2019-2020学年北师大版数学选修1-1第4章导数应用4.2.2第2课时课件:58张PPT

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数
学
选修1-1
·
北师大版
新课标导学
第四章
导数应用
§2　导数在实际问题中的应用
2.2　最大值、最小值问题
第2课时　生活中的优化问题举例
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
优化问题
1．生活中，我们经常遇到面积、体积最大，周长最小，利润最大，用料最省，费用最低，效率最高等等一系列问题，这些问题通常通称为__________.
2．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．
3．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值就是__________.
优化问题　
自变量　
最值　
根据课程标准的规定，有关函数最大值、最小值的实际问题一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个点使f
′(x)＝0，且该函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，就可以知道这就是最大(小)值．
1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N
)满足y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大(　　)
A．3　　
　
B．4　　
　
C．5　　
　
D．6
C
C
互动探究学案
命题方向1　 利润最大问题
典例
1
(1)求m的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(精确到0.1)
[思路分析]　(1)根据售价为4元/套时可售出套题21千套，求出m的值；(2)假设网校员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元，也就是每套题的成本为2元，则每套题的利润为(x－2)元，已知销售价格，则利润＝(销售价格－成本)×销售量，利用导数求最值．
『规律方法』　利润最大，效率最高等实际问题，关键是弄清问题的实际背景，将实际问题用函数关系表达，再求解．
命题方向2　 费用(用料)最省问题
典例
2
『规律方法』　本题属于费用最低问题，此种类型的题目解决的关键是正确地理解题意列出函数的解析式，利用导数求其最值时，要注意函数的定义域的限制．
〔跟踪练习2〕某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8
m2，问x、y分别为多少时用料最省(精确到0.001
m)
有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
命题方向3　 面积、容积最大问题
典例
3
『规律方法』　1.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．
(2)求函数的导数f
′(x)，解方程f
′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．
其基本流程是
2．面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
〔跟踪练习3〕
已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．
解决生活中的优化问题应注意以下几点：
(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式．
(2)在建立函数模型的同时，应根据实际问题确定出函数的定义域，忽视定义域易造成错解．
(3)在实际问题中，由f
′(x)＝0常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点处的函数值比较，也可以判断该极值就是最大(小)值．
解决优化问题的注意事项　
(4)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的应舍去，例如：长度、宽度、销售价格应为正数．
(5)对实际应用问题能够进行数学建模，但在问题解决的过程中，如果含有字母参数，那么要注意分类讨论．在分类讨论的过程中，如果在定义域内f
′(x)>0(或f
′(x)<0)，那么可以直接根据单调性求最值．如果在定义域内f
′(x)＝0有解，那么在极值点或端点处可取最值．如果采用换元法，那么要注意新变量的取值范围．
从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁去一小块边长为x的正方形(如图)，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比值不超过常数t，那么x取何值时，容积V有最大值？
典例
4
『规律方法』　解决优化问题的方法很多，如判别式法、基本不等式法、线性规则法、配方法、数形结合法和单调性法等．不少优化问题可以化为求函数的最值问题，导数方法是解决这类问题的有效方法．
甲、乙两地相距s
km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c
km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
含参数的函数求最值时，注意极值与参数取值的关系
典例
5
A
2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为(　　)
A．2和6　　　　　　　　
B．4和4
C．3和5
D．以上都不对
[解析]　设一个数为x，则另一个数为8－x，则y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.
当0≤x<4时，y′<0，函数单调递减；当40，函数单调递增，所以x＝4时，y最小．
B
D
4．已知A，B两地相距200
km，一只船从A地逆水到B地，水速为8
km/h，船在静水中的速度为v
km/h(8km/h，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船在静水中的速度v应为多少？