3.1.5空间向量运算的坐标表示 课件(共31张PPT)

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我们已经学过空间向量的这些运算：
向量相加： c=a+b



向量相减： c=a-b



向量的数乘： c=λa


向量的数量积：c=a?b



向量的模： |a|

向量的夹角： cos


c和a,b的坐标
有什么关系？



我们知道空间向量的这些关系：
向量平行： a//b


向量垂直： a⊥b


a,b的坐标
有什么关系？


这节课我们将学习空间向量运算的坐标表示，可以解答上述问题.
3.1.5空间向量运算的坐标表示
教学目标


知识目标
1. 掌握空间向量的坐标运算的规律；
2. 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直;
3. 掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点距离公式.
能力目标
能应用所学的规律和公式解决简单立体几何问题.
情感目标
承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.
教学重难点


重点
难点
根据向量坐标，判断两个向量共线或垂直.
（1）掌握空间向量的坐标运算的规律;
（2）根据向量坐标，判断两个向量共线或垂直.
由平面向量的坐标运算，推广到空间向量运算.
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空间则用有序实数组{x,y,z}表示.

平面向量的坐标表示
空间向量的坐标表示

a-b=(a1-b1,a2-b2)
设a=(a1,a2),b=(b1,b2)
则a+b=(a1+b1,a2+b2)
λa=(λa1,λa2)







设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
λa=(λa1,λa2,λa3)







空间向量的数量积运算
证明：
a?b=a1b1+a2b2+a3b3.


设i,j,k为单位正交基底，



则a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k.








则所以a?b=(a1i+a2j+a3k)?(b1i+b2j+b3k).








利用向量数量积的分配律以及i?i=j?j=k?k，i?j=j?k=i?k=0，












即可得出 a?b=a1b1+a2b2+a3b3.








两个向量平行的判定

a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)

证明：
a//b

a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)


a//b

a=λb
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则






两个平面向量平行与两个平面向量平行的条件本质上是一致的，即对应坐标成比例，且比例值为λ.
注意
两个向量垂直的判定
a1b1+a2b2+a3b3=0

证明：
a⊥b
a1b1+a2b2+a3b3=0



设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则


a⊥b
a?b=0





空间向量长度
证明：



根据数量积的定义a?b=|a|?|b|cos，可知当a=b时，cos=1，公式可化为a?a=|a|?|a|.所以，

















空间向量长度的几何意义表示长方体对角线的长度.





x
z
a
O









y

两个向量夹角表示
根据数量积的定义a?b=|a|?|b|cos，可知












又有a?b=a1b1+a2b2+a3b3.






注意














































cos的范围[0?,180?]，
当夹角为0?或180?时，两向量平行；
当夹角为90?时，两向量垂直；


空间两点距离
在空间直角坐标系中，已知A(a1,b1,c1)，B(a2,b2,c2)
则AB=(a2-a1,b2-b1,c2-c1)，则A、B两点间的距离：




x
y
z
O



A(a1,b1,c1)
B(a2,b2,c2)
y

注意
两点间的距离公式是长度公式的推广，首先根据向量的减法推出向量AB的坐标表示，然后再根据长度公式推出.

如图长方体ABCD-A'B'C'D',底面边长均为1，棱AA'=2，M、N分别是A'C',AA'的中点，?
（1）求CN的长;
（2）求cos的值;?
（3）求证:A'C⊥D'M?.





















A

D'

C'

B'

A'

C

D

B

N

M

例题


















A

D'
C'

B'
A'
C

D

B

N

M




x

y

z

解：（1）如图建立空间直角坐标系，则C(0,1,0),N(1,0,1)
（2）A(1,0,2),C(0,1,2),D(0,0,0)
∴CA'=(1,-1,2)，DC'=(0,1,2)，








（3）
∴A'C⊥D'M?
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
　　 ，求BE1与DE1所成角的余弦值.　















A

D1
C1
B'
A1
C

D

B

E1



x

y

z

F1
例题















A

D1
C1
B'
A1
C

D

B

E1



x

y

z

F1
解答：









课堂小结


设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
λa=(λa1,λa2,λa3)
a//b

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a1b1+a2b2+a3b3=0






















课堂练习





1. 已知 ABCD,顶点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).则顶点D的坐标为 .



2. 在Rt ABC中,∠BAC=90°,A(2,1,1),B(1,1,2),
C(x,0,1),则x= .


(1,-1,2)
2
3. 点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)，则 ABC的形状是( ).

A.?等腰三角形??????B.?等边三角形???????
C.?直角三角形????? D.?等腰直角三角形?
C
4.正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，点M分AC'的比为1/2，N为BB'的中点，则|MN|为( ).

A
5.已知两点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2)，点Q在OP上运动，求当OA?OB取得最小值时，点Q的坐标.
解答：
设OQ=λOP=(λ,λ,2λ),
∴OA?OB=6λ2-16λ+10,
∴λ= 时，QA?QB取得最小值 .
此时，








6.已知a(2,3,1),b(5,6,4),求以a，b为边的平行四边形的面积.




a?b=2×5+3×6+1×4=32


解答：