人教版七年级数学下册5.1.2 垂线教案

5．1.2　垂　线
教学目标
【知识与技能】
1.能结合具体图形理解垂直的概念，能经过一点画已知直线的垂线.
2.通过画图，理解垂直公理及“垂线段最短”这个公理.
3.理解点到直线的距离这一重要概念.
4.初步锻炼作图能力，能运用本节的两个公理进行简单的说理或应用.
【过程与方法】
通过画图探究出两个公理，在不同的情况下过一点作已知直线的垂线，通过看图会找出点到直线的距离，在此基础上深入理解本节的两个公理，进而运用它们进行简单的说理或应用.
【情感态度】
进一步进行画图、探究、归纳等数学活动，特别强调动手画几何图形，体验数学的严密性、科学性、美观性.
【教学重点】
垂直定义、垂直公理的理解与运用.
【教学难点】
点到直线距离与垂线段的 区别与联系.
教学过程
一、情境导入
生活中的垂线

这节课我们将要学习有关这种关系的知识．
二、合作探究
探究点一：垂线的概念
【类型一】 利用垂直的定义求角的度数
如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝150°，则∠3的度数为(　　)

A．30° B．40° C．50° D．60°
解析：先根据邻补角关系求出∠2＝180°－150°＝30°，再由CO⊥DO得出∠COD＝90°，最后由互余关系求出∠3＝90°－∠2＝90°－30°＝60°.故选D.
方法总结：两条直线垂直时，其夹角为90°；由一个角是90°也能得到这个角的两条边是互相垂直的．
【类型二】 垂直与对顶角、邻补角结合求角的度数
如图，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O.求∠2、∠3的度数．

解析：首先根据垂直的概念得到∠BOD＝90°，然后根据∠1与∠3是对顶角，∠2与∠3互为余角，从而求出角的度数．
解：由题意得∠3＝∠1＝30°(对顶角相等)．∵AB⊥CD(已知)，∴∠BOD＝90°，(垂直的定义)，∴∠3＋∠2＝90°，即30°＋∠2＝90°，∴∠2＝60°.
方法总结：解决本题的关键是根据垂直的概念，得到度数为90°的角，然后根据对顶角、邻补角的性质解决．
探究点二：垂线的画法
(1)如图①，过点P画AB的垂线；
(2)如图②，过点P分别画OA、OB的垂线；
(3)如图③，过点A画BC的垂线．

解析：分别根据垂线的定义作出相应的垂线即可．
解：如图所示．

方法总结：垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
探究点三：垂线的性质(垂线段最短)
如图，是一条河，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．

解析：根据垂线的性质可解，即过C作CE⊥AB，根据“垂线段最短”可得CE最短．
解：如图所示，沿CE铺设水管能让路线最短，因为垂线段最短．

方法总结：在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”来解决．
探究点四：点到直线的距离
如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距离是(　　)

A．线段CA的长 B．线段CD
C．线段AD的长 D．线段CD的长
解析：根据点到直线的距离的定义：直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，可得点C到直线AB的距离是线段CD的长．故选D.
方法总结：点到直线的距离是直线外一点到直线的垂线段的长度，而不是垂线段．
当堂检测
1.如图，CO⊥AB于O，OD⊥OE，∠AOE=42°，求∠DOC的度数.

2.小刚牵着一头小牛从A先到B拿东西，再到河边让小牛饮水，请画出小刚的最佳行走路线，并说明这种画法的理由.


3.如图，PR⊥l,QR⊥l,R为垂足，那么P，Q，R在同一直线上吗？


4.如图，已知AOB为一条直线，OC为一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由.

【教学说明】本环节可采用先让学生独立思考，再以小组交流的方式展开，其中题2、3、4鼓励学生用自己的语言叙述，逐步渗透用数学语言进行说明的能力.
【答案】1.解：CO⊥AB于O，OD⊥OE，由垂直的定义可得∠AOC=90°，∠DOE=90°.
则∠COE=∠AOC-∠AOE=90°-42°=48°，
∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-48°=42°.
2.解：小刚的最佳行走路线如图.

理由：两点间的线段最短；点到直线的垂线段最短.
3.解：P、Q、R在同一直线上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4.解：OD⊥OE，理由如下：AOB为一条直线，∠AOB=180°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠DOC=∠BOC，∠EOC=∠AOC，所以∠DOE=∠DOC+∠EOC=(∠BOC+∠AOC）=∠AOB=90°，即OD⊥OE.
三、板书设计
垂线
教学反思
本节课主要研究两条直线相交时的特殊情况——垂直，可类比前面两条直线相交时的一般情况学习新知识．经历合作探究过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题．这样教学更能激发学生学习数学的兴趣，使每个学生在数学的学习上都能得到不同的发展