【复习讲义】2019-2020学年苏教新版五年级上册第七章《解决问题的策略》（含解析）

【复习讲义】2019-2020学年苏教新版五年级上册
第六章：解决问题的策略（提高版）
【学生版】
一、复习巩固
我们在实际生活中有时会遇上一些情况较多的时候，那么我们今天就来学习如何利用列举的方法来计算情况总数。
二、今日知识点
1. 把事情发生的可能性有条理地找出来，从而找出问题的全部答案，这种策略叫作一一列举。列举的方式有：列表、画图、连线、画“√”，也可按一定规律排列出来等。
2. 要做到不重复、不遗漏，就要按顺序来排列。
考点/易错点
1. 排列（有顺序）：爸爸、妈妈、我排列照相，有几种排法：2×3；(ABC、BAC不同)
组合（没有顺序）：5个球队踢球，每两队踢一场，要踢多少场：4+3+2+1；(AB、BA相同)
2.四人互相通电话，总共要通的次数：3+2+1=6次，如果互相写信，总共要写的封数：3×4=12封。
【习题巩固】
一．选择题（共5小题）
1．（2019春?四川月考）20个人围坐在一起表演节目，他们按顺序从1到4依次不重复地报数，数到4的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数，那么在仅剩一个人没有表演过节目的时候，共报数（　　）次．
A．76 B．78 C．80 D．82
2．（2019?青岛模拟）如图，每次框出连续的3个数，共可得到（　　）个不同的和．
A．27 B．28 C．29 D．30
3．（2017?界首市）小强观察一个建筑物模型（由若干个相同的小正方体拼成），分别从前面，右面，上面观察，看到的图案如图所示，那么该模型共由（　　）个小正方体拼成．
A．8 B．9 C．10 D．11
4．如图，五个正方形重叠，连结点正好是正方形的中点，正方形的边长都是a，如图的周长是 （　　）
A．24a B．18a C．14a D．12a．
5．用形如 的框每次框下表中的两个数，共有得到（　　）种不同的和．
1
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A．62 B．63 C．64 D．65
二．填空题（共8小题）
6．（2017?邛崃市模拟）如图是某年某月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是　 　．
7．（2017?长沙）在如图中，每次框出连续4个自然数，共可得到　 　个不同的和．
8．这是某年5月份的日历表，现在用去框日历中的数，每次框进5个数．
（1）框出的和最大是　 　，框出的和最小是　 　．
（2）如果框出的5个数的和是105，那么中间的数是　 　．
（3）一共可以框出　 　个不同的和．
9．如图是一张月历卡，如右图所示，每次同时框出3个数．框出的3个数的和最大是　 　，一共可以框出　 　种不同的和．
10．
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在上表中，每次圈出相邻的2个数，共可以得到　 　个不同的和；每次圈出相邻的4个数，共可以得到　 　个不同的和．
11．用形如正方形去框右面这个数表里的数，每次框出4个数，一共可以框出　 　个不同的和；如果框出的4个数之和是88，这4个数中最大的一个数是　 　．
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12．如表是1997年5月份的月历表，如果用一个方框能同时框住表中四个日期数，如图，框内的四个数的数字之和是1+5+1+6+2+2+2+3＝22，在所有可能被框住的四个数中，全部数字之和最大是　 　．
13．如图粗线框中三个数的和是6．在表中移动这个框，一共可以得到　 　个不同的和．
三．判断题（共1小题）
14．操场上20名同学站成一行，老师想从中挑选相邻的4人做游戏，刘强说：“有16种不同的挑选方法”．　 　．（判断对错）
四．操作题（共3小题）
15．（2016春?江宁区期末）如图是2010年5月的台历．
（1）小明的爸爸每上4天班休息一天，妈妈却是上3天班休息一天，5月2日爸爸、妈妈都在家休息，下一次他们同时在家休息是星期　 　．
（2）算一算，上表中被阴影覆盖的5个数的和与中间的数有什么关系？（计算后再说明）
（3）如果框出的5个数的和是75，那么这5个数分别是多少，在图中框出来．
（4）一共可以框出　 　个不同的和．
16．表的粗线框一次可以框出5个数，在表中移动这个框．我们把8所处的位置称之为“中心数”．
（1）当“中心数”是8的时候，方框中5个数的和是　 　，当“中心数”是9的时候，方框中5个数的和是　 　．
（2）如果“中心数”用X表示，框内5个数的和用Y表示，Y＝　 　．
（3）如果框出的5个数的和是90，请在表中用粗线框把这5个数框出来．
17．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑脸．请你把所有的笑脸找出来．（在笑脸上画“○”，其他画“×”）
五．解答题（共9小题）
18．（2016春?浮梁县校级期末）将1﹣1001的自然数按如表方式排列，用一个方框框出九个数，要使这九个数的和等于2007或2008，你能否办到？如果你能请分别写出这个方框中的最大数和最小数．
A 当这九个数的和是2007时，能否办到，如果能方框中最大数是　 　，最小数是　 　；
B当这九个数的和是2008时，能否办到，如果能方框中最大数是？最小数是？
19．日历的规律：认真观察如图阴影方框中正中间的数与其他4个数的关系．
（1）中间数是x，则左边的数是x﹣1，右边的数是x+1，上面的数是　 　，下面的数是　 　．
（2）方框中5个数之和与该方框中间的数有什幺关系？
（3）当5个数的和是80时，中间的数是多少？
20．下面是2006年6月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．
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根据你发现的规律想一想：像这样形式的哪五个数的和是115，请你用阴影画出这五个数．
21．2009年11月1日是星期日，在11月份的日历上圈出4个数．围成长方形，这四个数的和是78．这4个日期分别是11月　 　日、　 　日、　 　日和　 　日．
22．如图是某年3月的月历，用形如的长方形去框月历里的日期数，每次同时框3个数．
（1）框里三个数的和最大是多少？最小呢？
（2）一共可以框出多少个不同的和？
（3）能框出和是63的3个数吗？如果能，写出这三个数分别是多少？
23．（1）这是　 　月的日历．
（2）这个月中的双休日（周六和周日）共占这个月总天数的
（3）用去框日历中的日期，框出5个数的和最大是　 　，最小是　 　．一共能框出　 　种不同的和．
24．如图，是一张4×4的方格纸，它是由16个同样大小的正方形组成的，而且每个正方形里都写了一个数．
（1）从图中去掉一个一共有多少种不同的方法？
（2）如果去掉的四个数的和是46，这四个数应在图中什么位置？（涂色表示）
25．把1～54这54个数从小到大排成一行（如表），
（1）算一算，上表中被阴影覆盖的5个数和是多少？这5个数的和与中间的数有什么关系？
（2）任意移动这个阴影框，你能发现什么？
（3）如果框出的5个数的和是165，那么这5个数分别是多少？应该怎么框？
（4）能框出和是250的五个数吗？为什么？
（5）一共可以框出多少个不同的和？
26．方方家的阳台一横行贴了28块小瓷砖，一竖行贴了20块小瓷砖，她打算在这上面贴一些长占3块，宽占2块的花色小瓷砖，有多少种不同的贴法？
【教师版】
一．选择题（共5小题）
1． 20个人围坐在一起表演节目，他们按顺序从1到4依次不重复地报数，数到4的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数，那么在仅剩一个人没有表演过节目的时候，共报数（　　）次．
A．76 B．78 C．80 D．82
【分析】首先求出每轮报数完毕后剩下的人数，以及报数的次数各是多少；然后把每轮报数的次数求和，求出仅剩一个人没有表演过节目的时候，共报数多少次即可．
【解答】解：因为20﹣20÷4＝20﹣5＝15（人），
所以第一轮报完数后剩下15人，一共报数20次；
因为15÷4＝3…3，15﹣3＝12（人），
所以第二轮报完数后剩下12人，一共报数15次；
第三轮报完数后剩下9人，一共报数12次；
第四轮报完数后剩下6人，一共报数9次；
第五轮报完数后剩下5人，一共报数6次；
…，
所以在仅剩一个人没有表演过节目的时候，共报数：
20+15+12+9+6+5+4+3+2＝76（次）
答：在仅剩一个人没有表演过节目的时候，共报数76次．
故选：A．
【点评】此题主要考查了探寻规律问题，要熟练掌握，解答此题的关键是求出每轮报数完毕后剩下的人数，以及报数的次数各是多少．
2．如图，每次框出连续的3个数，共可得到（　　）个不同的和．
A．27 B．28 C．29 D．30
【分析】从0开始，每个数都能和它后面的两个数框在一起，得出一个和；一共有31个数字，最后的数字29和30后面没有两个数字可以框在一起，所以一共可以得到31﹣2＝29个不同的和．
【解答】解：31﹣2＝29（个）．
答：共可得到29个不同的和．
故选：C．
【点评】此题主要考查了计数方法的灵活应用，框3个数字时，最后剩下2个数字，再用这组数据的总个数减去最后剩下的2个数字即可解决问题．
3．小强观察一个建筑物模型（由若干个相同的小正方体拼成），分别从前面，右面，上面观察，看到的图案如图所示，那么该模型共由（　　）个小正方体拼成．
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】前面 正 右面：正 上面：正
正 正 正正正 正正
正正正 正正正 正正 （一个“正”字代表一个正方形）
【解答】解：通过观察与想象知道该模型共由9个小正方体拼成．
即3+2+1+1+2＝9（个）．
故选：B．
【点评】此题属于简单图形覆盖现象中的规律问题，考查学生的空间想象力．
4．如图，五个正方形重叠，连结点正好是正方形的中点，正方形的边长都是a，如图的周长是 （　　）
A．24a B．18a C．14a D．12a．
【分析】这五个正方形重叠在一起，第一个和最后一个正方形的长度为3a+3a，中间3个正方形的长度是2a×3＝6a，把这些长度加起来就是这个图形的周长．
【解答】解：3a+3a+2a×3＝12a，
答：这个图形的周长是12a．
故选：D．
【点评】此题考查了学生空间想象力以及分析图形的能力，同时考查了图形周长的计算方法．
5．用形如 的框每次框下表中的两个数，共有得到（　　）种不同的和．
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A．62 B．63 C．64 D．65
【分析】由题意得每次能框出前后两个连续的数，一共有64个数，求一共能框出几个不同的和就是求可以框出多少组合，如果以这个框的左边为开头，那么从1开始，每次都和后面的一个数组合，那么这64个数字只有64后面没有数字，其它64﹣1＝63个都可以，由此求解．
【解答】解：64﹣1＝63（个）；
答：共有得到63个不同的和．
故选：B．
【点评】此题考查了简单图形覆盖现象中的规律，本题得到相邻的两个数共有的情况数就是可以有不同的和．
二．填空题（共8小题）
6．（2017?邛崃市模拟）如图是某年某月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是　21　．
【分析】观察表中的阴影部分这五个数与中间的数知道五个数的和是中间的数的5倍，依此计算即可求解．
【解答】解：因为像这种形式五个数的和是105，
那么五个数的和是中间的数的5倍，
所以中间的数是：105÷5＝21，
即中间的那个数是21．
故答案为：21．
【点评】考查了简单图形覆盖现象中的规律，解答此题的关键是，根据所给出的阴影部分的数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．
7．（2017?长沙）在如图中，每次框出连续4个自然数，共可得到　36　个不同的和．
【分析】可以这样分析，一共有40﹣2+1＝39个数，框出就是选连续的，如果按顺序框选，4个连续数中最小的数可以分别是2，3…，37，所以37﹣2+1＝36，一共有36个不同的和，由此即可解答．
【解答】解：40﹣2+1﹣3
＝39﹣3
＝36
故共可得到36个不同的和．
故答案为：36．
【点评】考查了数与形结合的规律，本题要按照顺序依次计数，做到不重复不遗漏．
8．这是某年5月份的日历表，现在用去框日历中的数，每次框进5个数．
（1）框出的和最大是　110　，框出的和最小是　40　．
（2）如果框出的5个数的和是105，那么中间的数是　21　．
（3）一共可以框出　11　个不同的和．
【分析】（1）从表中看出，框出的五个数中，两边的两个数的和是中间的数的2倍，因此要使框出的5个数的和最大，那么只要框出的5个数中的中间的数最大即可，所以框出的5个数为：15、21、22、23、29，要使框出的5个数的和最小，那么只要框出的5个数中的中间的数最小即可，所以框出的5个数为：1、7、8、9、15；
（2）观察表中的阴影部分这五个数与中间的数知道五个数的和是中间的数的5倍，依此计算即可求解．
（3）因为第一行、第二行和第三行可以框出1个的和；第二行、第三行与第四行可以框出5个不同的和，第三行、第四行与第五行可以框出5个不同的和，因此即可得出一共框出的不同的和的个数．
【解答】解：（1）要使框出的5个数的和最大，框出的5个数为：15、21、22、23、29，
和是：15+21+22+23+29＝110，
要使框出的5个数的和最小，框出的5个数为：1、7、8、9、15；
和是：1+7+8+9+15＝40，
（2）因为像这种形式五个数的和是105，
那么五个数的和是中间的数的5倍，
所以中间的数是：105÷5＝21，
即中间的那个数是21．
（3）1+5+5＝11（种）；
故答案为：110；40；21；11．
【点评】考查了简单图形覆盖现象中的规律，解答此题的关键是，根据所给出的阴影部分的数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．
9．如图是一张月历卡，如右图所示，每次同时框出3个数．框出的3个数的和最大是　84　，一共可以框出　20　种不同的和．
【分析】在月历卡中可以看出第一行和最后一行没法用给出的长方形框出3个数，只要讨论中间的4行就可以了，每一排都可以看成7个连续的自然数，由此进行讨论．
（1）和最大时这3个数最大，在这4行中找出最大的3个连续的数相加即可；
（2）每一种框法都有不同和，只要求出框法有几种就可以了，每一行的情况相同，只要求出1行的框法再乘4即可．
【解答】解：（1）27+28+29＝84；
（2）第二行可能的框法：
①2、3、4，②3、4、5，③4、5、6，④5、6、7，⑤6、7、8，一共5种；
4行的总框法：4×5＝20（种），20种框法就有20个不同的和；
故答案为：84，20．
【点评】考查了数表中的规律，月历卡中不同的和的情况要一行一行的找，再相加进行解答．
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在上表中，每次圈出相邻的2个数，共可以得到　11　个不同的和；每次圈出相邻的4个数，共可以得到　9　个不同的和．
【分析】根据题目要求圈一圈，再计数．
【解答】解：（1）每次圈出相邻的2个数，共可以得到：
1+2＝3；2+3＝5；3+4＝7；4+5＝9；5+6＝11；6+7＝13；7+8＝15；8+9＝17；9+10＝19；10+11＝21；11+12＝23；
即得数为：3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23；共有11个不同的和；
（2）每次圈出相邻的4个数，共可以得到：
1+2+3+4＝10；2+3+4+5＝14；3+4+5+6＝18；4+5+6+7＝22；5+6+7+8＝26；6+7+8+9＝30；7+8+9+10＝34；8+9+10+11＝38；9+10+11+12＝42；
即得数为：10；14、18、22、26、30、34、38、42；共有9个不同的和．
故答案为：11；9．
【点评】考查了组合图形的计数，本题要按照顺序依次计数，做到不重复不遗漏．
还可以这样分析，框出就是选连续的，如果按顺序框选，2个连续数中最小的数可以分别是1，2，…、11，所以有12﹣1＝11个不同的和；4个连续数中最小的数可以分别是1，2，…，9，所以有9个不同的和．
11．用形如正方形去框右面这个数表里的数，每次框出4个数，一共可以框出　24　个不同的和；如果框出的4个数之和是88，这4个数中最大的一个数是　26　．
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【分析】（1）横着看，第一行和第二行一共有6种不同的框法，由于这些数自左向右都是逐渐增大的，所以就会框出6种不同的和；
竖着看，第一列和第二列一共有4种不同的框法，由于这些数自上向下都是逐渐增大的，所以就会框出4种不同的和；
再用6乘4就是框出不同和的个数；
（2）从表格可看出框的4个数，左右相邻的差1，上下相邻的差7，设最小的数是x，右边的就为x+1，x下面的就为x+7，x+7右边的为x+8；再由它们的和是88列出方程求解．
【解答】解：（1）6×4＝24（个）；
（2）解：设最小的数是x，由题意得：
x+x+1+x+7+x+8＝88，
4x+16＝88，
4x＝72，
x＝18；
最大的数是：18+8＝26；
故答案为：24，26．
【点评】本题考查理解题意和看表格的能力，关键是要从表格看出框出四个数的联系．
12．如表是1997年5月份的月历表，如果用一个方框能同时框住表中四个日期数，如图，框内的四个数的数字之和是1+5+1+6+2+2+2+3＝22，在所有可能被框住的四个数中，全部数字之和最大是　34　．
【分析】由题意可知，要使框内的四个数的数字之和最大，则每个被框住的数各数位上的和应最大；同时被框住的四个数又具备以下特点：（1）．对角的数相加和相等，下面的数比上面的数大7，相邻的两个数差为1，（2）、可以设第一个数是n，第二个数就为n+1，第三个数就为n+7，第四个数就为n+8，四个数相加就可以得4n+16，要使4n+16最大，则n＞4，n+8＞12，据以上情况就可判定四个数分别是什么，也就能求得其和是多少．
【解答】解：可以设第一个数是n，第二个数就为n+1，第三个数就为n+7，第四个数就为n+8，
四个数相加就可以得4n+16，
要使4n+16最大，则n＞4，n+8＞12；
又“要使框内的四个数的数字之和最大，则每个被框住的数各数位上的和应最大”，
则这四个数分别是：18、19、25、26，
它们的数字之和是1+8+1+9+2+5+2+6＝34；
答：全部数字之和最大是34．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程的知识点，且要明白要使框内的四个数的数字之和最大，则每个被框住的数各数位上的和应最大．
13．如图粗线框中三个数的和是6．在表中移动这个框，一共可以得到　10　个不同的和．
【分析】观察图形可知方框里相邻的三个数从1到9每三个数一个框共有9种不同的和，从9开始后面的数字都相同，它们的和也相同只有一种情况，所以共有9+1＝10种不同的和．据此解答．
【解答】解：相邻的三个数从1到9每三个数一个框共有9种不同的和，从9开始后面的数字都相同，它们的和也相同只有一种情况，所以共有9+1＝10种不同的和．
故答案为：10．
【点评】关键是知道相邻的三个数共有的几种情况，由此解决问题．
三．判断题（共1小题）
14．操场上20名同学站成一行，老师想从中挑选相邻的4人做游戏，刘强说：“有16种不同的挑选方法”．　×　．（判断对错）
【分析】20名同学站成一行，老师想从中挑选相邻的4人做游戏，挑到倒数第三名的时候一共有20﹣3＝17种，最后三名就不能挑选了，据此解答即可．
【解答】解：20﹣3＝17（种）
故答案为：×．
【点评】把相邻的四名同学看做一个整体是解决此题的关键．
四．操作题（共3小题）
15．（2016春?江宁区期末）如图是2010年5月的台历．
（1）小明的爸爸每上4天班休息一天，妈妈却是上3天班休息一天，5月2日爸爸、妈妈都在家休息，下一次他们同时在家休息是星期　六　．
（2）算一算，上表中被阴影覆盖的5个数的和与中间的数有什么关系？（计算后再说明）
（3）如果框出的5个数的和是75，那么这5个数分别是多少，在图中框出来．
（4）一共可以框出　11　个不同的和．
【分析】（1）由分析可知：爸爸每5天中有一个休息日，妈妈每4天中就有一个休息日．5月2日，他们同时休息，从第一个同时休息到下一次他们同时休息经过的时间，既是5的倍数也是4的倍数，然后用5和4的最小公倍数加上前面的2日即的到休息的日子，问题得解；
（2）用“”来框数，将5个数相加即可；即11+17+18+19+25＝90；5个数的和是90，是中间数18的5倍；
（3）因为这5个数的和是中间的数的5倍，所以中间数是75÷5＝15，则框出的5个数为：8、14、15、16、22；
（4）最上边一行能框的数从1开始，到2结束，有1个；第二行能框的数从3开始，到9结束，有5个，竖着能框出的数有2﹣2＝2行，总共有：1+5×2＝11（个）．据此解答即可
【解答】解：（1）5和4是互质数，所以5和4的最小公倍数是：5×4＝20，
所以5月2日，他们同时休息，那么下一次他们同时休息是：2+20＝22，即5月22日，星期六；
（2）上表中被阴影覆盖的5个数和是：11+17+18+19+25＝90；
90÷18＝5，所以这5个数的和是中间的数的5倍；
（3）因为这5个数的和是中间的数的5倍，所以中间数是75÷5＝15，则框出的5个数为：8、14、15、16、22；
如图：
（4）1+5×2＝11（个）
所以，一共可以框出11个不同的和．
故答案为：六、11．
【点评】解答此题的关键是，根据所给的筐法，及表中数的特点，即可找出它们之间的规律，再根据规律作答即可．
16．表的粗线框一次可以框出5个数，在表中移动这个框．我们把8所处的位置称之为“中心数”．
（1）当“中心数”是8的时候，方框中5个数的和是　40　，当“中心数”是9的时候，方框中5个数的和是　45　．
（2）如果“中心数”用X表示，框内5个数的和用Y表示，Y＝　5X　．
（3）如果框出的5个数的和是90，请在表中用粗线框把这5个数框出来．
【分析】（1）根据图形算出5个数的和即可求解；
（2）框内5个数的和是中间数的5倍，依此即可得出答案；
（3）根据（2）的规律，求出中间数，即可得出框法．
【解答】解：（1）当“中心数”是8的时候，方框中5个数的和是8×5＝40，当“中心数”是9的时候，方框中5个数的和是9×5＝45．
（2）如果“中心数”用X表示，框内5个数的和用Y表示，Y＝5X．
（3）90÷5＝18
如图所示：
故答案为：40，45；5X．
【点评】解答此题的关键是，根据所给的筐法，及表中数的特点，即可找出它们之间的规律，再根据规律作答即可．
17．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑脸．请你把所有的笑脸找出来．（在笑脸上画“○”，其他画“×”）
【分析】首先从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸；然后根据点开的方格中是几，就代表周围的八个方格里有几个笑脸，判断出哪些方格中有笑脸即可．
【解答】解：右边的第二列、以及第三列和第四列的数字都是1，则可以判断最右边的一列的三个不是笑脸，右边第三列的中间一定是笑脸，则第四列中间的一个不是笑脸，左边第三列的两个也不是笑脸，由左边第三列的2判断出左边第二列的下面两个都是笑脸，由左下角的3可以判断出左第一列的中间是笑脸，有左上角的2可以判断第二列的上面的空不是笑脸．
故答案为：
【点评】此题主要考查了逻辑推理问题，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸．
五．解答题（共9小题）
18．（2016春?浮梁县校级期末）将1﹣1001的自然数按如表方式排列，用一个方框框出九个数，要使这九个数的和等于2007或2008，你能否办到？如果你能请分别写出这个方框中的最大数和最小数．
A 当这九个数的和是2007时，能否办到，如果能方框中最大数是　231　，最小数是　215　；
B当这九个数的和是2008时，能否办到，如果能方框中最大数是？最小数是？
【分析】用一个正方形框子框出的9个数的和必定是9的倍数；框中最大数是中间的数加8，最小的数是中间的数﹣8，由此解决问题．
【解答】解：设方框内最小的数（左上角）为a，则框内的九个数可分别表示为：a，a+1，a+2，a+7，a+7+1，a+7+2，a+7×2，a+7×2+1，a+7×2+2．
它们的和是9a+7×3+7×2×3+（1+2）×3＝9×（a+8）．
由于总和9×（a+8）是9的倍数，
所以总和是2008不可能，只可能是2007．
当方框内9个数的和是2007时，框内的最小数是2007÷9﹣8＝215，最大数是215+7×2+2＝231；
答：方框中的最大数是231，最小数是215．
故答案为：231，215．
【点评】此题有一定难度，重在考查学生的分析判断能力以及数的整除特征．
19．日历的规律：认真观察如图阴影方框中正中间的数与其他4个数的关系．
（1）中间数是x，则左边的数是x﹣1，右边的数是x+1，上面的数是　x﹣7　，下面的数是　x+7　．
（2）方框中5个数之和与该方框中间的数有什幺关系？
（3）当5个数的和是80时，中间的数是多少？
【分析】（1）通过观察，如果中间数是x，则左边的数是x﹣1，右边的数是x+1，上面的数是x﹣7，下面的数是x+7；
（2）左边五个数的和是：7+13+14+15+21＝70，70是中间的数14的5倍；右边五个数的和是：4+10+11+12+18＝55，55是中间的数11的5倍；
所以得出：方框中5个数之和是该方框中间的数的5倍；
（3）根据（2）得出的结论计算即可．
【解答】解：（1）由分析得出：中间数是x，则左边的数是x﹣1，右边的数是x+1，上面的数是x﹣7，下面的数是x+7；
（2）左边五个数的和是：7+13+14+15+21＝70，70是中间的数14的5倍；右边五个数的和是：4+10+11+12+18＝55，55是中间的数11的5倍；
所以得出：方框中5个数之和是该方框中间的数的5倍；
（3）中间的数都是：80÷5＝16．
答：中间的数是16．
故答案为：（1）x﹣7；x+7；（2）方框中5个数之和是该方框中间的数的5倍；（3）中间的数是16．
【点评】解答此题的关键是，根据所给出的阴影部分的数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．
20．下面是2006年6月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
根据你发现的规律想一想：像这样形式的哪五个数的和是115，请你用阴影画出这五个数．
【分析】根据“观察阴影部分5个数的关系”算出5个数的和，再与中间的数比较，即可发现规律是5个数之和正好是中间数的5倍，十字架中的竖着的三个数是一个相邻两数差为7的数列，横着的三个数是一个邻两数差为1的数列．
【解答】解：（1）发现的规律是5个数之和正好是中间数的5倍，十字架中的竖着的三个数是一个相邻两数差为7的数列，横着的三个数是一个邻两数差为1的数列．
（2）因为5个数的和是115，
所以中间的数是：115÷5＝23，上面的数是23﹣7＝16，下面的数是23+7＝30，左边的数是23﹣1＝22，右边的数是23+1＝24；
故答案为：5个数之和正好是中间数的5倍，十字架中的竖着的三个数是一个相邻两数差为7的数列，横着的三个数是一个邻两数差为1的数列；
【点评】解答此题的关键是，根据所给的筐法，及表中数的特点，即可找出它们之间的规律，再根据规律作答即可．
21．2009年11月1日是星期日，在11月份的日历上圈出4个数．围成长方形，这四个数的和是78．这4个日期分别是11月　9　日、　16　日、　23　日和　30　日．
【分析】仔细观察，可竖着围4个数，这4个数是一个公差为7的等差数列．设第一个数是x，后3个数分别是x+7、x+14、x+21，运用求和公式求x．进而解决问题．
【解答】解：竖着围4个数，这4个数是一个公差为7的等差数列．设第一个数是x，后3个数分别是x+7、x+14、x+21，运用求和公式得．
[x+（x+21）]×4÷2＝78
[2x+21]×4÷2＝78
2x+21＝39
2x＝18
x＝9
这4个日期分别是9日、16日、23日和30日．
故答案为：9，16，23，30
【点评】此题也可这样解答：横着围4个数，这4个数是连续的自然数78÷4＝19.5求出平均数，那么中间两个数是19和20，这4个日期分别是18日、19日、20日和21日．
也可这样：围出上下两行的4个数．设左上角的数是x，其余的三个数分别是x+1、x+7和x+8．列出方程：x+x+1+x+7+x+8＝78，此题求出来的x的值是小数，因为日期不可能是小数，所以这种围法不成立．
22．如图是某年3月的月历，用形如的长方形去框月历里的日期数，每次同时框3个数．
（1）框里三个数的和最大是多少？最小呢？
（2）一共可以框出多少个不同的和？
（3）能框出和是63的3个数吗？如果能，写出这三个数分别是多少？
【分析】观察表中数据特点可得，每一行都是相邻的自然数，相差1，只有第一行有1个数，最后一行有2个数，每行都是从小到大排列，
（1）要使框里三个数的和最大，必须选第五行最后三个数：27、28、和29，要是和最小必须选第二行最前的三个数：2、3和4；
（2）除了第一行和最后一行不能框出三个不同的数外，剩下的四行，每一行7个数，都能框出：7﹣2＝5种不同的和，共有5×4＝20（种）；
（3）设中间的数为x，那么前后两个数分别为：x﹣1，x+1，列方程为：x﹣1+x+x+1＝63，然后解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）最大：27+28+29＝84，
最小：2+3+4＝9；
答：框里三个数的和最大是84，最小是9．
（2）（7﹣2）×4＝20（种），
答：一共可以框出20个不同的和．
（3）设中间的数为x，那么前后两个数分别为：x﹣1，x+1，
x﹣1+x+x+1＝63，
3x＝63，
x＝21，
前后两个数分别为：x﹣1＝21﹣1＝20，x+1＝21+1＝22，
答：这三个数分别是：20、21、22．
【点评】本题关键是先找到规律，再根据规律求解，考查的知识点比较多有：极值问题、排列组合问题、数列分组问题，注意，框的形式是横框，如果换成竖框解答就不同了．
23．（1）这是　2　月的日历．
（2）这个月中的双休日（周六和周日）共占这个月总天数的
（3）用去框日历中的日期，框出5个数的和最大是　110　，最小是　40　．一共能框出　11　种不同的和．
【分析】（1）通过观察日历，这个月只有29天，一年里只有2月在闰年时才有29天，所以是2月；
（2）这个月的双休日有8天，然后除以总天数29，即可得解；
（3）①从表中看出，框出的五个数中，两边的两个数的和是中间的数的2倍，因此要使框出的5个数的和最大，那么只要框出的5个数中的中间的数最大即可，所以框出的5个数为：15、21、22、23、29；
②要使框出的5个数的和最小，那么只要框出的5个数中的中间的数最小即可，所以框出的5个数为：1、7、8、9、15；
③因为第一行、第二行和第三行可以框出3个不同的和；第二行、第三行与第四行可以框出5个不同的和，第三行、第四行与第五行可以框出3个不同的和，因此即可得出一共框出的不同的和的个数．
【解答】解：（1）这是 2月的日历；
（2）8÷29＝
答：这个月中的双休日（周六和周日）共占这个月总天数的．
（3）①要使框出的5个数的和最大，框出的5个数为：15、21、22、23、29，
和是：15+21+22+23+29＝110
②要使框出的5个数的和最小，框出的5个数为：1、7、8、9、15；
和是：1+7+8+9+15＝40
③3+5+3＝11（种）；
答：用去框日历中的日期，框出5个数的和最大是 110，最小是 40．一共能框出 11种不同的和．
故答案为：2，，110，40，11．
【点评】明白只有2月是个特殊情况，在闰年是有29天；以及求一个数是另一个数的几分之几用除法；根据所给的框法，及表中数的特点，即可找出它们之间的规律，再根据规律作答．
24．（2012?灌南县校级模拟）如图，是一张4×4的方格纸，它是由16个同样大小的正方形组成的，而且每个正方形里都写了一个数．
（1）从图中去掉一个一共有多少种不同的方法？
（2）如果去掉的四个数的和是46，这四个数应在图中什么位置？（涂色表示）
【分析】（1）从图中去掉一个一共有多少种不同的方法，就是整个图形中共有共有几个这样的图形，如：1，5，2，6组成一个；
2，6，3，7组成一个；
3，7，4，8组成一个；
5，9，6，10组成一个；
6，10，7，11组成一个；
7，11，8，12组成一个；
9，13，10，14组成一个；
10，14，11，15组成一个；
11，15，12，16组成一个；
共组成9个．
（2）由（1）可知：这4个数上下相差4，左右相差1，故此设这四个数最左边最上边的是x，则其余三个分别是x+4，x+1，x+1+4，据此解答即可．
【解答】解：（1）根据分析能在4×4的方格纸中找出9个，
所以从图中去掉一个一共有9种不同的方法．
答：从图中去掉一个一共有9种不同的方法．
（2）设这四个数最左边最上边的是x，由题意得：
x+x+1+x+4+x+1+4＝46
4x+10＝46
4x+10﹣10＝46﹣10
4x＝36
4x÷4＝36÷4
x＝9
9+1＝10
9+4＝13
9+1+4＝14
如图：
【点评】解答本题的关键是：正确找出有几个就有几种去掉的方法，再找出这四个数之间存在的关系就能找出和是46的四个数．
25．把1～54这54个数从小到大排成一行（如表），
（1）算一算，上表中被阴影覆盖的5个数和是多少？这5个数的和与中间的数有什么关系？
（2）任意移动这个阴影框，你能发现什么？
（3）如果框出的5个数的和是165，那么这5个数分别是多少？应该怎么框？
（4）能框出和是250的五个数吗？为什么？
（5）一共可以框出多少个不同的和？
【分析】（1）将被阴影覆盖的5个数加起来计算即可；再看与中间的数12的关系；
（2）通过一定阴影框，发现每向右移动移动一下，被阴影覆盖的5个数的和都比前一次增加5，并且被覆盖的5个数中间的数都是5个数的和的，上边的数比中间的数小9，最下边的数比中间的数大9，左边的数比中间的数小1，右边的数比中间的数大1；
（3）如果框出的5个数的和是165，那么中间的数是165÷5＝33，则根据排列规律写出其它4个数即可；
（4）如果框出的数是250，那么中间的数是：250÷5＝50，由图意得50的下边没有数，所以不能框出250；
（5）最上边一行能框的数从2开始，到8结束，有9﹣2＝7个；竖着能框出的数有6﹣2＝4行，总共有：7×4＝28（个）．
据此解答即可．
【解答】解：（1）5个数的和是：3+11+12+13+21＝60；
60÷12＝5，即60是12的5倍．
答：上表中被阴影覆盖的5个数和是60，这5个数的，60是中间的数的5倍．
（2）通过一定阴影框，发现每向右移动移动一下，被阴影覆盖的5个数的和都比前一次增加5，并且被覆盖的5个数中间的数都是5个数的和的，上边的数比中间的数小9，最下边的数比中间的数大9，左边的数比中间的数小1，右边的数比中间的数大1；
（3）中间的数为：165÷5＝33，则其它4个数分别为：32，34，33﹣9＝24；33+9＝42．
答：则5个数为：24、32、33、34、42．
（4）假设能框出250，那么中间的数是：250÷5＝50，
由图意得50的下边没有数，所以不能框出250．
答：不能框出250，因为中间数50的下边没有数．
（5）总共可以框出：（9﹣2）×（6﹣2）＝28（个）．
答：一共可以框出28个不同的和．
【点评】解决本题的关键是找到规律，再结合问题解答．
26．（2012春?如东县期中）方方家的阳台一横行贴了28块小瓷砖，一竖行贴了20块小瓷砖，她打算在这上面贴一些长占3块，宽占2块的花色小瓷砖，有多少种不同的贴法？
【分析】分两种情况：
横着贴：前后每3块，竖着每2块就组成这个图形，所以贴法一共有：（28﹣2）×（20﹣1）＝494（种）；
竖着贴：横着每3行，横着每2行就组成这个图形，贴法一共有：（20﹣2）×（28﹣1）＝486（种）；
最后将两种贴法加起来即可．
【解答】解：贴法有：
（28﹣2）×（20﹣1）+（20﹣2）×（28﹣1），
＝494+486，
＝980（种）．
答：有980种不同的贴法．
【点评】此题主要考查排列组合，要注意找出每行放的个数与放的行数即可．
声明