2019-2020学年北师大版数学选修1-1第4章导数应用4章末整合提升4课件:57张PPT

(共57张PPT)
数
学
选修1-1
·
北师大版
新课标导学
第四章
导数应用
章末整合提升
1
知识网络
2
知识整合
3
专题突破
知识网络
知识整合
1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上的单调性与其导数的正负的关系：
如果f
′(x)>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果f
′(x)<0，那么函数在这个区间内单调递减；如果f
′(x)＝0，那么函数在这个区间内为常数．
2．在某区间内f
′(x)>0(f
′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分不必要条件，如果出现个别点使得f
′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．所以在已知函数的单调性，求参数的取值范围时，要注意等号是否可以取到，也就是导数值为零的点需要单独验证，以免出错．
注意：当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间一般不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
3．(1)一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较陡峭(向上或向下)；反之，函数的图像就平缓一些．
(2)f
′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．在区间(a，b)上，如果f
′(x)>0，则切线倾斜角为锐角，曲线呈向上增加状态，即函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f
′(x)<0，则切线倾斜角为钝角，曲线呈向下减少状态，即函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．
4．(1)根据极值的定义可知，在可导函数中，若x0为极值点，则必有f
′(x0)＝0(此结论常用来求参数)，但f
′(x0)＝0时，x0不一定为极值点，还要满足在此点附近左右两侧函数的单调性相反，单调性一致时，不能作为极值点．如函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f
′(0)＝0，但x＝0却不是极值点．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值时，将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
(3)如果函数y＝f(x)的图像是区间[a，b]上一条连续不断的曲线，且在(a，b)上可导，则
①f(x)在[a，b]上必有最值点．
②若函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点．
(4)有关函数零点个数的问题，可以根据函数的单调性、极值和最值，利用数形结合的思想方法，借助函数图像判断函数零点的个数．
5．(1)已知f(x)在区间D上单调，求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法．通常将f
′(x)≥0(或f
′(x)≤0)的参数分离，转化为求函数的最值问题，从而求出参数的取值范围．
(2)对于证明f(x)≥(或≤)m恒成立的问题，可以转化为证明相应函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于等于(或小于等于)m的问题．
专题突破
1．利用导数研究函数的单调性是导数的主要应用之一，其步骤为：
(1)求导数f
′(x)；
(2)解不等式f
′(x)>0或f
′(x)<0；
(3)确定函数的单调增区间、减区间．
2．函数y＝f(x)在区间(a，b)上的导函数为f
′(x)，若f
′(x)>0总成立，则该函数在(a，b)上单调递增；若f
′(x)<0总成立，则该函数在(a，b)上单调递减．
题型一　 利用导数研究函数的单调性
设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行．求：
(1)a的值；
(2)函数f(x)的单调区间．
典例
1
『规律方法』　函数的单调性与其导函数值的正负一一对应，判断函数的单调性时，可以通过计算其导函数取值的正负情况进行判断，也可以由导函数图像来判断导函数取值的正负．
1．应用导数求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求方程f
′(x)＝0的根；
(3)检验f
′(x)＝0的根的两侧f
′(x)的符号．
若左正、右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负、右正，则f(x)在此根处取得极小值．
否则，此根不是f(x)的极值点．
题型二　 函数的极值与最值
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)中求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
　已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在x＝1处有极小值－1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在闭区间[－2,2]上的最大值和最小值．
典例
2
『规律方法』　本题结合函数极值的求法，用待定系数法求出函数的解析式，再根据导数的正负确定函数的单调区间．在求最值时切记不要简单地在极值中找出最值作为结果，一定要考虑函数在区间端点处取得的函数的大小．本题主要体现了化归思想的应用．
典例
3
已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法，一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法，利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f
′(x)>0(或f
′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f
′(x)≥0或(f
′(x)≤0)，且使f
′(x)＝0的点仅有有限个．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f
′(x)≥0或f
′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f
′(x)>0(或f
′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．
题型三　 求参数的取值范围问题
典例
4
1．利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：
(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．
(2)求方程f
′(x)＝0的所有实数根．
(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．
题型四　 导数的实际应用
2．利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：
(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在实际问题中，由f
′(x)＝0常常仅得到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．
典例
5
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数；
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？
[思路分析]　1.要求每天的盈利额，首先将次品率转化为正品率计算正品的产量，再乘以每件产品的利润即可表示出每天的盈利额．
2．要求日盈利额的最大值，则首先求出T′＝0时的日产量，再讨论c的范围，从而确定日产量的取值．
『规律方法』　1.当题目中含有参数时，一般要对参数进行讨论，如本题中针对参数c的讨论一方面决定了日盈利额的表达式，另一方面影响了日产量的取值．
2．若参数有一定的范围，则要特别注意参数的取值范围对变量取值的影响，如本题中c为小于6的正常数，则T′＝0，日产量只能取3.
题型五　 导数的综合应用
典例
6
『规律方法』　用导数研究函数的性质比用初等数学的方法研究要方便的多．在知识的交汇处设计一些综合问题，突出理性思维能力，用导数作为工具研究函数的性质、函数与方程、函数与不等式方面有其新的背景和载体，同时以导数的几何意义为背景设置导数与解析几何、函数结合的综合题也甚为常见，一般以解答题形式出现，难度中等偏高．
C
2．已知函数f(x)＝＋ln
x，则下列选项正确的是(　　)
A．f(e)B．f(π)C．f(e)D．f(2.7)D
3．如图，过函数y＝xsin
x＋cos
x图像上点(x，y)的切线的斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图像大致为(　　)
A
A
C
二、填空题
6．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f
′(x)为f(x)的导函数，则f
′(0)的值为__________.
[解析]　由题意得f
′(x)＝(2x＋3)ex，则得f
′(0)＝3.
3