北师大版九年级数学下册第三章 圆达标检测题（含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册第三章 圆达标检测题（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-30 15:21:14 | ||
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文档简介
北师大版九年级数学下册 第三章 达标检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列说法中，正确的是（ ）
A.两点确定一个圆
B．度数相等的弧相等
C．垂直于弦的直径平分弦
D．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等
2．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠COD的度数为（ ）
A.20° B．40° C．50° D．60°
3．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为( )
A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝（ ）
A.30° B．35° C．45° D．60°
5．已知⊙O的半径是5 cm，点O到直线l的距离OP＝3 cm，Q为l上一点，且PQ＝4.2 cm，则点Q（ ）
A.在⊙O内 B．在⊙O上
C．在⊙O外 D．不确定
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，AB＝8，则的长为（ ）
A.π B.π C．2π D.π
8．如图，AD是△ABC外接圆的直径．若∠B＝64°，则∠DAC等于（ ）
A.26° B．28° C．30° D．32°
9．(十堰中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（ ）
A.3 B．3 C．4 D．2
10．(雅安中考)如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且＝，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD＝BD；②∠MAN＝90°；③＝；④∠ACM＋∠ANM＝∠MOB；⑤AE＝MF.其中正确结论的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．若一个圆中最长的弦长为8 cm，则这个圆的半径为 .
12．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是 ．
13．在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是 .
14．在Rt△ABC中，⊙O是它的内切圆，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°，则⊙O的半径为 .
15．如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为 cm.
16．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是 .
17．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝100°，OA＝12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是 .
18．如图，已知⊙O的半径为9 cm，射线PM经过点O，OP＝15 cm，射线PN与⊙O相切于点Q，动点A自P点以 cm/s的速度沿射线PM方向运动，同时动点B也自P点以2 cm/s的速度沿射线PN方向运动，则它们从点P出发 后，AB所在直线与⊙O相切．
三、解答题(共66分)
19．(8分)已知等腰△ABC.
(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
(2)设△ABC的外接圆的圆心为点O.若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．
20.(10分)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
求证：（1）△ABC是等边三角形；
（2）．
21．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
22．(12分)已知，△ABC内接于⊙O，直线EF过点A.
(1)如图①，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是：① ；② ；③ ；
23．(12分)如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
24．(14分)如图①所示，已知AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于点E，⊙O的半径为，AD＝2.
(1)求BC的长；
(2)如图②所示，延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列说法中，正确的是（ C ）
A.两点确定一个圆
B．度数相等的弧相等
C．垂直于弦的直径平分弦
D．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等
2．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠COD的度数为（ B ）
A.20° B．40° C．50° D．60°
3．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为( D )
A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝（ A ）
A.30° B．35° C．45° D．60°
5．已知⊙O的半径是5 cm，点O到直线l的距离OP＝3 cm，Q为l上一点，且PQ＝4.2 cm，则点Q（ C ）
A.在⊙O内 B．在⊙O上
C．在⊙O外 D．不确定
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于( A )
A．40° B．50° C．60° D．70°
如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，AB＝8，则的长为（ D ）
A.π B.π C．2π D.π
8．如图，AD是△ABC外接圆的直径．若∠B＝64°，则∠DAC等于（ A ）
A.26° B．28° C．30° D．32°
9．(十堰中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（ D ）
A.3 B．3 C．4 D．2
10．(雅安中考)如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且＝，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD＝BD；②∠MAN＝90°；③＝；④∠ACM＋∠ANM＝∠MOB；⑤AE＝MF.其中正确结论的个数是( D )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．若一个圆中最长的弦长为8 cm，则这个圆的半径为 4 cm .
12．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是__2__．
13．在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是 120° .
14．在Rt△ABC中，⊙O是它的内切圆，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°，则⊙O的半径为 2 .
15．如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为 25 cm.
16．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是 75° .
17．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝100°，OA＝12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是 6π＋18 .
18．如图，已知⊙O的半径为9 cm，射线PM经过点O，OP＝15 cm，射线PN与⊙O相切于点Q，动点A自P点以 cm/s的速度沿射线PM方向运动，同时动点B也自P点以2 cm/s的速度沿射线PN方向运动，则它们从点P出发 1.5 s或10.5 s 后，AB所在直线与⊙O相切．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，已知等腰△ABC.
(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
(2)设△ABC的外接圆的圆心为点O.若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．
解：(1)如图所示．
(2)在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD.
∵∠BOC＝128°，∴∠BDC＝∠BOC＝64°.
∴∠BAC＝180°－∠BDC＝116°.
20.(10分)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
求证：（1）△ABC是等边三角形；
（2）．
【解答】证明：（1）连接OD，得OD∥AC；
∴∠BDO=∠A；
又OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB；
∴∠OBD=∠A；
∴BC=AC；
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）如上图，连接CD，则CD⊥AB；
∴D是AB中点；
∵AE=AD=AB，
∴EC=3AE；
∴AE=CE．
21．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴．
∴∠COB=∠DOB=∠COD．
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠CPD=∠COB．
（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．
理由如下：连接OD，
∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠COB=∠CPD，
∴∠CP′D+∠COB=180°．
22．(12分)已知，△ABC内接于⊙O，直线EF过点A.
(1)如图①，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是：① ∠ABC＝∠EAC；② ∠FAB＝∠C ；③ ∠BAE＝90° ；
(2)如图②，AB为非直径弦，且∠CAE＝∠B，求证：EF为⊙O的切线．
证明：连接AO并延长交圆上于点M，连接CM，
∵∠M＝∠B，∠CAE＝∠B，∴∠M＝∠CAE.
∵AM为直径，∴∠ACM＝90°，∴∠BAC＋∠BAM＋∠M＝90°，
∴∠BAC＋∠BAM＋∠CAE＝90°，∴OA⊥EF，∴EF为⊙O的切线．
23．(12分)如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B=60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°．
∴∠EDC=30°．
∴∠ODE=90°．
∴DE⊥OD于点D．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AD，BF，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AFB=∠ADB=90°．
∴AF⊥BF，AD⊥BD．
∵△ABC是等边三角形，
∴，．
∵∠EDC=30°，
∴．
∴FE=FC﹣EC=1．
24．(14分)如图①所示，已知AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于点E，⊙O的半径为，AD＝2.
(1)求BC的长；
(2)如图②所示，延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
题图 答图
解：(1)如图，过点D作DF⊥BC于点F，∵AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝2.∵DE与⊙O相切，
∴DE＝AD＝2，CE＝BC，
设BC＝x，则CF＝BC－BF＝x－2，
DC＝DE＋CE＝2＋x.
在Rt△DCF中，
由勾股定理得DC2＝CF2＋DF2，
∴(2＋x)2＝(x－2)2＋(2)2，
解得x＝，即BC＝.
(2)∵AB为⊙O的直径，∠DAB＝∠B＝90°，∴AD∥BC，
∴△ADE∽△GCE，∴AD∶CG＝DE∶CE，AE∶EG＝AD∶CG.
又易知AD＝DE＝2，∴CG＝CE＝BC＝，∴BG＝BC＋CG＝5，
∴AE∶EG＝4∶5，在Rt△ABG中，
由勾股定理得AG＝＝3，∴EG＝AG＝.
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列说法中，正确的是（ ）
A.两点确定一个圆
B．度数相等的弧相等
C．垂直于弦的直径平分弦
D．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等
2．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠COD的度数为（ ）
A.20° B．40° C．50° D．60°
3．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为( )
A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝（ ）
A.30° B．35° C．45° D．60°
5．已知⊙O的半径是5 cm，点O到直线l的距离OP＝3 cm，Q为l上一点，且PQ＝4.2 cm，则点Q（ ）
A.在⊙O内 B．在⊙O上
C．在⊙O外 D．不确定
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，AB＝8，则的长为（ ）
A.π B.π C．2π D.π
8．如图，AD是△ABC外接圆的直径．若∠B＝64°，则∠DAC等于（ ）
A.26° B．28° C．30° D．32°
9．(十堰中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（ ）
A.3 B．3 C．4 D．2
10．(雅安中考)如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且＝，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD＝BD；②∠MAN＝90°；③＝；④∠ACM＋∠ANM＝∠MOB；⑤AE＝MF.其中正确结论的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．若一个圆中最长的弦长为8 cm，则这个圆的半径为 .
12．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是 ．
13．在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是 .
14．在Rt△ABC中，⊙O是它的内切圆，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°，则⊙O的半径为 .
15．如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为 cm.
16．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是 .
17．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝100°，OA＝12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是 .
18．如图，已知⊙O的半径为9 cm，射线PM经过点O，OP＝15 cm，射线PN与⊙O相切于点Q，动点A自P点以 cm/s的速度沿射线PM方向运动，同时动点B也自P点以2 cm/s的速度沿射线PN方向运动，则它们从点P出发 后，AB所在直线与⊙O相切．
三、解答题(共66分)
19．(8分)已知等腰△ABC.
(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
(2)设△ABC的外接圆的圆心为点O.若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．
20.(10分)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
求证：（1）△ABC是等边三角形；
（2）．
21．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
22．(12分)已知，△ABC内接于⊙O，直线EF过点A.
(1)如图①，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是：① ；② ；③ ；
23．(12分)如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
24．(14分)如图①所示，已知AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于点E，⊙O的半径为，AD＝2.
(1)求BC的长；
(2)如图②所示，延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列说法中，正确的是（ C ）
A.两点确定一个圆
B．度数相等的弧相等
C．垂直于弦的直径平分弦
D．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等
2．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠COD的度数为（ B ）
A.20° B．40° C．50° D．60°
3．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为( D )
A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝（ A ）
A.30° B．35° C．45° D．60°
5．已知⊙O的半径是5 cm，点O到直线l的距离OP＝3 cm，Q为l上一点，且PQ＝4.2 cm，则点Q（ C ）
A.在⊙O内 B．在⊙O上
C．在⊙O外 D．不确定
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于( A )
A．40° B．50° C．60° D．70°
如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，AB＝8，则的长为（ D ）
A.π B.π C．2π D.π
8．如图，AD是△ABC外接圆的直径．若∠B＝64°，则∠DAC等于（ A ）
A.26° B．28° C．30° D．32°
9．(十堰中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（ D ）
A.3 B．3 C．4 D．2
10．(雅安中考)如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且＝，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD＝BD；②∠MAN＝90°；③＝；④∠ACM＋∠ANM＝∠MOB；⑤AE＝MF.其中正确结论的个数是( D )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．若一个圆中最长的弦长为8 cm，则这个圆的半径为 4 cm .
12．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是__2__．
13．在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是 120° .
14．在Rt△ABC中，⊙O是它的内切圆，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°，则⊙O的半径为 2 .
15．如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为 25 cm.
16．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是 75° .
17．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝100°，OA＝12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是 6π＋18 .
18．如图，已知⊙O的半径为9 cm，射线PM经过点O，OP＝15 cm，射线PN与⊙O相切于点Q，动点A自P点以 cm/s的速度沿射线PM方向运动，同时动点B也自P点以2 cm/s的速度沿射线PN方向运动，则它们从点P出发 1.5 s或10.5 s 后，AB所在直线与⊙O相切．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，已知等腰△ABC.
(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
(2)设△ABC的外接圆的圆心为点O.若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．
解：(1)如图所示．
(2)在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD.
∵∠BOC＝128°，∴∠BDC＝∠BOC＝64°.
∴∠BAC＝180°－∠BDC＝116°.
20.(10分)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
求证：（1）△ABC是等边三角形；
（2）．
【解答】证明：（1）连接OD，得OD∥AC；
∴∠BDO=∠A；
又OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB；
∴∠OBD=∠A；
∴BC=AC；
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）如上图，连接CD，则CD⊥AB；
∴D是AB中点；
∵AE=AD=AB，
∴EC=3AE；
∴AE=CE．
21．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴．
∴∠COB=∠DOB=∠COD．
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠CPD=∠COB．
（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．
理由如下：连接OD，
∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠COB=∠CPD，
∴∠CP′D+∠COB=180°．
22．(12分)已知，△ABC内接于⊙O，直线EF过点A.
(1)如图①，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是：① ∠ABC＝∠EAC；② ∠FAB＝∠C ；③ ∠BAE＝90° ；
(2)如图②，AB为非直径弦，且∠CAE＝∠B，求证：EF为⊙O的切线．
证明：连接AO并延长交圆上于点M，连接CM，
∵∠M＝∠B，∠CAE＝∠B，∴∠M＝∠CAE.
∵AM为直径，∴∠ACM＝90°，∴∠BAC＋∠BAM＋∠M＝90°，
∴∠BAC＋∠BAM＋∠CAE＝90°，∴OA⊥EF，∴EF为⊙O的切线．
23．(12分)如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B=60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°．
∴∠EDC=30°．
∴∠ODE=90°．
∴DE⊥OD于点D．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AD，BF，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AFB=∠ADB=90°．
∴AF⊥BF，AD⊥BD．
∵△ABC是等边三角形，
∴，．
∵∠EDC=30°，
∴．
∴FE=FC﹣EC=1．
24．(14分)如图①所示，已知AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于点E，⊙O的半径为，AD＝2.
(1)求BC的长；
(2)如图②所示，延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
题图 答图
解：(1)如图，过点D作DF⊥BC于点F，∵AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝2.∵DE与⊙O相切，
∴DE＝AD＝2，CE＝BC，
设BC＝x，则CF＝BC－BF＝x－2，
DC＝DE＋CE＝2＋x.
在Rt△DCF中，
由勾股定理得DC2＝CF2＋DF2，
∴(2＋x)2＝(x－2)2＋(2)2，
解得x＝，即BC＝.
(2)∵AB为⊙O的直径，∠DAB＝∠B＝90°，∴AD∥BC，
∴△ADE∽△GCE，∴AD∶CG＝DE∶CE，AE∶EG＝AD∶CG.
又易知AD＝DE＝2，∴CG＝CE＝BC＝，∴BG＝BC＋CG＝5，
∴AE∶EG＝4∶5，在Rt△ABG中，
由勾股定理得AG＝＝3，∴EG＝AG＝.