2019-2020学年北师大版数学选修2-2第三章导数应用本章总结课件:42张PPT

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第三章
导数应用
本章总结
1
知识网络
2
专题突破
知
识
网
络
专题突破
利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：
(1)求导数f′(x)；
(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．
特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．
已知a∈R，求函数f(x)＝x2eax的单调区间．(注y＝eax(a为常数)的导数y′＝aeax)
专题一　 利用导数研究函数的单调区间
典例
1
[解析]　函数f(x)的导数f′(x)＝2xeax＋ax2eax＝(2x＋ax2)eax.
(1)当a＝0时，若x<0，则f′(x)<0，若x>0，则f′(x)>0.
所以，当a＝0时，函数f(x)在区间(－∞，0)内为减函数，在区间(0，＋∞)内为增函数．
『规律总结』　1.含参函数的单调性要注意分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性．
2．已知函数的单调性求参数可以利用给定的已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决．
利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．
1．应用导数求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
专题二　 利用导数研究函数的极值和最值
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a、b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．
[思路分析]　(2)中，要使不等式f(x)<2|c|恒成立，关键是求出f(x)在闭区间[－2,6]上的最大值．
[解析]　(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，
∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．
典例
2
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
f′(x)＝3x2－6x－9，
当x变化时，有下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1,3)
3
(3,6)
6
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
c－2
?
极大值
c＋5
?
极小值
c－27
?
c＋54
∴x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54.
要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，
当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；
当c<0时，c＋54<－2c，
∴c<－18.
∴c∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)．
『规律总结』　不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题型，这种题型的解法有多种，其中最常用的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解．
若要证明不等式f(x)>g(x)，通常可构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)，只需证φ(x)>0，由此转化为求φ(x)的最小值问题，可借助于导数解决；若要证明不等式f(x)>a(a为常数)，通常证明f(x)为增函数，且f(x)min>0.
已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.
(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；
(2)证明：(x－1)f(x)≥0.
专题三　 利用导数证明不等式
典例
3
『规律总结』　函数在某个区间上的导数值大于(小于)0时，则该函数在该区间上单调递增(递减)．因而在证明不等式时，根据不等式的特点有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的，即把证明不等式转化为证明函数的单调性．高考中经常以解答题形式出现．
已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法，一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法，利用导数法更为简捷．利用导数法解决取值范围问题时可以有两
个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．
专题四　 利用导数求参数的取值范围
[思路分析]　应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值．
典例
4
『规律总结』　本题主要考查曲线的切线方程．利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，同时考查运算能力及分类讨论的思想方法．
从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数最值问题，再利用导数解决，从而进一步地解决实际问题是高考提出的能力要求．
专题五　 实际问题中的应用
典例
5
[思路分析]　本小题主要考查函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力．可根据题意得出f(x)的解析式，再利用导数解决．
『规律总结』　利用导数解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的关系式，特别需要注明变量的取值范围．
C
C
3．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是
(　　)
A．[3，＋∞)
B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)
[解析]　∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，
∴f
′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立，
又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3，
∴a≥－3，故应选B.
B　
B
6．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10
km时燃料费是每小时6元
，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为____km/h航行时，能使行驶每公里的费用总和最小．
20
三、解答题
7．(2017·全国Ⅰ理，21)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
[解析]　(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．
(ⅰ)若a≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减．
(ⅱ)若a>0，则由f′(x)＝0得x＝－ln
a.
当x∈(－∞，－ln
a)时，f′(x)<0；
当x∈(－ln
a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，－ln
a)单调递减，在(－ln
a，＋∞)单调递增．