2019-2020学年北师大版数学选修2-2第三章导数应用 第2课时课件:56张PPT

(共56张PPT)
第三章
导数应用
本章知识概述：导数应用包括两个方面：一是利用导数作为一种工具在解决函数问题中应用；二是导数在分析和解决实际问题中的应用，在教科书中分为两节．
第一部分主要是利用导数来研究函数的单调性与极大、极小值，是导数在研究和处理函数性质问题的一个重要应用．
第二部分主要是应用导数方法解决现实中的变化趋势和最优化问题，解决这类问题的关键是函数模型的建立，从导数角度看，主要是导数在数学上的研究成果的应用．导数在现实生活中有着广泛的应用，在物理学中的力学、电学、运动、做功、受热膨胀等问题的解决都离不开导数．在日常生活中，利用导数处理最优化问题简单方便．导数是人们在解决现实生活问题中的伟大发明．
本章的学习重点是应用导数解决函数的单调性、极值、最值问题，同时利用导数的概念形成过程中的思想分析问题并建立导数模型．学习的难点是导数方法的应
§2　导数在实际问题中的应用
第2课时　最大值、最小值问题
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
蹦床(Trampoline)是一项运动员利用从蹦床反弹中表
现杂技技巧的竞技运动，它属于体操运动的一种．蹦床
有“空中芭蕾”之称．蹦床运动要求运动员在一张绷紧
的弹性网上蹦起、腾空并做空中运动．为了测量运动员
跃起的高度，训练时可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录弹性网所受的压力，并在计算机上作出压力－时间图像，根据图像可得到高度与时间的函数关系．设运动员在空中运动时可视为质点，那么如何来求运动员跃起的最大高度呢？
1．最大值点与最小值点
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_______________．
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_______________．
不超过f(x0)　
不低于f(x0)　
2．最大值与最小值
最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得．因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有_______________与_________的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值．
函数的最大值和最小值统称为_____．
极大(小)值点　
区间端点　
最值　
3．导数在实际问题中的应用
应用导数知识解决实际问题时，首先要明确题目的已知条件和所要求解的问题，然后根据题意建立适当的函数关系，将所求问题转化为求函数的限制条件下的最大(小)值问题．此过程用框图表示如下：
函数　
导数　
说明：(1)常将问题中能取得最大值或最小值的那个变量设为y，而将另一个与y有关的变量设为x，然后利用导数求出所列函数的极值点，再进一步分析可得出函数的最值．
(2)实际问题中，一般通过函数的单调性和问题的实际意义确定最值．
C
2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为(　　)
A．－37　
B．－29　　　
C．－5　
D．－11
[解析]　f′(x)＝6x2－12x，x∈[－2,2]，
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
可得f(x)在[－2,0]上为增函数，在(0,2]上为减函数，
∴f(x)在x＝0时取得极大值即为最大值．
∴f(x)max＝f(0)＝m＝3.
又f(－2)＝－37，f(2)＝－5，
∴f(x)的最小值为－37.
A　
[解析]　本题考查了导数的应用及求导运算，∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，x＝9，x∈(0,9)，y′>0，x∈(9，＋∞)，y′<0，y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．
C　
4．一张1.4
m高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8
m，要使观察者观察得最清晰，他与墙的距离应为(视角最大时最清晰，视角是指观察图片上底的视线与观察图片下底的视线所夹的角)_________.
2.4
m　
互动探究学案
(1)(2019·临沂高二检测)y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为(　　)
命题方向1　 求函数的最值
典例
1
C
『规律总结』　求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确定最值．
特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
〔跟踪练习1〕
(2019·青岛高二检测)已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．若f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．
[思路分析]　本题主要考查利用导数求函数最值的逆向运用和分类讨论的思想．
[解析]　显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
命题方向2　 含参数的函数最值问题
典例
2
『规律总结』　1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．
2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
[解析]　(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)．
由a>1知，当x<2时，f′(x)>0，
故f(x)在区间(－∞，2)是单调递增的；
当2(2,2a)是单调递减的；
当x>2a时，f′(x)>0，故f(x)在区间(2a，＋∞)是单调递增的．
综上，当a>1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函数，在区间(2,2a)是减函数．
设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求函数f(x)的最小值h(t)；
(2)在(1)的条件下，若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
[思路分析]　第(1)小题可通过配方法求f(x)的最小值；第(2)小题由h(t)<－2t＋m，得h(t)＋2t[解析]　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)的最小值为f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.
命题方向3　 函数最值的综合应用
典例
3
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1，
由g′(t)＝－3t3＋2＝0及t>0，得t＝1，
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
?
极大值
?
由上表可知当t＝1时，g(t)有极大值g(1)＝1，
又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一的极值点，
∴函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值g(t)max＝1.
h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立，
即g(t)当且仅当g(t)max＝11时上式成立，
∴实数m的取值范围是(1，＋∞)．
『规律总结』　将证明或求解不等式问题转化为研究一个函数的最值问题可以使问题解决变得容易．
一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x)]max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤[f(x)]min.
〔跟踪练习3〕
设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，
①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减，
又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值．
当1利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是：
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小、最大(小)者为最大(小)值．
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
[思路分析]　根据题意，月收入＝月产量×单价＝px，月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．
典例
4
『规律总结』　利润最大、效率最高等实际问题，关键是弄清问题的实际背景，将实际问题用函数关系表达，再求解．
〔跟踪练习4〕
有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40
km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50
km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
[思路分析]　设出CD的长为x，进而求出AC、BC，然后将总费用表示为变量x的函数，转化为求函数的最值问题．
[解析]　如图所示，依题意，点C在直线AD上，设C点距D点x
km.
因为BD＝40，AD＝50，所以AC＝50－x.
甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
含参数的函数求最值时，注意极值与参数取值的关系
典例
5
[点评]　若函数f(x)的解析式或定义域中含有参数，参数的取值可能引起函数最值的变化，这时要注意分类讨论．
〔跟踪练习5〕
某船由甲地逆水行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水的流速为常量a(km/h)，船在静水中的最大速度为b(km/h)(b>a)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比，比例系数为k，问：船在静水中的航行速度为多少时，其全程的燃料费用最省？
1．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x)(　　)
A．最大值为4，最小值为－4
B．最大值为4，无最小值
C．最小值为－4，无最大值
D．既无最大值，也无最小值
[解析]　f
′(x)＝－4x3＋4x，
由f
′(x)＝0得x＝±1或x＝0.
易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，故应选B.
B　
D
25