(共34张PPT)
新课导入
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。
2.5.1平面几何的向量方法
教学目标
1、掌握用向量的方法解决几何问题的基本方法；
2、明确向量在解决有关几何问题中的证平行、证垂直、求夹角、求距离等问题的“三部曲”．
知识与能力：
让学生经历用向量方法解决几何问题的过程，体会向量是一种处理几何问题的工具.
过程与方法：
情感态度与价值观：
通过应用向量解决平面几何中的问题，发展运算能力和解决实际问题的能力.
教学重难点
实际问题转化为向量问题的方法．
用向量法解决几何问题的“三部曲”；
教学重点：
教学难点：
例１：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
A
B
C
D
如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
猜想：
1、长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？
2、类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
A
B
D
C
已知：平行四边形ABCD.
分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量可以用它们表示。
求证：
证明：设 ，则
总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路．
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
例2：证明直径所对的圆周角是直角
A
B
C
O
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
分析：要证∠ACB=90°，只须证向量 ，即 .
即 ，∠ACB=90°
A
B
C
O
证明：
设
则
由此可得：
例3：三角形的三条高线有什么位置关系呢，你有什么方法证明吗？
如图，设△ABC的两条高AD与BE相交于点P，要说明AB边上的高CF经过点P，只需证明PC⊥AB.
分析：
A
B
C
D
E
F
P
∵PA⊥BC
∴
设向量
解：
∵PB⊥AC
∴
即 ……①
即 ……②
A
B
C
D
E
F
P
利用①②这两个结论,推出:
即PC⊥AB
∴
例4：如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
A
B
C
D
E
F
R
T
又因为 共线，
所以设
A
B
C
D
E
F
R
T
由于 与 共线，故设
则
设
解：
因为
所以
由于向量 不共线，
故AT=RT=TC
课堂小结
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
1、如图△ABC中，
则下列推导不正确的是……………（ ）
D
A．若 ，则△ABC为钝角三角形．
B．若 ，则△ABC为直角三角形．
C．若 ，则△ABC为等腰三角形．
D．若 ，则△ABC为正三角形．
A
B
C
课堂练习
2、已知平面上三点A、B、C满足 ，则
的值等于（ ）
Ｂ
Ａ．0
B.
Ｃ．25
D．
3、已知 四点，则四边形ABCD的形状为 ．
菱形
4、已知A、B的坐标分别为 ，与 平行的向量的坐标可以是_______（填写正确的序号）．
①
②
③
④
①②③
5、如图，在等腰△ABC中，D、E分别是两条腰AB、AC的中点，若CD⊥BE，你认为∠A的大小是否为定值？
A
B
C
D
E
设向量
解：
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
以 为基底，向量 可以表示为
∵CD⊥BE
∴
即：
∵△ABC是等腰三角形
∴
A
B
C
D
E
整理上式的：
∵
∴
又∵∠A为锐角，
∴∠A为定值.
6、如图，△ABC的三条高分别为AD，BE，CF，作DG⊥BE，DH⊥CF，垂足分别为G、H，试推断EF与GH是否平行.
A
B
C
D
E
F
P
G
H
结论:EF∥GH
(共29张PPT)
知识回顾
复习：用向量解决几何问题的三步曲.
1. 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转化为向量问题；
2. 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等；
3. 把运算结果“翻译”成几何关系.
新课导入
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系．
2.5.2 向量在物理中的应用举例
教学目标
通过实例体会如何把物理问题转化为数学问题；
体会如何用数学模型的解来解释相应的物理现象．
能用向量工具解决物理问题．
知识与能力：
让学生经历用向量方法解决物理问题的过程，体会向量是一种处理物理问题的工具.
过程与方法：
情感态度与价值观
通过应用向量解决物理中的问题，发展运算能力和解决实际问题的能力.
教学重难点
能用向量工具解决物理问题．
将物理问题抽象成数学模型，并用数学模型的解来解释相应的物理现象．
教学重点：
教学难点：
解：
例2：日常生活中,我们有时要用同样长的两根绳子挂一个物体(如图).如果绳子的最大拉力为F,物体受到的重力为G。你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力F1的大小与两绳之间的夹角θ的关系？
θ∈[0°，180°)
解：
根据题意得：
θ
求（1）│ │，│ │随角θ的变化而变化的情况；
（2）当│ │≤2│ │时，求θ的取值范围。
O
例3：如图，在细绳O处用水平力 缓慢拉起所受重力为 物体，绳子与垂直方向的夹角θ为绳子所受的拉力为 ，
(1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：
解直角三角形得：
│ │，│ │皆逐渐增大；
解:
∴当θ由0°趋向于90°时，
(2)令
得
解：设为 风速， 为有风时飞机的航行速度， 为无风时飞机的航行速度，如图所示：
例4：在风速为 km/h的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
构成三角形，因此得到
设
作
于D
于E
则由题意知
设
，则
从而
km/h，方向为西偏北30°.
课堂小结
用向量中的有关知识研究物理中的相关问题，步骤如下:
1、问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.
2、模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型.
3、参数的获得,即求出数学模型的有关解------理论参数值.
4、问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
课堂练习
1、一条河宽为400米，一艘船从A出发垂直到达河正对岸的B处，已知静水中船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需的时间为（ ）
Ａ．1.5分钟 Ｂ．1.8分钟
Ｃ．2.2分钟 Ｄ．3分钟
A
2、点P在平面上作匀速直线运动，速度向量
（即点P的运动方向与 相同，且每秒移动的距离为 个单位），设开始时点P的坐标为(-10m,10) ，则5秒后点P的坐标为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
C
3、一条河的两岸平行，河的宽度 m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度 km/h，水流速度 km/h．要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小．是否当船垂直于对岸行驶时，与水流成直角时，所用时间最短．
A
解：设
与
的夹角为
，合速度为
与
的夹角为
，行驶距离为
则
A
所以当
即船垂直于对岸行驶时所用时间最短．
4、一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A、C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移.
东
C
B
A
北
西
南
解：
东
C
B
A
北
西
南
D
过B、D分别作x、y的垂线，交与D点
∠EAB=60°∠FAC=60°
F
E
∴
∴
∠CAD=30°
∴
位移的方向是南偏西30°，大小是 km.
