2019-2020学年北师大版数学选修1-1第4章导数应用4.2.1课件:30张PPT

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数
学
选修1-1
·
北师大版
新课标导学
第四章
导数应用
§2　导数在实际问题中的应用
2.1　实际问题中导数的意义
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
导数来源于生活，服务于生活．实际生活中，有许多的词语与导数有关．如物理上的功率、线速度、加速度，还有生活中常听说的降水强度、边际成本等．这节课，我们就来研究一下实际问题中导数的意义．
1．在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为__________，它的单位是__________.
2．在气象学中，通常把单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称作__________，它是反映一次降雨__________的一个重要指标．
3．在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导数称为__________，f
′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f
′(x0)个单位的成本．
功率　
瓦特　
降雨强度　
大小　
边际成本　
1．一质点的运动方程为s＝5－3t2，则该质点在t＝2时的速度等于(　　)
A．－12　　
B．12　
　
C．2　　
D．－7
[解析]　s′＝－6t，∴s′(2)＝－12.
A
2．一次降雨过程中，降雨量y是时间t(单位：h)的函数，用y＝f(t)表示，则f
′(10)表示(　　)
A．t＝10时的降雨强度　　
B．t＝10时的降雨量
C．10小时的平均降雨量
D．t＝10时的温度
[解析]　f
′(t)表示t时刻的降雨强度，故选A．
A
3．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示(　　)
A．t＝t0时做的功
B．t＝t0时的速度
C．t＝t0时的位移
D．t＝t0时的功率
[解析]　W′(t)表示t时刻的功率．
D
(v0＋2a)
服药2分钟后血液中药物的质量浓度以每分钟
0.3mg/mL的速度增加
互动探究学案
设质点做直线运动，已知路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝3t2＋2t＋1.求：
(1)从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)当t＝2时的瞬时速度；
(3)当t＝2时的加速度．
命题方向1　 导数在物理中的意义
典例
1
『规律方法』　在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．例如中学物理中，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等．
〔跟踪练习1〕
某物体走过的路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝3t＋1，求函数s＝3t＋1在t＝2处的导数s′(2)，并解释它的实际意义．
命题方向2　 导数在生活中的应用
典例
2
『规律方法』　函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c′(98)＝25c′(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
〔跟踪练习2〕
一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降．温度T(单位：℃)与时间t(单位：min)间的关系，由函数T＝f(t)给出．请问：
(1)f
′(t)的符号是什么？为什么？
(2)f
′(3)＝－4的实际意义是什么？如果f(3)＝65
℃，你能画出函数在点t＝3
min时图像的大致形状吗？
[解析]　(1)f
′(t)是负数．因为f
′(t)表示温度随时间的变化率，而温度是逐渐下降的，所以f
′(t)为负数．
(2)f
′(3)＝－4表明在3
min附近时，温度约以4
℃/min的速度下降，如图所示．
某食品厂生产某种食品的总成本C(单位：元)和总收入R(单位：元)都是日产量x(单位：kg)的函数，分别为C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200
kg,250
kg,300
kg时的边际利润，并说明其经济意义．
命题方向3　 导数在经济学中的应用
典例
3
[解析]　(1)根据定义知，总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，
所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.
(2)当日产量分别为200
kg,250
kg,300
kg时的边际利润分别为
L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．
其经济意义是：当日产量为200
kg时，再增加
1
kg，则总利润可增加1元；当日产量为250
kg时，再增加1
kg，则总利润无增加；当日产量为300
kg时，再增加1
kg，则总利润反而减少1元．
由此可得到：当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．
在经济学中，通常取Δx＝1，就认为Δx达到很小，故有f(x0＋Δx)－f(x0)≈f
′(x0)．在实际问题中，略去“近似”两字，就得到f(x)在x0处的边际值f
′(x0)的经济意义：即当自变量x在x0的基础上再增加一个单位时，函数f(x)的改变量．
〔跟踪练习3〕
造船厂年最大造船量为20艘，造船x艘产值函数为R(x)＝3
700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数c(x)＝460x＋5
000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．求利润函数p(x)及边际利润函数Mp(x)(利润＝产值－成本)．
[解析]　p(x)＝－10x3＋45x2＋3
240x－5
000(x∈N＋，1≤x≤20)，
Mp(x)＝－30x2＋60x＋3
275(x∈N＋，1≤x≤19)．
1．已知函数y＝f(x)，x∈R，则f
′(x0)表示(　　)
A．自变量x＝x0时对应的函数值
B．函数值y在x＝x0时的瞬时变化率
C．函数值y在x＝x0时的平均变化率
D．无意义
[解析]　根据导数的几何意义知选B．
B
2．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示(　　)
A．t＝1s时的速度　　
B．t＝1s时的加速度
C．t＝1s时的位移
D．t＝1s时的平均速度
[解析]　v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度．
B
3．火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100
m/s.则熄火后__________秒后火箭速度为零(g取10
m/s2)．
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