(共34张PPT)
已知：α的三角函数值，求sin2α、cos2α、tab2α ?
思考探索
利用已知的和（差）角公式，能否找到解决问题的线索呢？
新课导入
复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:
若上述公式中 ， 你能否对它进行变形？
3.1.3二倍角的正弦余弦和正切
能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。
知识与能力
教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用。
过程与方法
通过公式的推导，了解它们内在的联系．进一步培养学生的逻辑推理能力。领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学数学的兴趣。
情感态度与价值观
以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
二倍角的理解及其灵活运用。
教学重难点
重点
难点
由此得到二倍角公式。
能否通过上述公式利用单角表示：
， ， ？
a
2
sin
a
2
cos
a
2
tan
,且 ，
二倍角公式：
对于 能否有其它表示形式？
公式中的角是否为任意角？
（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。
注意：
（2）二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式.因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角.凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。
（3）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。
例1：已知
求
值。
解：由
得
又因为
于是
例2：已知
求sin2?，cos2?，tan2?的值。
解： ∵
)
,
2
(
,
13
5
sin
p
p
a
a
?
=
∴
13
12
sin
1
cos
2
-
=
-
-
=
a
a
∴sin2? = 2sin?cos? =
169
120
-
cos2? =
169
119
sin
2
1
2
=
-
a
tan2? =
119
120
-
例3:证明：
证明：
左边
例4:化简：
解：原式
引申：公式变形：
升幂降角公式
降幂升角公式
2、
2 sin2157.5? ? 1 =
3、
sin22?30’ cos22?30’=
1、
例5：求值：
5、
6、
4、
例 6:化简
1、
2、
3、
例7：若tan ? = 3，求sin2? ? cos2? 的值。
解：sin2? ? cos2?
q
q
q
q
q
2
2
2
2
cos
sin
cos
sin
cos
sin
2
+
-
+
=
q
q
q
2
2
tan
1
1
tan
tan
2
+
-
+
=
5
7
=
例8：
思考1：tanα与sin2α，cos2α之间是否存在某种关系？
思考2：sin2α，cos2α能否分别用tanα表示？
,且 ，
2、注意正用 、逆用、变形用
1、二倍角正弦、余弦、正切公式
课堂小结
升幂降角公式
降幂升角公式
1、判断：
错
错
错
错
课堂练习
2、
3、
1、
4、
2、用二倍角公式展开下列各式：
2
cos
2
sin
2
a
a
4
sin
4
cos
2
2
a
a
-
4
3
tan
1
4
3
tan
2
2
a
a
-
1
4
cos
2
2
-
-
b
a
求
3、已知
的值
解：
由此得
解得
或
4、求值：
解：
5、证明：
证明：
(共35张PPT)
新课导入
在现实生活中，经常会遇到的一些测量长度、高度等问题，比如图片中的信号台的高度，都用到什么量呢？
小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A、C两点间距离约为67米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°。求这座电视发射塔的高度。
A
B
C
D
30
67
45°
α
如图所示，某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。
请同学们思考:
3.1.1两角差的余弦公式
教学目标
借助单位圆，运用向量的方法推导两角差的余弦公式；
能够使用两角差的余弦公式求特殊角和差角的余弦值；
知识与能力
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础。
过程与方法
让学生感受数学知识的相互联系，培养逻辑推理的思维能力，树立创新意识和应用意识，提高数学素质。
情感态度与价值观
探索过程的组织和适当引导。这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等。
通过探索得到两角差的余弦公式；
教学重难点
重点
难点
从实例引入课题，目的在于从中提出问题，引入本章的研究课题。
1、实际问题中存在研究像tan（45°+α）这样包含两个角的三角函数的需要；
2、实际问题中存在研究像sinα与tan（45°+α）这样的包含两角和的三角函数与单角α，45°的三角函数的关系的需要；
在此基础上，再一般化而提出本节的研究课题。
由此能否得到 大家可以
猜想，是不是等于 呢?根据在第
在初中已经学过?
，
，
一章所学的知识可知这种猜想是错误的！
下面就一起探讨两角差的余弦公式
α-β
如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1,∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？
M
P
P1
O
x
y
cos(α－β)
=OM
α
β
用三角函数线方法探究两角差的余弦公式
如何用线段分别表示sinβ和cosβ？
P
P1
O
x
y
A
sinβ
cosβ
OAcosα＝cosαcosβ ，它表示哪条线段长？
PAsinα ＝sinαsinβ ，它表示哪条线段长？
P
P1
O
x
y
A
sinαsinβ
cosαcosβ
B
C
cosαcosβ＝OB
sinαsinβ＝CP
AB⊥x轴
PC⊥ AB
利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？
sinαsinβ
cosαcosβ
P
P1
O
x
y
A
B
C
M
cos(α－β)
＝cosαcosβ＋sinαsinβ
-1
1
1
-1
α -β
B
A
y
x
o
β
α
∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
用向量方法探究两角差的余弦公式
思考：此公式对任意角都成立吗？
于是，对于任意角α、β都有：
探究：两角差的余弦公式的变通
思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？
cosα＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.
思考2：利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？
cosβ＝cos[(α－β)－α]
＝cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα.
思考3：若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？
思考4：若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？
分析：例1是指定方法求cos15°的值，这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上。本例说明差角余弦公式也适用于形式上不是差角，但可以拆分成两角差的情形。
例1 利用差角余弦公式求cos15°的值。
解:
cos15°=cos（45°－30°)
= cos45°cos30°+sin45°sin30°
∵
∴
方法一
解:
cos15°=cos（60°－45°)
= cos60°cos45°+sin60°sin45°
∵
∴
方法二
已知
求 的值。
解:
∵
∴
例2：
例３也是运用差角公式的基础题。安排这个例题的主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯。
例3:
解：
已知 都是锐角,
解：
例4:
对于任意角
课堂小结
一、两角差的余弦公式．
简记为：
1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos(α－β).
二、两角差的余弦公式三角函数线推导过程．
注意
x
y
P
P1
M
B
O
A
C
+
1
1
针对性练习
1、要得到函数y=sinx的图像，只需将函数y=cos(x- )的图像（ ）
向右平移 个单位
B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位
D. 向左平移 个单位
A
解析：
本题必须注意到余弦函数是偶函数，注意题中给出的函数不同名，而
所以要得到y=sinx的图像，只需把y=cos(x- )向右平移 个单位
2、已知函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是___________。
解析：
课堂练习
B
3、在△ABC中，若sinAsinB=cosAcosB，则△ABC是（ ）.
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不确定
A
解: cos(– 375°)=cos15 ° =cos(45 °– 30 °)
=cos45 °cos30 ° +sin45 °sin30 °
5、不查表,求cos(–375°)的值.
(共35张PPT)
上一节学过的公式 （1）它的结构特点是什么？（2）它的正用逆用；（3）这里?、?可以是怎样的角？
复习引入：
知识回顾
问题：由公式 出发，你能推导出两角和与差的其它公式
探索
在数学解题过程中，换元的思想广泛应用，在公式的推导过程中，有时候也应用到这种思想。
新课导入
3.1.2两角和与差的正弦、正切
能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式、正切公式。
新课导入
知识与能力
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用。
过程与方法
通过公式的推导，了解它们内在的联系．进一步培养学生的逻辑推理能力。
情感态度与价值观
两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用。
两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
教学重难点
重点
难点
两角差的余弦公式
cos（? – ?）=cos ? cos? +sin ? sin ?
在上式中，若将β替换成-β，则可得:
cos（?-（-?））=cos?cos（-?）+sin?sin（-?）
cos（?+?）=cos?cos?–sin?sin?
即：
两角和的余弦公式
C（α+ β）
C（α-β）
两角和与差的余弦函数
两角和的正弦公式
Ｓ（α+β）
两角差的正弦公式
Ｓ（α- β）
两角和的正切公式
提问：能否化简？
Ｔ（α+ β）
两角差的正切公式
公式成立的条件是：
Ｔ（α- β）
例1：已知
是第四象限角，求
的值.
解：因为
是第四象限角，得
于是有
例2：利用和（差）角公式计算下列各式的值
（1）
（2）
（3）
解：
（1）
（2）
（3）
解：
分析：首先将这两个角度分解成某些特殊的角的和或差。
例4：利用和（差）角公式求 的正弦和余弦及正切值.
解：
（1）
（2）
两角和与差的正弦、余弦、正切公式总结
课堂小结
C(α+β)
S(α+β)
C(α-β)
S(α-β)
以-β代β
以-β代β
相除
相除
T(α+β)
以-β代β
T(α-β)
针对性练习
1、已知
求
的值。
解析：
解：由
有
或
2、已知
求
的值。
解析：
Ｂ
Ｂ
课堂练习
A
６、
解：
化简
7、
解：
