人教A版 必修5 高中数学 2.5等比数列前n项和 上课课件(共41张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版 必修5 高中数学 2.5等比数列前n项和 上课课件(共41张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 595.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-01 13:12:32 | ||
图片预览
文档简介
(共41张PPT)
回顾旧知
1.等比数列{an}的通项公式：
注意：当q=1时，等比数列{an}为常数列.
2.求等比数列通项公式的方法：观察归纳法、迭加和迭乘法、构造法、公式法 .
3.回想一下解等比数列题的一些技巧与方法.
国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗？
新课导入
设问：同学们，你们知道他要的是多少小麦吗？
1+2+4+8+…+263= 18446744073709551615（粒）
已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克≈7378.7亿吨.
经过计算，我们得到麦粒总数是
那么这是怎么计算的呢？其实是一个比较大小的问题，则实质上是求等比数列前n项和的问题.
2.5等比数列前n项和
教学目标
知识与能力
（1）掌握等比数列前n项和公式.
（2）掌握等比数列前n项和公式的推导过程.
（3）会简单运用等比数列的前n项和公式.
过程与方法
（1）通过对等比数列前n项和公式的推导过程,渗透错位相减求和的数学方法.
（2）通过公式的运用体会方程的思想.
（3）培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力.
情感态度与价值观
（1）学习兴趣比较浓,表现欲较强,但合作交流的意识等方面尚有待加强.
（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验.
（3）感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美.
教学重难点
重点：
等比数列前n项和的公式，有关等比数列问题求解的基本方法.
难点：
获得递推公式的思路，等比数列前n项和公式的其他形式.
探讨问题
发明者要求的麦粒总数是：
S64=1+2+22+23+…+263 ①
上式有何特点？
如果①式两端同时乘以2得:
2S64=2+22+23+…+263+264 ②
比较①、②两式，有什么关系呢？
S64=1+2+22+23+…+263 ①
2S64= 2+22+23+…+263+264 ②
两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则②－①得：
S64=264-1= 18446744073709551615
设问： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2呢？
等比数列前n项和公式及推导
在等比数列{an}中首先要考虑两种情况：
当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an =？
我们视目以待，看接下来的解答:
当q=1时 ，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an
=a1+a1+a1+……+a1+a1
=na1
共n个a1
设等比数列
，首项为
,公比为
如何求前n项和
？
S1=a1
S2=a1 +a2 =a1+a1q
=a1(1+q)
S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2
=a1(1+q+q2)
S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3
=a1(1+q+q2+q3)
分析：
Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 ①
qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ②
① -②得： Sn (1—q)=a1—a1qn
这就是乘公比错位相减法求和
当q≠1时，
则等比数列{an}前n项和公式为
Sn=
na1 q=1
q≠1
注意点
1.注意q=1与q≠1两种情况.
2.q≠1时，
通过上面的讲解，对于等差数列的相关量a1、d、n、an、sn，一般确定几个量就可以确定其他量？
a1、an、n
an、sn
a1、d、an
a1、d、n
a1、an、sn
an、d、n
an、sn、n
n、sn
d、sn
d、n
a1、sn
a1、d
例1
等比数列{an}的公比q = ，a8=1，求它的前8项和S8.
解法1：因为a8=a1q7，所以
因此
这是公式法求和
解法2：把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项，
即顺序颠倒，也得到一个等比数列{bn}，
其中b1=a8=1，q=2，所以前8项和
求和
个
分析：数列9，99，999，……，不是等比数列，不能直接用公式求和，
但将它转化为
10－1，100－1，1000－1，……，
就可以解决了。
例2
原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+…+(10n－1)
=(10+100+1000+……+10n)－n
解：
例3
已知数列
的前五项是
（1）写出该数列的一个通项公式；
（2）求该数列的前n项和
分析：此数列的特征是
两部分构成，其中
是整数部分，又是等差数列，
又是等比数列.
是分数部分，
和等比数列，所以此方法称为“分组法求和”
所以此数列可以转化为等差数列
解：（1）
，
（2）
这是分组法求和
某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p(p>0)，求这个工厂去年全年产值的总和。
解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元，
3月，4月，……，的产值分别为a(1+p)2元，a(1+p)3元，……，
所以12个月的产值组成一个等比数列，首项为a，公比为1+p，
例4
答：该工厂去年全年的总产值为
元。
求和： .
例5
为等比数列，公比为 ，利用错位相减法求和.
设 ，其中 为等差数列，
分析：
这是错位相减法求和
解： ，
两端同乘以 ，得
两式相减得
于是 .
注意：当等比数列的通项公式中有参数，求前n项和时要注意公比是否为1．
例6
设数列
求这个数列的前n项和
解:
（与n无关的常数）
所以该数列是等比数列，首项为1，
，该数列的公比为1，
，该数列的公比不为1，
求和： .
为等比数列，公比为 ，利用错位相减法求和.
设 ，其中 为等差数列，
例7
解： ，
两端同乘以 ，得
两式相减得
于是 .
例8
如图，为了估计函数y=9-x2 在第一象限的图象与x轴、y轴围城的区域的面积X，把x轴上的区间[0，3]分成n等份，从各分点作y轴的平行线与函数图像相交，再从各点向左作x轴的平行线，构成（n-1）个矩形的面积的和S.
阅读程序，回答下列问题：
（1）程序中的AN、SUM分别表示什么，为什么？
（2）请根据程序分别计算当n=6，11，16时，各个矩形的面积的和（不必在计算机上运行程序）。
SUM=0
K=1
INPUT“请输入将[0,3]分成的份数n:”；N
WHILE K<=N-1
AN=(9-(k*3／N)^2)*3 ／N
SUM=SUM+AN
PRINT k,AN,SUM
K=k+1
WEND
END
程序
解：
（1）当把x轴上的区间[0,3]分成n等份时，各等
份的长都是 ，即各矩形的底都是 .显然分点的
横坐标分别是 ，从各分点作y轴的平
行线与y=9-x2的图象相交，交点的纵坐标分别
是 ，它们分别是相应矩形的
高.这样，各矩形的面积分别是
所以，程序中的AN表示第k个
矩形的面积，SUM表示前k个矩形面积的和.
（2）根据程序，当n=6时，5个矩形的面积的和就是输入N=6时，SUM的最后一个输出值，即SUM=15.736（这里精确到小数点后3位）.
当n=11时，10个矩形的面积的和就是输入N=11时，SUM的最后一个输出值，即SUM=16.736.
当n=16时，我们得到15个矩形的面积的和SUM=17.139.
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？
解：这句古语用现代文叙述是：
一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.
如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为a1= ，公比q= 的等比数列，
思考与余味
它的前n项和为
这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.
不论n取何值，
总小于1，
课堂小结
本节课主要讲述了等比数列的前n项和公式：
以及他们的推导过程，在具体使用时,不一定完全套用公式,要灵活变通.
Sn=
na1 q=1
q≠1
1.推导等差数列前 n项和公式的方法.
2.公式的应用中的数学思想.
-------错位相加法
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知
其中三个量，可以求其余两个.
-------知三求二
随堂练习
1.求等比数列
的前8项的和
解:
2.某商场第1年销售计算机５０００台，如果平均每年的销售量比上一年增
加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到３００００台
（保留到个位）？
分析：由题意可知，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，
每年的销售量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.
解：设每年的产量组成一个等比数列
其中a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000
∴
整理可得：1.1n=1.6两边取对数得
即：
答：约5年内可以使总销售量达到30000台.
3.已知数列
是等差数列，且
（1）求数列
的通项公式；
，求数列
的前n项和
（2）令
解：（1）设数列
的公差是d,则
又
得d=2，所以
（2）令
①
①-②得
则由 得
②
所以
回顾旧知
1.等比数列{an}的通项公式：
注意：当q=1时，等比数列{an}为常数列.
2.求等比数列通项公式的方法：观察归纳法、迭加和迭乘法、构造法、公式法 .
3.回想一下解等比数列题的一些技巧与方法.
国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗？
新课导入
设问：同学们，你们知道他要的是多少小麦吗？
1+2+4+8+…+263= 18446744073709551615（粒）
已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克≈7378.7亿吨.
经过计算，我们得到麦粒总数是
那么这是怎么计算的呢？其实是一个比较大小的问题，则实质上是求等比数列前n项和的问题.
2.5等比数列前n项和
教学目标
知识与能力
（1）掌握等比数列前n项和公式.
（2）掌握等比数列前n项和公式的推导过程.
（3）会简单运用等比数列的前n项和公式.
过程与方法
（1）通过对等比数列前n项和公式的推导过程,渗透错位相减求和的数学方法.
（2）通过公式的运用体会方程的思想.
（3）培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力.
情感态度与价值观
（1）学习兴趣比较浓,表现欲较强,但合作交流的意识等方面尚有待加强.
（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验.
（3）感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美.
教学重难点
重点：
等比数列前n项和的公式，有关等比数列问题求解的基本方法.
难点：
获得递推公式的思路，等比数列前n项和公式的其他形式.
探讨问题
发明者要求的麦粒总数是：
S64=1+2+22+23+…+263 ①
上式有何特点？
如果①式两端同时乘以2得:
2S64=2+22+23+…+263+264 ②
比较①、②两式，有什么关系呢？
S64=1+2+22+23+…+263 ①
2S64= 2+22+23+…+263+264 ②
两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则②－①得：
S64=264-1= 18446744073709551615
设问： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2呢？
等比数列前n项和公式及推导
在等比数列{an}中首先要考虑两种情况：
当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an =？
我们视目以待，看接下来的解答:
当q=1时 ，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an
=a1+a1+a1+……+a1+a1
=na1
共n个a1
设等比数列
，首项为
,公比为
如何求前n项和
？
S1=a1
S2=a1 +a2 =a1+a1q
=a1(1+q)
S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2
=a1(1+q+q2)
S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3
=a1(1+q+q2+q3)
分析：
Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 ①
qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ②
① -②得： Sn (1—q)=a1—a1qn
这就是乘公比错位相减法求和
当q≠1时，
则等比数列{an}前n项和公式为
Sn=
na1 q=1
q≠1
注意点
1.注意q=1与q≠1两种情况.
2.q≠1时，
通过上面的讲解，对于等差数列的相关量a1、d、n、an、sn，一般确定几个量就可以确定其他量？
a1、an、n
an、sn
a1、d、an
a1、d、n
a1、an、sn
an、d、n
an、sn、n
n、sn
d、sn
d、n
a1、sn
a1、d
例1
等比数列{an}的公比q = ，a8=1，求它的前8项和S8.
解法1：因为a8=a1q7，所以
因此
这是公式法求和
解法2：把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项，
即顺序颠倒，也得到一个等比数列{bn}，
其中b1=a8=1，q=2，所以前8项和
求和
个
分析：数列9，99，999，……，不是等比数列，不能直接用公式求和，
但将它转化为
10－1，100－1，1000－1，……，
就可以解决了。
例2
原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+…+(10n－1)
=(10+100+1000+……+10n)－n
解：
例3
已知数列
的前五项是
（1）写出该数列的一个通项公式；
（2）求该数列的前n项和
分析：此数列的特征是
两部分构成，其中
是整数部分，又是等差数列，
又是等比数列.
是分数部分，
和等比数列，所以此方法称为“分组法求和”
所以此数列可以转化为等差数列
解：（1）
，
（2）
这是分组法求和
某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p(p>0)，求这个工厂去年全年产值的总和。
解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元，
3月，4月，……，的产值分别为a(1+p)2元，a(1+p)3元，……，
所以12个月的产值组成一个等比数列，首项为a，公比为1+p，
例4
答：该工厂去年全年的总产值为
元。
求和： .
例5
为等比数列，公比为 ，利用错位相减法求和.
设 ，其中 为等差数列，
分析：
这是错位相减法求和
解： ，
两端同乘以 ，得
两式相减得
于是 .
注意：当等比数列的通项公式中有参数，求前n项和时要注意公比是否为1．
例6
设数列
求这个数列的前n项和
解:
（与n无关的常数）
所以该数列是等比数列，首项为1，
，该数列的公比为1，
，该数列的公比不为1，
求和： .
为等比数列，公比为 ，利用错位相减法求和.
设 ，其中 为等差数列，
例7
解： ，
两端同乘以 ，得
两式相减得
于是 .
例8
如图，为了估计函数y=9-x2 在第一象限的图象与x轴、y轴围城的区域的面积X，把x轴上的区间[0，3]分成n等份，从各分点作y轴的平行线与函数图像相交，再从各点向左作x轴的平行线，构成（n-1）个矩形的面积的和S.
阅读程序，回答下列问题：
（1）程序中的AN、SUM分别表示什么，为什么？
（2）请根据程序分别计算当n=6，11，16时，各个矩形的面积的和（不必在计算机上运行程序）。
SUM=0
K=1
INPUT“请输入将[0,3]分成的份数n:”；N
WHILE K<=N-1
AN=(9-(k*3／N)^2)*3 ／N
SUM=SUM+AN
PRINT k,AN,SUM
K=k+1
WEND
END
程序
解：
（1）当把x轴上的区间[0,3]分成n等份时，各等
份的长都是 ，即各矩形的底都是 .显然分点的
横坐标分别是 ，从各分点作y轴的平
行线与y=9-x2的图象相交，交点的纵坐标分别
是 ，它们分别是相应矩形的
高.这样，各矩形的面积分别是
所以，程序中的AN表示第k个
矩形的面积，SUM表示前k个矩形面积的和.
（2）根据程序，当n=6时，5个矩形的面积的和就是输入N=6时，SUM的最后一个输出值，即SUM=15.736（这里精确到小数点后3位）.
当n=11时，10个矩形的面积的和就是输入N=11时，SUM的最后一个输出值，即SUM=16.736.
当n=16时，我们得到15个矩形的面积的和SUM=17.139.
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？
解：这句古语用现代文叙述是：
一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.
如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为a1= ，公比q= 的等比数列，
思考与余味
它的前n项和为
这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.
不论n取何值，
总小于1，
课堂小结
本节课主要讲述了等比数列的前n项和公式：
以及他们的推导过程，在具体使用时,不一定完全套用公式,要灵活变通.
Sn=
na1 q=1
q≠1
1.推导等差数列前 n项和公式的方法.
2.公式的应用中的数学思想.
-------错位相加法
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知
其中三个量，可以求其余两个.
-------知三求二
随堂练习
1.求等比数列
的前8项的和
解:
2.某商场第1年销售计算机５０００台，如果平均每年的销售量比上一年增
加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到３００００台
（保留到个位）？
分析：由题意可知，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，
每年的销售量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.
解：设每年的产量组成一个等比数列
其中a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000
∴
整理可得：1.1n=1.6两边取对数得
即：
答：约5年内可以使总销售量达到30000台.
3.已知数列
是等差数列，且
（1）求数列
的通项公式；
，求数列
的前n项和
（2）令
解：（1）设数列
的公差是d,则
又
得d=2，所以
（2）令
①
①-②得
则由 得
②
所以