2019-2020学年北师大版数学选修2-2第三章导数应用 第1课时课件:46张PPT

(共46张PPT)
第三章
导数应用
本章知识概述：导数应用包括两个方面：一是利用导数作为一种工具在解决函数问题中应用；二是导数在分析和解决实际问题中的应用，在教科书中分为两节．
第一部分主要是利用导数来研究函数的单调性与极大、极小值，是导数在研究和处理函数性质问题的一个重要应用．
第二部分主要是应用导数方法解决现实中的变化趋势和最优化问题，解决这类问题的关键是函数模型的建立，从导数角度看，主要是导数在数学上的研究成果的应用．导数在现实生活中有着广泛的应用，在物理学中的力学、电学、运动、做功、受热膨胀等问题的解决都离不开导数．在日常生活中，利用导数处理最优化问题简单方便．导数是人们在解决现实生活问题中的伟大发明．
本章的学习重点是应用导数解决函数的单调性、极值、最值问题，同时利用导数的概念形成过程中的思想分析问题并建立导数模型．学习的难点是导数方法的应
§1　函数的单调性与极值
第1课时　导数与函数的单调性
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势(走高或走
低)以及股票价格的变化范围(封顶或保底)．从股票走势曲线
图来看，股票有升有降．在数学上，函数曲线也有升有降，
就是我们常说的单调性．
那么，函数的单调性与导数有什么关系呢？
1．切线的斜率和f(x)的导数的关系
(1)切线的斜率为正，_____________；切线的斜率为负，_____________.
f′(x)>0　
f′(x)<0　
2．用导数判断函数的单调性
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在这个区间内_________；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在这个区间内_________．
3．函数的变化快慢与导数的关系
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较___，其图像比较_____．即|f
′(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的变化率就越大．
单调递增　
单调递减　
快　
陡峭　
4．求可导函数单调区间的一般步骤
第一步，确定函数f(x)的定义域．
第二步，求f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出它在定义域内的一切实根．
第三步，把函数f(x)在间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间．
第四步，确定f′(x)在各个小区间的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小区间的增减性．
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2)　　　　
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
[解析]　∵f(x)＝(x－3)ex，
∴f
′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f
′(x)>0得x>2，∴选D.
D　
2．(2019·德州高二检测)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是(　　)
[解析]　∵f
′(x)在[a，b]上为增函数，∴f(x)在[a，b]上的切线斜率k随x的增大而增大，故选A.
A
C
互动探究学案
(1)(2019·临沂高二检测)f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是(　　)
命题方向1　 利用导数研究函数的单调性
典例
1
D
『规律总结』　1.函数的图像与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数，要重点考查其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．
(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．
2．利用导数证明或判断函数单调性的思路
求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
〔跟踪练习1〕
(1)(2019·石家庄高二检测)已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图像中，y＝f(x)的图像大致是(　　)
C
(2)求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
[解析]　(1)由函数y＝xf′(x)的图像可知当x<－1时，xf′(x)<0，f′(x)>0，
∴f(x)为增，当－10，f′(x)<0，此时f(x)为减，当01时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)为增函数，∴选C.
(2)由f(x)＝ex－x－1，
得f′(x)＝ex－1.
当x∈(0，＋∞)时，ex－1>0，
即f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，
即f′(x)<0，
所以f(x)在(－∞，0)内是减函数．
确定下列函数的单调区间．
(1)y＝x3－9x2＋24x；
[解析]　(1)y′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)，
由y′>0得x<2或x>4；
由y′<0得2∴函数的递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)；
递减区间是(2,4)．
命题方向2　 用导数求函数的单调区间
典例
2
『规律总结』　研究函数的单调区间时，首先要求函数的定义域，然后在定义域范围内研究函数的单调性，否则可能产生增根．,
讨论函数f(x)＝x3＋ax(a∈R)的单调性．
[思路分析]　讨论函数的单调性与求单调区间基本一致，一般用求导数法求解．含参数的要注意分类讨论．
[解析]　∵f(x)＝x3＋ax，
∴f′(x)＝3x2＋a.
①当a≥0时，y′≥0，函数y＝x3＋ax在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a<0时，令3x2＋a＝0得
命题方向3　 含参数的讨论问题
典例
3
『规律总结』　(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．
(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．
(2)y′＝x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a)(x－a2)，
令y′<0得(x－a)(x－a2)<0.
①当a<0时，不等式的解集为a②当0③当a>1时，不等式的解集为a④a＝0，a＝1时，y′≥0，此时，无减区间．
综上所述：
当a<0或a>1时，函数f(x)的单调递减区间为(a，a2)；
当0当a＝0，a＝1时，无减区间．
转化思想的应用——构造法证明不等式
典例
3
『规律总结』　若证明不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)，可以转化为证明：f(x)－g(x)>0.如果[f(x)－g(x)]′>0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数．若F(x)＝f(x)－g(x)是增函数，f(a)－g(a)>0，当x∈(a，b)时，f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．,
D
已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．
[错解]　求函数的导数f′(x)＝3ax2＋6x－1.
当f′(x)<0时，f(x)是减函数，
因忽视条件的前提而致误
典例
5
[点评]　1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f
′(x)≥0(或f
′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
[解析]　f
′(x)＝x2－ax＋a－1，由题意知f
′(x)≤0在区间(1,4)上恒成立，且
f
′(x)≥0在区间(6，＋∞)上恒成立．
由f
′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0.
∵x∈(1,4)，∴x－1∈(0,3)，
1．(2019·上城区校级模拟)定义在R上的可导函数f(x)，已知y＝ef
′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的增区间是(　　)
A．(－∞，1)
B．(－∞，2)
C．(0,1)
D．(1,2)
B
[解析]　由题意如图f
′(x)≥0的区间是(－∞，2)，
故函数y＝f(x)的增区间为(－∞，2)，
故选B.
2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　)
[解析]　A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．
D