16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
【学习目标】
1．理解二次根式的概念，弄清其被开方数是非负数这一要求．
2．理解二次根式的非负性，会求二次根式有意义的条件．
3．能初步运用二次根式的概念解决简单实际问题．
【学习重点】
二次根式的概念．
【学习难点】
利用“(a≥0)”解决具体问题．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．正方形的面积为S，则边长为．
2．已知圆的面积为S，则它的半径r＝,.)
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P2，完成下面的内容：
思考：，，，分别表示什么意义？它们有什么共同特点？
解：分别表示3，S，65，的算术平方根．它们都是非负数．
【合作探究】
下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(x≤3)；
(7)(x≥0)；(8)；(9)；(10)(ab≥0)．
解：(1)，(3)，(5)，(6)，(8)，(10)是二次根式；(2)，(4)，(7)，(9)不是二次根式．
归纳：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
【自主探究】
阅读教材P2例1，完成下面的内容：
思考：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？
解：x为任意实数时在实数范围内有意义，x为非负数时在实数范围内有意义．
【合作探究】
求使下列式子有意义的x的取值范围．
(1)；(2)；(3).
解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．
解：(1)由题意得4－3x>0，解得x<.当x<时，有意义；
(2)由题意得解得x≤3且x≠2.当x≤3且x≠2时，有意义；
(3)由题意得解得x≥－5且x≠0.当x≥－5且x≠0时，有意义．
【自主探究】
阅读教材P3例题，完成下面的内容：
先观察下列等式，再回答下列问题．
＝2，＝3，＝4.
(1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子．
(2)你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律．
解：(1)＝5，＝6；(2)＝n.
【合作探究】
先观察下列等式，再回答下列问题．
①＝1＋－＝1；②＝1＋－＝1；
③＝1＋－＝1.
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出的结果；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式．(n为正整数)
解：(1)＝1＋－＝1；
(2)＝1＋－＝1.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 二次根式的概念
知识模块二 二次根式有意义的条件
知识模块三 和二次根式有关的规律探究性问题
检测反馈 达成目标
【当堂检测】
1．下列结论正确的是( B )
A．2a3b－a2b＝2
B．单项式－x2的系数是－1
C．使式子有意义的x的取值范围是x>－1
D．若分式的值等于0，则a＝±1
2．若与互为相反数，则a＝__3__．
3．x为何值时，下列各式在实数范围内有意义：
(1)＋2；(2)＋(x－2)0.
解：(1)x－2≥0，2－x≥0，∴x＝2；
(2)∴x≥－1且x≠1，x≠2.
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
第2课时 二次根式的性质
【学习目标】
1．经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法．
2．了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．
【学习重点】
()2＝a(a≥0)及＝|a|的应用．
【学习难点】
＝|a|的运用．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．什么叫二次根式？
解：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
2.表示什么？
解：叫做2的算术平方根．
3．当a≥0时，叫做a的算术平方根；当a<0时没有意义．
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P3～4，完成下面的内容：
1．化简：(1)()2＝5；(2)＝5；(3)＝5；(4)(－)2＝5．
2．通过上面的计算，你发现了什么？
解：()2＝a(a≥0)，＝a(a≥0)．
【合作探究】
计算下列各题：＝3，＝4，＝0.1，－＝－π，＝，(2)2＝20．
归纳：一般地，根据算术平方根的意义：＝|a|＝ ()2＝a(a≥0)．
【自主探究】
已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：＋2－|a－b|.
解：从数轴上a，b的位置关系可知－2
a，故a＋1<0，b－1>0，a－b<0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.
【合作探究】
已知x为实数时，化简＋.
解：＋＝＋＝|x－1|＋|x|.当x≤0时，x－1<0，原式＝1－x＋(－x)＝1－2x；当01时，x－1>0，原式＝x－1＋x＝2x－1.
.
【自主探究】
下列式子中属于代数式的有①②③④⑦．
①0；②－x；③；④x－2；⑤x＝1；⑥x<－1；⑦；⑧x≠7.
归纳：像这样用基本运算符号，把数或表示数的字母连接起来的式子为代数式．
【合作探究】
在实数范围内分解因式：
(1)a2－13；(2)4a2－5；(3)x4－4x2＋4.
解：(1)a2－13＝a2－()2＝(a＋)(a－)；
(2)4a2－5＝(2a)2－()2＝(2a＋)(2a－)；
(3)x4－4x2＋4＝(x2－2)2＝(x＋)2(x－)2.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 二次根式的性质
知识模块二 二次根式性质的综合应用
知识模块三 代数式的定义及简单应用
检测反馈 达成目标
【当堂检测】
1．下列各式中，正确的是( B )
A.＝－4 B．－＝－4
C.＝±4 D.＝±4
2．(1)计算＋＝2．
(2)计算()2＋＝5－2x．
3．若x、y为实数，且y>＋＋2，化简：＋.
解：由得x＝2，∴y>2，∴原式＝＋2＝1.
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：_________________________________________________________________
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
一、学习目标：1.掌握二次根式的基本性质：（）=a（a≥0）；；
2.能利用上述性质对二次根式进行化简.
二、学习重点、难点
重点：二次根式的性质（）=a（a≥0）；．
难点：综合运用性质对二次根式进行化简和计算。
三、学习过程
（一）自学导航（课前预习）
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？
（2）二次根式有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：( )2=（x+ ）(y- )
（二）合作交流（小组互助）
1、计算
(1) = (2)
（3） = （4）=
根据计算结果，能得出结论： （）
2.计算：
（1）
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a﹥0时，
（2）
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a<0时，
（3） 得到：当a=0时，
3.归纳总结
将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的非常重要的性质：
性质一：（）=a（a≥0）；
性质二：
4. （1）阅读课本思考：什么是代数式？我们前面还学过那些代数式吗？
（2）思考、讨论：二次根式的性质与有什么区别与联系。
四.精讲点评
利用可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。
五.当堂达标
1、化简下列各式
（1）（） （2）（） （3）
（4） (5)
2、化简下列各式
（1） （2）（x＜-2）
六.拓展延伸
（1）a、b、c为三角形的三条边，则????????____________.
(2) 把(2-x)的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A、 B、 C、 D、
(3) 已知2＜x＜3，化简：
七.教后反思
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
【学习目标】1．理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．2. 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题
【学习过程】一、复习回顾1、口答：4的平方根是多少？4的算术平方根是多少？2、填空：的算术平方根是 ；= ；二、新知探究（一）概念的形成1、请同学们预习完成教材中的有关问题，写出这些问题的结果： ； 2、观察上述式子，你有什么发现？ 3、您能说说什么样的式子叫二次根式？什么叫二次根号？什么叫被开方数？ 4、请指出第一问所列式子的被开方数。 5、你知道在定义中为什么a≥0吗？ 特别提示：因为负数没有平方根（算术平方根），所以当a<0，没有意义。 （二）概念的应用 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、、（x≥0，y≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有：、（x>0）、、、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、．例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．
【学习流程】①复习回顾：5分钟；②新知探究：15分钟；③巩固练习：10分钟④拓展应用：10分钟；⑤课堂小结：3分钟；⑥布置作业：2分钟.
三、巩固练习： 教材练习 四、应用拓展： 例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．巩固练习：10分钟例4已知y=++5，求的值．（变式，求的值）五、归纳小结：本节课要掌握： 1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．布置作业： 当堂检测： 一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．- B． C． D．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A．5 B． C． D．以上皆不对4.下列式子中，不属于二次根式的是（ ）5.式子有意义的条件是（ ）x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2填空题：6．当在实数范围内有意义时，x的取值范围是 ； 5．若+有意义，则=_______． 7.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．三、解答题8.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 9.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围． 无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围． 10.若x，y是实数，且y＜ ,求的值. 拓展提升11.先阅读，后回答问题： 当x为何值时，有意义？ 解：由题意得x(x-1)≥0，由乘法法则得 解得x≥1 或x≤0.即当x≥1 或x≤0时，有意义. 体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？
