(共32张PPT)
相等向量与相反向量
单位向量与零向量
向 量
向量的大小
(长度、模)
向量的方向
有向线段
平行向量(共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量；
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
知识回顾
大三通之前，由于大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？
新课导入
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
知识与能力
理解向量的和，掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,向量加法的运算律
过程与方法
情感态度与价值观
提高学生观察、归纳、迁移能力和动手能；培养学生的转化思想
注重培养学生积极思考、勇于探索的科学精神以及总结规律、尊重规律的观念
教学目标
重点：
难点：
向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法的运算律
对向量和的理解
教学重难点
E
O
O
E
例如:橡皮条在力 与 的作用下,从E点伸长到了O点.
同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点。
问:合力 与力 、 有怎样的关系？
E
O
O
E
是以 与 为邻边所形成的平行四边形的对角线.
力 对橡皮条产生的效果，与力 和 共同作用产生的效果相同，物理学中把力 叫做 和 的合力。
例如:某人从A点向东走到B。
日常生活中会遇到许多向量加法问题:
然后从B点向北走到C。
思考:这个人所走过的位移是多少?
A
B
C
分析 :由物理知识可以知道:
从A点到B点然后到C点的
合位移,就是从A点到C点
的位移。
AB
BC
AC
=
+
向量加法的定义:
我们把求两个向量 的和的运算,叫做向量的加法, 叫做
的和向量。
作法（1）在平面内任取一点Ｏ
o·
A
B
位移的合成可以看作向量加法
三角形法则的物理模型。
还有没有其他的做法？
1、向量加法的三角形法则
2、向量加法的平行四边形法则
o·
A
B
C
力的合成可以看作向量加法的
平行四边形法则的物理模型。
作法:（1）在平面内任取一点Ｏ
向量加法的三角形法则:
1.将向量平移使得它们首尾相连
2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾
向量加法的平行四边形法则:
1.将向量平移到同一起点
2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线
a
b
a
b
a + b
b
a
a + b
问题：除了零向量，有没有不能用平行四边形法则求和向量的情况？
向量加法的三角形法则可推广到多个向量相加，如： 这时也必须“首尾相连”.可结合物理模型“位移的合成”理解.
特例：共线向量
思考？？？
(1)向同
(2)反向
请选用合适符号连接：
探究
(1)向量加法交换律：
a
b
A
C
D
a + b
a
b
B
向量加法满足交换律和结合律
a
b
c
a
b
c
A
B
C
D
A
B
C
D
a + b
(a + b) + c
a + (b + c)
b + c
(2)向量加法结合律：
以上两个运算律可以推广到任意多个向量。
例2:化简
D
C
B
A
例3:长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小和方向.
D
5
C
解：
如图，设 表示水流的速度， 表示渡船的速度，
表示渡船实际过江的速度.(由平行四边形法则可以得到)
若水流速度和船速的大小保持不变,最后要能使渡船垂直过江,则船的航向应该如何?在白纸上作图探究。
D
5
C
探索
1、一个概念: 向量的和;
2、两个法则: 向量加法的三角形法则和平行四
边形法则;
3、两条运算律: 向量加法的交换律
结合律
+
+
=
+
+
( )
=
+
+
( )
知识方面：
+
+
=
=
课堂小结
数学思想方法方面：
1、具体与抽象的数学思维方法;
2、类比的思想方法。
针对练习
1、若向量a=（1，1）,b=(-1,1),c=( )
3a+b B.3a-b
C.-a+3b D.a+3b
B
解析：
本题考查向量的线性运算、逐个验证，3a+b=(2,4),3a-b=(4,2),a+3b=(-2,4)故选B
2 、若
则 （ ）
A.(1,1) B.(-1,-1)
C.(3,7) D.(-2,-4)
B
解析：
故选B
1.如图：已知向量 ， ，求作:
（1）
（4）
（3）
（2）
要求：利用向量加法的三角形法则作出两向量的和.
课堂练习
2.如图：已知向量 ， ，求作:
（1）
（2）
要求：利用向量加法的平行四边形法则作出两向量的和.
3.如图：已知平行四边形ABCD,填空
D
C
B
A
+
(1)
=
+
(2)
=
+
+
+
( )
( )
+
(4)
(5)
=
=
+
=
(3)
向南偏西60°走20km
解：
∵
∴
当 的方向相同时， 取得最大值，最大值为8。
(共32张PPT)
B
A
C
问题？？
向量 如图，当两个向量相加时，能轻易的在图中表示出来，但是当两个向量想减时，在现有的知识的基础上，能表示出来吗？
它是否是 呢？
新课导入
There is no elevator to success—only stairs.
成功没有电梯，只有一步一个脚印的楼梯。
2.2.2向量减法运算及其几何意义
了解相反向量的概念；会作两个向量的减向量，并理解其几何意义
教学目标
过程与方法
情感态度与价值观
提高学生观察、归纳、迁移能力和动手能；培养学生的转化思想
注重培养学生积极思考、勇于探索的科学精神以及总结规律、尊重规律的观念
知识与能力
重点：
向量的减法运算及其几何意义
难点：
向量减法的理解
教学重难点
复习向量加法运算及其几何意义
温故知新
1、向量加法的三角形法则
b
a
O
B
b
a
A
a+b
b
a
A
B
b
a
D
a
C
b
a+b
2、向量加法的平行四边形法则
注意起点相同.共线向量不适用
相反向量定义：
与 长度相同、方向相反的向量记作
A
C
如图：
规定：零向量的相反向量仍是零向量
任一向量与它的相反向量的和是零向量
如果 互为相反向量，则
向量的减法定义：
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.据此原理，向量 可以怎样理解？
A
B
C
D
E
即
O
B
A
起点相同
指向被减向量
向量的减法几何意义：
?特殊情况
1.共线同向
2.共线反向
B
A
C
A
B
C
a
b
c
d
a
b
c
d
O
A
B
C
D
作法：
在平面内任取一点O，作
●
例2：选择题
D
C
由向量的减法知
例3:如图，平行四边形ABCD，AB=a，AD=b，用a、b表示向量AC、DB。
由向量加法的平行四边形法则，我们得到
解：
AC=a+b
DB=a-b
A
D
B
C
证明：
1、理解相反向量的概念
2、 理解向量减法的定义
3、 正确理解掌握根据定义作向量减法，如（3）
4、 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则，如（4）
课堂小结
C
D
O
A
B
a
b
.
注意：
1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同;
2、差向量的终点指向被减向量的终点。
(4)向量减法的三角形法则
针对练习
1、已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量
（ ）
A.(-2,-1) B.(-2,1)
C.(-1,0) D.(-1,2)
D
解析：
2、若O、E、F是不共面的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
D.
A.
B.
C.
B
解析：
本题考察了向量的减法法则。由向量的减法知
练习1
课堂练习
练习2
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
作图：
练习3
120o
A
D
B
练习4
120o
A
D
B
C
O`
120o
A
D
B
C
O`
(共39张PPT)
如何求作两个非零向量的和向量、差向量？
新课导入
问题提出
相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究。
２.２.３向量数乘运算及其几何意义
O
A
B
C
P
Q
M
N
掌握实数与向量的积的定义及其几何意义；理解实数与向量的积的运算律，并能运用运算律进行化简；理解向量共线的条件，并能判断三点共线。
教学目标
过程与方法
培养学生的转化思想。
知识与能力
情感态度与价值观
注重培养学生积极思考、勇于探索的科学精神以及总结规律、尊重规律的观念。
教学重点：
教学难点：
向量共线的条件。
向量数乘运算的意义及运算律，向量共线的条件。
教学重难点
思考：已知非零向量 ，作出 和 ，你能说明它们的几何意义吗？
O
A
B
C
P
Q
M
N
实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。
向量的数乘的定义：
记作：
当 时， 的方向与 的方向相反；
特别地，当 时，
（2）当 时， 的方向与 的方向相同；
它的长度和方向规定如下：
数乘向量的运算律：
结合律
第一分配律
第二分配律
一般地:
=
一般地：
一般地:
特别地，我们有
例1．计算：
（1）
（2）
（3）
解：
向量 与非零向量 共线的充分必要条件是有且仅有一个实数 ，使 ．
定理
综上，如果 与 共线，那么有且只有一个实数 使
证明：（1）对于向量 ，如果有一个实数 使 那么，由向量数乘的定义知， 与 共线.
（2）已知 与 共线， ，且向量 的长度是向量 的 倍，即 ，那么当 同向时，有 ；当 反向时，有
例2：如图：已知 ， ，试判断
与 是否共线．
A
B
D
E
C
∴ 与 共线．
解：
例3：如图，已知任意两个向量 ，试作
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
A
B
C
O
例４：如图， 的两条对角线相交于点M，且 ，你能用 、 来表示 .
A
B
D
C
M
B
A
D
M
C
B
A
D
M
C
1、实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.
2、若 ，则可能有λ=0，也可能有
.
课堂小结
3、向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论。向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据。
针对练习
1对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是（ ）
A.若a·b=0,则a=0或b=0
B.若λa=0,则λ=0或a=0
C.若a2=b2,则a=b或a=-b
D.若a·b=a·c,则b=c
B
解析:
时也有a·b=0,故A不正确；
由a2=b2,只能得到 ，所以C不正确;
由a·b=a·c得不到b=c,如a为零向量或a与b、c垂直时，故选B。
2已知向量a与向量b的夹角为120°，且 ，那么a·b的值为_________。
-8
解析:
3在平行四边形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0),B(1,1),则 __________
1
解析:
∴
由题意知A（1,0），C(0,1),
１、若 则化简
２、已知 是不共线向量,
则 与 共线的充要条件是实数
课堂练习
3、给出下列命题：
(1)
存在唯一的实数λ ，使
(2)
存在不全为零的实数 使
(3)
若存在实数 使
(3)
不存在实数 使
其中是真命题的是 （ ）
B
A、①和 B、②和③ C、①和② D、③和④
4、如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有 BN= BD，求证：M、N、C三点共线。
提示：设AB = a BC = b
则MN= … = a + b
MC= … = a+ b
证明：
设
由已知得
∴
而
∴
M、N、C三点共线。
∴
5、设 是两个不共线的向量，
，若A,B,C三点共线，求k的值。
解：
若A，B，D三点共线，则
共线，
，即
由于
可得：
故
