北师大版九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程 教案（2课时）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程 教案（2课时） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 123.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-30 12:36:28 | ||
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文档简介
5 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程的关系
课标要求
1．体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法．
2．理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征．
【教学重点】
经历“类比—观察—发现—归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．
【教学难点】
准确理解二次函数与一元二次方程的关系．
教学过程
一、情景导入，初步认识
我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．
二、思考探究，获取新知
探究：画出y＝x2＋2x、y＝x2－2x＋1、y＝x2－2x＋2的图象，观察并解答：
1．每个图象与x轴有几个交点？
2．一元二次方程x2＋2x＝0、x2－2x＋1＝0、x2－2x＋2＝0有几个根？用判别式验证．
3．函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
【归纳结论】
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
三、运用新知，深化理解
1．知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是( B )
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A．ac＞0
B．方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3
C．2a－b＝0
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
分析：根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断．
解析：A.∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；
B．∵抛物线对称轴是x＝1，与x轴交于(3，0)，
∴抛物线与x轴另一交点为(－1，0)，即方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3，故本选项正确；
C．∵抛物线对称轴为x＝1，∴2a＋b＝0，故本选项错误；
D．∵抛物线对称轴为x＝1，开口向下，∴当x＞1时y随x的增大而减小，故本选项错误．故选B.
2．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝( C )
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A．－1.6
B．3.2
C．4.4
D．以上都不对
分析：根据图象知道抛物线的对称轴为x＝3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2.
3．根据下列表格的对应值：
x 8 9 10 11 12
ax2＋bx＋c －4.56 －2.01 －0.38 1.2 3.4
判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是( C )
A．8＜x＜9 B．9＜x＜10
C．10＜x＜11 D．11＜x＜12
分析：根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而－0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表迸行总结，教师作以补充．
课后作业
1．布置作业：教材“习题2.10”中第2、3、4题．
2．完成练习册中本课时的练习．
第2课时 利用二次函数解一元二次方程
课标要求
能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
【教学重点】
能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
【教学难点】
探索方程与函数之间关系的过程．
一、情景导入，初步认识
上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．
二、思考探究，获取新知
探究：利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根．
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上图是函数y＝x2＋2x－10的图象．
从图象上来看，二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间，所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间．这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．
从图象上看，x的取值应大于－4.5，所以可以只代入－4.1，－4.2，－4.3，－4.4这四个数进行计算，利用计算器进行探索．
x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4
y －1.39 －0.76 －0.11 0.56
从上表可知，因此，x＝－4.3是方程的一个近似根．
有了上面的分析和结果，求另一个近似根就不困难了，请大家继续．
还有其他的方法吗？
可以把－5与－4之间的线段十等分，再判断交点更接近于哪一个分点．如上题中的两个根可以这样求：
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三、运用新知，深化理解
利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET
解：画出函数y＝x2＋2x－13的图象．由图可知，图象与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索．
x －4.5 －4.6 －4.7 －4.8 －4.9
y －1.75 －1.04 －0.31 0.44 1.21
因此x＝－4.7是方程的一个近似根．
另一个根可以类似地求出：
x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
y －1.75 －1.04 －0.31 0.44 1.21
因此x＝2.7是方程的另一个近似根．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
课后作业
1．布置作业：教材“习题2.11”中第1题．
2．完成练习册中本课时的练习．
第1课时 二次函数与一元二次方程的关系
课标要求
1．体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法．
2．理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征．
【教学重点】
经历“类比—观察—发现—归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．
【教学难点】
准确理解二次函数与一元二次方程的关系．
教学过程
一、情景导入，初步认识
我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．
二、思考探究，获取新知
探究：画出y＝x2＋2x、y＝x2－2x＋1、y＝x2－2x＋2的图象，观察并解答：
1．每个图象与x轴有几个交点？
2．一元二次方程x2＋2x＝0、x2－2x＋1＝0、x2－2x＋2＝0有几个根？用判别式验证．
3．函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
【归纳结论】
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
三、运用新知，深化理解
1．知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是( B )
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C99.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C99.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C99.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C99.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C99.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C99.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C99.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C99.TIF" \* MERGEFORMATINET
A．ac＞0
B．方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3
C．2a－b＝0
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
分析：根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断．
解析：A.∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；
B．∵抛物线对称轴是x＝1，与x轴交于(3，0)，
∴抛物线与x轴另一交点为(－1，0)，即方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3，故本选项正确；
C．∵抛物线对称轴为x＝1，∴2a＋b＝0，故本选项错误；
D．∵抛物线对称轴为x＝1，开口向下，∴当x＞1时y随x的增大而减小，故本选项错误．故选B.
2．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝( C )
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A．－1.6
B．3.2
C．4.4
D．以上都不对
分析：根据图象知道抛物线的对称轴为x＝3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2.
3．根据下列表格的对应值：
x 8 9 10 11 12
ax2＋bx＋c －4.56 －2.01 －0.38 1.2 3.4
判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是( C )
A．8＜x＜9 B．9＜x＜10
C．10＜x＜11 D．11＜x＜12
分析：根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而－0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表迸行总结，教师作以补充．
课后作业
1．布置作业：教材“习题2.10”中第2、3、4题．
2．完成练习册中本课时的练习．
第2课时 利用二次函数解一元二次方程
课标要求
能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
【教学重点】
能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
【教学难点】
探索方程与函数之间关系的过程．
一、情景导入，初步认识
上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．
二、思考探究，获取新知
探究：利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根．
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上图是函数y＝x2＋2x－10的图象．
从图象上来看，二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间，所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间．这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．
从图象上看，x的取值应大于－4.5，所以可以只代入－4.1，－4.2，－4.3，－4.4这四个数进行计算，利用计算器进行探索．
x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4
y －1.39 －0.76 －0.11 0.56
从上表可知，因此，x＝－4.3是方程的一个近似根．
有了上面的分析和结果，求另一个近似根就不困难了，请大家继续．
还有其他的方法吗？
可以把－5与－4之间的线段十等分，再判断交点更接近于哪一个分点．如上题中的两个根可以这样求：
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C102.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C102.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C102.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C102.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C102.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C102.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C102.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C102.TIF" \* MERGEFORMATINET
三、运用新知，深化理解
利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．
INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019课件制作\\2020\\数学\\北数\\九北数教案——9.10\\九下北数教案\\第2章 二次函数\\C103.TIF" \* MERGEFORMATINET
解：画出函数y＝x2＋2x－13的图象．由图可知，图象与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索．
x －4.5 －4.6 －4.7 －4.8 －4.9
y －1.75 －1.04 －0.31 0.44 1.21
因此x＝－4.7是方程的一个近似根．
另一个根可以类似地求出：
x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
y －1.75 －1.04 －0.31 0.44 1.21
因此x＝2.7是方程的另一个近似根．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
课后作业
1．布置作业：教材“习题2.11”中第1题．
2．完成练习册中本课时的练习．