2019-2020学年北师大版数学选修1-1第4章导数应用4.2.2第1课时课件:45张PPT

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数
学
选修1-1
·
北师大版
新课标导学
第四章
导数应用
§2　导数在实际问题中的应用
2.2　最大值、最小值问题
第1课时　函数的最大值与最小值
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
1．函数最值的概念
(1)下图中的函数f(x)的最大值为__________，最小值为__________.
而极大值为__________，极小值为__________.
f(g)　
f(b)　
f(d)，f(g)　
f(c)，f(e)　
(2)由上图还可以看出，假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，该函数在[a，b]上一定能够取得__________与__________，若该函数在(a，b)内是__________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．
最大值　
最小值　
可导的　
1．函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值．
2．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有很多，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
A
B
3．设f(x)是[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下面结论中正确的是(　　)
A．f(x)的极值点一定是最值点
B．f(x)的最值点一定是极值点
C．f(x)在此区间上可能没有极值点
D．f(x)在此区间上可能没有最值点
[解析]　若f(x)在[a，b]上单调，则无极值点，但无论单调与否都会有最值点．
C
4．函数y＝x4－2x2＋5在区间[－2,2]上的最大值为__________.
[解析]　y′＝4x3－4x，令y′＝0，即4x3－4x＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1，又f(－2)＝13，f(－1)＝4，f(0)＝5，f(1)＝4，f(2)＝13，故最大值为13.
13
　
5．求下列函数的最值．
(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．
(2)f
′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)
＝3(x－1)2＋3.
∵f
′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，
f(x)最小值＝－12；x＝1时，
f(x)最大值＝2，
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
互动探究学案
命题方向1　 利用导数求函数的最大值与最小值
典例
1
3．若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．
〔跟踪练习1〕
求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值．
已知函数f(x)＝ax3＋3x＋2(a∈R)的一个极值点是1.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[－2,3]上的最大值和最小值．
命题方向2　 含参数的函数最值问题
典例
2
『规律方法』　已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
〔跟踪练习2〕
若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值是3，最小值是－29，求a、b的值．
又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，
f(－1)＝－7a＋3>f(2)，
∴当x＝2时，
f(x)取最小值，∴－16a＋3＝－29，
∴a＝2.
函数最值的应用主要体现在解决不等式恒成立时，求参数的取值范围问题，这是一种常见题型，主要应用分离参数法，然后转化为求函数的最值问题，在求最值时，可以借助导数求值．
函数最值的综合应用　
典例
3
『规律方法』　对于根据不等式恒成立求参数的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成m≥f(x)或m≤f(x)的形式，然后利用导数求出函数f(x)的最值，则由结论m≥f(x)max或m≤f(x)min即可求出参数m的取值范围．
用导数求最值时，注意极值与端点值的比较
典例
4
1．函数f(x)＝x2－3x(|x|<2)(　　)
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
C
A
C
4．如图是函数y＝f(x)的导函数f
′(x)的图像，则下面判断正确的是(　　)
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在(1,3)上f(x)是减函数
C．在(4,5)上f(x)是增函数
D．当x＝4时，f(x)取极大值
[解析]　由导函数y＝f
′(x)的图像知，f(x)在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x＝4是f(x)的极小值点，故A、B、D错误，选C．
C
5．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2,2]上的最大值．