北师大版七年级数学下册1.5 平方差公式教案

1．5　平方差公式
教学目标
【知识与技能】
1.使学生理解和掌握平方差公式；
2.会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用.
【过程与方法】
经历探索平方差公式的过程，增强了数和符号的意识，培养学生发现问题、提出问题的能力.
【情感态度】
在探索和交流的过程中，培养学生与人协作的习惯、质疑的精神.
【教学重点】
掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；平方差公式的应用.
【教学难点】
确理解和掌握公式的结构特征；平方差公式的应用.

教学过程

一、情境导入
1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则．
学生积极举手回答．
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式．
二、合作探究
探究点：平方差公式
【类型一】 直接运用平方差公式进行计算
利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解析：直接利用平方差公式进行计算即可．
解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；
(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
【类型二】 利用平方差公式进行简便运算
利用平方差公式计算：
(1)20×19； (2)13.2×12.8.
解析：(1)把20×19写成(20＋)×(20－)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．
解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝202－()2＝400－＝399；
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96.
方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键．
【类型三】 化简求值
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
【类型四】 平方差公式的几何背景
如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．

解析：∵图①中阴影部分的面积是a2－b2，图②中梯形的面积是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．
【类型五】 平方差公式的实际应用
王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．
当堂检测

1.下列式中能用平方差公式计算的有(D)
①(x-y)(x+y),②(3a-bc)(-bc-3a),③(3-x+y)(3+x+y),④(100+1)(100-1)
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.下列运算中，正确的是（C）
A.（a+3）（a-3）=a2-3
B.（3b+2）（3b-2）=3b2-4
C.（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2
D.（x+2）（x-3）=x2-6
3.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（B）
A.（x+1）（1+x）
B.（a+b）（b-a）
C.（-a+b）（a-b）
D.（x2-y）（x+y2）
4.（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；
解：原式=（4a2-b2）（4a2+b2）=（4a2）2-（b2）2=16a4-b4
（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）；
解：原式=［x+（y-z）］［x-（y-z）］-［x+（y+z）］［x-（y+z）］
=x2-（y-z）2-［x2-（y+z）2］
=x2-（y-z）2-x2+（y+z）2
=（y+z）2-（y-z）2
=（y+z+y-z）［y+z-（y-z）］
=2y·2z=4yz
（3）403×397；
解：原式=（400+3）（400-3）=4002-32=159991

5.解方程.

6.计算:


三、板书设计
1．平方差公式：
两数和与这两数差的积等于它们的平方差．即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2．平方差公式的应用

教学反思
学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成