1.1 正弦定理（1）学生版（学案）
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正弦定理（1） 教材整理1 正弦定理 三角形的各边和它所对角的正弦之比相等． 即＝＝. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理适用于所有三角形．( ) (2)在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．( ) (3)＝＝＝2R，其中R为△ABC的外接圆的半径．( ) 教材整理2 解斜三角形 1．解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的________个元素(至少有一个是________)，求其余未知元素的过程． 2．利用正弦定理可以解决的两类解斜三角形的问题 (1)已知________，求其他两边和一角； (2)已知________与其中一边的________，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)． 1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝________. 2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝________. 已知两角及任一边解三角形
在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，求a，b，C. 已知两角与一边求解三角形问题的基本解法 1．若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边． 2．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． [再练一题] 1．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，求AB，AC的值． 已知两边与其中一边的对角，解三角形
在△ABC中，分别根据下列条件解三角形． (1)a＝1，b＝，A＝30°； (2)a＝，b＝1，B＝120°. 利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍． [再练一题] 2．在△ABC中，c＝，C＝，a＝2，求A，B，b. 判断三角形解的情况
探究1 在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B吗？反之呢？ 探究2 在△ABC中，若A<90°，则a，b满足什么条件时，此△ABC有且只有一解？ 探究3 探究2中的△ABC会有两解吗？ 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°； (4)a＝1，b＝2，A＝30°. 三角形解的各种情况汇总 已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况如下： A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a＝bsin A且aba≤b解的个数一解两解无解一解无解
[再练一题] 3．根据下列条件判断△ABC解的情况． (1)已知b＝4，c＝8，B＝30°； (2)已知b＝6，c＝9，B＝45°； (3)已知B＝30°，b＝，c＝2. 课堂达标检测： 1．在△ABC中，下列等式中总能成立的是________(填序号)． ①asin A＝bsin B；②bsin C＝csin A； ③absin C＝bcsin B；④asin C＝csin A. 2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，则△ABC外接圆的半径是________. 3．在△ABC中，A＝30°，B＝120°，b＝12，则a＋c＝________. 4．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________. 5．在△ABC中， (1)已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B； (2)已知a＝，b＝，B＝45°，求A，C和c. 一、填空题 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是________． 2．在△ABC中，若A＝75°，B＝60°，c＝2，则b＝________. 3．在△ABC中，若＝，则C的值为________． 4．在△ABC中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝________. 5．在△ABC中，已知a＝4，b＝4，A＝60°，则c＝________. 6．在△ABC中，已知a＝18，b＝16，A＝150°，则满足条件的三角形有________个． 7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的长为________． 8．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝________. 二、解答题 9．在△ABC中，若a＝2，A＝30°，讨论当b为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？ 10．在△ABC中，b＝2a，B＝A＋60°，求角A. [能力提升] 1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于________． 2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________. 3．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是___________. 4．在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状．
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在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，求a，b，C. 已知两角与一边求解三角形问题的基本解法 1．若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边． 2．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． [再练一题] 1．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，求AB，AC的值． 已知两边与其中一边的对角，解三角形
在△ABC中，分别根据下列条件解三角形． (1)a＝1，b＝，A＝30°； (2)a＝，b＝1，B＝120°. 利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍． [再练一题] 2．在△ABC中，c＝，C＝，a＝2，求A，B，b. 判断三角形解的情况
探究1 在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B吗？反之呢？ 探究2 在△ABC中，若A<90°，则a，b满足什么条件时，此△ABC有且只有一解？ 探究3 探究2中的△ABC会有两解吗？ 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°； (4)a＝1，b＝2，A＝30°. 三角形解的各种情况汇总 已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况如下： A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a＝bsin A且a
[再练一题] 3．根据下列条件判断△ABC解的情况． (1)已知b＝4，c＝8，B＝30°； (2)已知b＝6，c＝9，B＝45°； (3)已知B＝30°，b＝，c＝2. 课堂达标检测： 1．在△ABC中，下列等式中总能成立的是________(填序号)． ①asin A＝bsin B；②bsin C＝csin A； ③absin C＝bcsin B；④asin C＝csin A. 2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，则△ABC外接圆的半径是________. 3．在△ABC中，A＝30°，B＝120°，b＝12，则a＋c＝________. 4．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________. 5．在△ABC中， (1)已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B； (2)已知a＝，b＝，B＝45°，求A，C和c. 一、填空题 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是________． 2．在△ABC中，若A＝75°，B＝60°，c＝2，则b＝________. 3．在△ABC中，若＝，则C的值为________． 4．在△ABC中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝________. 5．在△ABC中，已知a＝4，b＝4，A＝60°，则c＝________. 6．在△ABC中，已知a＝18，b＝16，A＝150°，则满足条件的三角形有________个． 7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的长为________． 8．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝________. 二、解答题 9．在△ABC中，若a＝2，A＝30°，讨论当b为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？ 10．在△ABC中，b＝2a，B＝A＋60°，求角A. [能力提升] 1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于________． 2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________. 3．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是___________. 4．在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状．
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