(共40张PPT)
回忆向量夹角概念
已知两个非零向量 和 ，作 ， ，
则∠AOB= θ(0?≤θ≤180?)叫做向量 与 的夹角.
θ
O
A
B
新课导入
当θ= 0?时， 与 同向；
当θ= 180?时， 与 反向；
当θ= 90?时， 与 垂直，记作 .
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
θ
O
A
B
了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
知识与能力：
教学目标
过程与方法
体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；
情感态度与价值观
体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力.
教学重点：
教学难点：
平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；
平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用.
教学重难点
问题（1）功的数学本质是什么？
（2）尝试练习.
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。
①、在水平面上位移为10米；
②、竖直下降10米；
③、竖直向上提升10米;
④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米.
研究数量积的物理意义
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米.
②、竖直下降10米；
③、竖直向上提升10米；
①、在水平面上位移为10米；
θ
s
F
如果一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功为：
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念.
向量的数量积概念：
已知非零向量 与 ，我们把数量
叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定：
θ为 与 的夹角.
向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
思考：
当0°≤θ ＜ 90°时 为正；
当90°＜θ ≤180°时 为负。
当θ =90°时 为零。
其中θ是 与 的夹角， 叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，即 。
θ
B
B1
O
A
投影：
投影也是一个数量，不是向量；
当?为锐角时投影为正值；
当?为钝角时投影为负值；
当?为直角时投影为0；
当? = 0?时投影为 | |；
当? = 180?时投影为 ?| |.
由向量数量积的定义，试完成下面问题：
0
≤
注：常记 为 ．
证明向量
垂直的依据
例1:已知 ， 的夹角θ=120?，
求 。
解：
数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积。
θ
B
B1
O
A
数量积的几何意义：
数量积的运算规律：
证明：
∵
∴
证明：
如图可知：
∴
数量积的运算规律：
思考：等式 是否成立？
不成立
探究：两个向量的数量积与数的乘法有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成 ；符号“● ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；在数量积中，若 ，且 ，不能推出 ．因为任一与 的非零向量都有
（4）与实数中 不同，由 不能否推出 ，由图很容易看出虽然 ，但是
(5)在实数中，有 ，但是对于向量来说 显然，这是因为左端是与 共线的向量，而右端是与 共线的向量，而一般 与 不共线．
例2：我们知道，对任意 ，恒有
对任意向量 是否也有下面类似的结论？
解：
例3：已知 ， 的夹角60?，
求 。
解：
（1）
（2）
例4：已知 ，且 与 不共线，k为何值时，向量 与 互相垂直.
解：
与 互相垂直的条件是
即
∵
∴
∴
也就是说，当 时， 与 互相垂直.
已知非零向量 与 ，我们把数量
叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定：
１、数量积的概念
课堂小结
２、数量积几何意义
数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积。
３、重要性质
４、运算律
１、判断下列各题正确与否：
（1）若 ，则对任一向量 ，有 ( )
（2）若 ，则对任一非零向量 ，有 ( )
（3）若 ， ，则 ． ( )
（4）若 ，则 至少有一个为零． ( )
√
×
×
×
课堂练习
（5）若 ， ，则 ． ( )
（6）若 ，则 当且仅当 时成立． ( )
（7）对任意向量 ，有 ． ( )
（8）对任意向量 ，有 ． ( )
×
×
×
√
２、已知
，则向量
方向上的投影为 .
３、已知 ，且
，则
18或－２
４、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
②
③
④
⑤
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
①
D
５、若向量 与 的夹角为60°，
则 向量的模（ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．12
C
６、已知
中，
，当
时，试判断
的形状．
同理，当 时， △ABC为直角三角形；
当 时，
解：
∴△ABC为钝角三角形；
即
即∠C表示第二象限角
(共30张PPT)
新课导入
平面向量的数量积可以表示为：
已知：
求：
对于两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,即：
那么怎样用 和 的坐标表示 呢？
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
θ
O
A
B
教学目标
要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件．
能利用数量积求向量的模和两向量的夹角．
知识与能力
过程与方法
体会平面向量的数量积与坐标之间的关系，理解掌握数量积的用坐标表示的方法．
情感态度与价值观
体会通过代数运算证明几何思想的运用．
教学重难点
利用数量积求长度、求夹角、证垂直.
向量数量积的坐标表示.
难点：
重点：
如图， 是x轴上的单位向量， 是y轴上的单位向量，
x
y
o
B(x2,y2)
A(x1,y1)
1
1
0
1、平面向量数量积的坐标表示
设两个非零向量 =(x1,y1), =(x2,y2),则
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
x
y
o
B(x2,y2)
A(x1,y1)
即
2、向量的模和两点间的距离公式
（1）垂直
3、两向量垂直和平行的坐标表示
（2）平行
4、两向量夹角公式的坐标运算
例1：设 求 .
a 、b 夹角的余弦值？
解：
解：
解：
例３：已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断?ABC的形状，并给出证明.
A(1,2)
B(2,3)
C(-2,5)
x
0
y
在平面直角坐标系中，我们标出A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)三点，发现△ABC是直角三角形.
解：
证明：
∴△ABC是直角三角形.
例4:求 与向量的夹角为45°的单位向量．
解：
设所求向量为
∵ 与 成45° ∴
∴ ……①
另一方面
(
)
(
)
2
sin
1
3
cos
1
3
=
+
+
-
a
a
∴
又 ……②
1
cos
sin
2
2
=
+
a
a
联立解之：
例5:（1）已知 =（4，3），向量 是垂直于 的单位向量，求 .
课堂小结
1、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
2、掌握向量的模、距离、垂直、平行及夹角公式，形成转化技能。
（3）向量垂直
（4）向量平行
（5）两向量夹角公式的坐标运算
3、理解各公式的正向及逆向运用；
1、已知向量 ＝(4，3), ＝(－1，2), 则
(1) =_______;
(2) =_________;
(3) =_________.
课堂练习
2
17
－3
3、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形ABCD的形状是_________.
矩形
4、已知 = (1，2)， = (-3，2)，
若k +2 与 2 - 4 平行，则k = .
- 1
6、已知 =（4，2），则与 垂直的单位向量为
5、已知 且 ，则 向量的值为
7、 中， ， ，则k的值为
①
③
②
8、以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，?B=90?，求点B的坐标.
y
B
A
O
x
