
A. 2 B. 2 C. π D. π
7. 如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB等于( )
A. 150° B. 135° C. 115° D. 120°
8. 如图，已知☉O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于( )
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
9. 如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA，ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是( )
A. π B. C. 3＋π D. 8－π
10. 如图，直线AB与☉O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF.若☉O的半径为，CD=4，则弦EF的长为( )
A. 4 B. 2 C. 5 D. 6
二、填空题(每小题4分，共24分)
11. 如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′= .?
12. 如图，在☉O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC= .?
13. 两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分是12，则两圆围成的圆环的面积为 .?
14. 如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B，C恰好落在扇形AEF的上.若∠BAD=120°，则的长度等于 (结果保留π).?
15. PA，PB是☉O的切线，切点分别为A，B.点C在☉O上，如果∠P=50°，那么∠ACB等于 .?
16. 如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1，F1E1分别在射线OM，ON上，边C1D1所在的直线分别交OM，ON于点A2，F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM，ON于点A3，F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是 .?
三、解答题(共66分)
17. (8分)如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的☉O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与☉O的切线AF交于点F.
(1)求证：∠ABC=2∠CAF；
(2)若AC=2，CE∶EB=1∶4，求CE的长.
18. (8分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB′C′.
(1)在正方形网格中，画出△AB′C′；
(2)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积.
19. (9分)如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
(1)EA是∠QED的平分线；
(2)EF2=BE2＋DF2.
20. (9分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A.
(1)判断直线MN与☉O的位置关系，并说明理由；
(2)若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积.
21. (10分)如图，PA，PB分别与☉O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N.
(1)求证：OM=AN；
(2)若☉O的半径R=3，PA=9，求OM的长.
22. (10分)如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交直线BC于G.
(1)判断直线AG与☉O的位置关系，并说明理由.
(2)求线段AF的长.
23. (12分)如图，已知AB为☉O的直径，点E在☉O上，∠EAB的平分线交☉O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P.
(1)判断直线PC与☉O的位置关系，并说明理由；
(2)若tan P=，AD=6，求线段AE的长.
