(共52张PPT)
初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。
知识回顾
O
初中角概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0?, 360?) 这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.而且，生活中很多实例会不在该范围内。
新课导入
例如：
体操运动员转体720?，跳水运动员向内、向外转体1080?；
经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？
……
这些例子不仅不在范围[0?, 360?) ，而且方向不同。
所以，就有必要将角的概念推广到任意角，同学们想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
1.1.1 任意角
掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
学习目标
知识与能力
1、充分结合角和单位圆来了解任意角及弧度的概念。
2、掌握用数形结合的思想方法来认识问题。
能够在已有的经验（生活经验，数学学习经验）的基础上，更好的学习任意角、象限角、终边相同的角等概念。
过程与方法
情感态度与价值观
理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
“旋转”定义角。
学习重难点
难点：
重点：
1、“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点。
角的概念的推广
2、“正角”与“负角”、“0?角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°。
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0?）.
角的记法：角α或可以简记成∠α。
3、角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
（1）角有正负之分；
如：?=210?, ?= ?150?, ?=660?.
（2）角可以任意大；
实例：体操动作：旋转2周（360?×2=720?） 3周（360?×3=1080?）
（3）还有零角，一条射线，没有旋转。
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角。
要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样。
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；
（1）旋转中心：作为角的顶点；
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）.
（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360?，角度的绝对值可大于360? .于是就会出现720? ， － 540?等角度。
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）。
象限角
例如：
30?、390?、?330?是第Ⅰ象限角，
300?、 ?60?是第Ⅳ象限角，
585?、1300?是第Ⅲ象限角，
135 ? 、?2000?是第Ⅱ象限角等。
X
Y
0
Ⅳ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
1、角的顶点与原点重合。
2、角的始边与x轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
0
x
y
3、终边在坐标轴的角不属于任何象限。
知识要点
例1：在0?到360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角。
(1) －120?；(2) 640?；(3) －950?12′.
⑶ ∵－950?12′=－3×360?+129?48′，
∴129?48′的角与－950?12′的角终边相同，它是第二象限角。
解：⑴∵－120?=－360?+240?，
∴240?的角与－120?的角终边相同，
它是第三象限角。
⑵ ∵640?=360?+280?，
∴280?的角与640?的角终边相同，
它是第四象限角。
例2：在0°~360°的范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判断它是第几象限角。
解： ∵－950°12′ =129°48′－３×360°，
∴在0°~360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′。
它是第二象限角。
1、观察：390?，?330?角，它们的终边都与30?角的终边相同.
2、探究：终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与k(k∈Z)个周角的和：
390?=30?+360?(k=1), ?330?=30??360? (k=－1)
30?=30?+0×360? (k=0), 1470?=30?+4×360?(k=4)
?1770?=30??5×360? (k=－5)
终边相同的角
390°＝30°＋360°
－330°＝30°－360°
30°＝30°＋0×360°
与α终边相同的角的一般形式为
α＋k?360°，k ∈ Z
x
y
o
30°
……
3、结论：
所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合：{β| β=α+k·360?}(k∈Z)
即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和。
4、注意以下四点：
① k∈Z；
② ?是任意角；
③ k·360?与?之间是“+”号，如k·360?－30?,应看成k·360?+(－30?)；
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360?的整数倍。
S={β|β=α+k?360°,k∈ Z}.
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
知识要点
例3： 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360?~720?间的角写出来：
(1) 60?；(2) －21?；(3) 363?14′。
解：(1) S={β| β=k·360?+60? (k∈Z) },
S中在－360?～720?间的角是
－1×360?+60?=－280?；
0×360?+60?=60?；
1×360?+60?=420?。
(2) S={β| β=k·360?－21? (k∈Z) }
S中在－360?～720?间的角是
0×360?－21?=－21?；
1×360?－21?=339?；
2×360?－21?=699?。
(3) β| β=k·360?+ 363?14’ (k∈Z) }
S中在－360?～720?间的角是
－2×360?+363?14’=－356?46’；
－1×360?+363?14’=3?14’；
0×360?+363?14’=363?14’。
180°+ k?360°
分析：终边落在坐标轴上的情形
x
y
0
0°+k?360°
90°+ k?360°
270°+ k?360°
或360°+ k?360°
例4：写出终边落在y轴上的角的集合。
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β|β=90°+k?360°,k∈Z}
={β| β=90°+2k·180° ,k∈Z}
x
y
0
90°+k?360°
270°+k?360°
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=270°+k?360°,k∈Z}
={β| β=90°+(2k+1) ·180° ,k∈Z}
∴终边落在ｙ轴上的角的集合为
S=S1∪S2
={β| β=90°+n?180° ，n∈Z}
X
Y
O
ｋ?360°
180°+k?360°
例5：写出终边落在x轴上的角的集合。
分析：终边落在坐标轴上的情形
S1={β| β= 90°+K?360°,K∈Z}
={β| β=90°+2K?180°，K∈Z}
={β| β=90°+180° 的偶数倍}
解：终边落在x轴正半轴上的角的集合为
终边落在x轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=270°+K?360°,K∈Z}
={β| β= 90°+ 180°+ 2K?180°,K∈Z}
={β| β= 90°+（2K+1）180° ，K∈Z}
={β| β=90° +180 ° 的奇数倍}
｛偶数｝∪｛奇数｝ ＝｛整数｝
S=S1∪S2
∴ 终边落在Ｘ轴上的角的集合为
={β| β=180° 的偶数倍}
∪{β| β=180° 的奇数倍}
={β| β=180° 的整数倍}
={β| β=K?180° ，K∈Z}
锐角是第几象限角，第一象限角一定是锐角吗？
锐角是第一象限角.
第一象限角不一定是锐角。
试想：都有哪些角的终边与30°角的终边相同?
探究
x
y
30°
390°
750°
1110°
30°+2×360°
30°+3×360 °
30°+(－2×360° )
30°+(－3×360° )
－330°
－690°
－1150°
30°+360°
30°+(－360° )
1、任意角的概念
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角。
负角：射线按顺时针方向旋转形成的角。
零角：射线不作旋转形成的角。
课堂小结
⑴ 置角的顶点于原点；
⑵ 始边重合于X轴的正半轴。
2、象限角
终边落在第几象限就是第几象限角。
3、终边与角ａ相同的角
ａ＋K×360°，K∈Z。
1、下列命题正确的是 （ ）
A.终边相同的角一定相等
B.第一象限角都是锐角
C.锐角都是第一象限角
D.小于90°的角都是锐角
C
课堂练习
2、A=｛小于90°的角｝，B=｛第一象限角｝，则A∩B=（ ）
A.｛锐角｝
B.｛小于90°的角｝
C.｛第一象限角｝
D.以上都不对
A
3、已知角α是第三象限角，则角-α的终边在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
4、将－885°化为α+k· 360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是（ ）
A
A.－165°+(－2)×360°
B.195°+(－3) ×360°
C.195°+(－2) ×360°
D.165°+(－3) ×360°
5、与120°终边相同的角是（ ）
C
A.－600°+k· 360°(k∈Z)
B.－120°+k· 360°(k∈Z)
C.120°+(2k+1)· 180°(k∈Z)
D.660°+k· 360°(k∈Z)
6、写出与370°23 ′ 终边相同角的集合S，并把S中在－720°～360°间的角写出来。
解：
∵370°23′=10°23′+360°
∴与370°23′终边相同角的集合为
S={α|α= 10°23′+k·360°，k∈Z}
在－720°～360°之间的角分别是
10°23′，10°23′－360°，10°23′－720°
即：10°23′，－349°37′ ，－709°37′。
7、
判断角所在象限。
当 时，
在第一象限；
解：∵
∴可设
当 时，
在第二象限.
∴角在第一或第二象限。
(共41张PPT)
生活中，存在着各种不同的度量单位制，比如度量长度用的千米、尺、码等，度量重量用的吨、斤、磅等，不同单位制能给解决问题带来便利，角的度量除了用度之外，是不是还有其他的单位制呢？
知识回顾
1.1.2 弧度制
理解弧度制的含义；
弧度数的绝对值公式；
会弧度与角度的换算。
培养学生用数形结合的思想方法来认识问题。
学习目标
过程与方法
知识与能力
学生在探究和解决问题的过程中，更好的形成弧度的概念，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
情感态度与价值观
了解弧度制，并能进行弧度与度的换算。
弧度的概念。
学习重难点
难点：
重点：
角的度量
角度制
弧度制
弧度制
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角。
定义：
符号：
rad
读作：弧度。
知识要点
O
B
A
1 rad
l
就是1弧度的角。
如图，圆O的半径是1，
的长等于1,
l
2弧度
r
O
A
B
l=2r
3
r
r
3
rad
若l= 3r，则∠AOB= = 3弧度。
若l=2r，则∠AOB= = 2弧度；
l=3r
O
A
B
r
-3弧度
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对值是
=
3，
即∠AOB=－
=
－3弧度。
1、弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；
2、1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而1°是圆的 所对的圆心角（或该弧）的大小；
角度制与弧度制的比较
x
y
O
α
B
A
x
（１）
当圆心角一定时，它所对弧长与半径的比值是一定的，与所取圆的半径大小无关。
3、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．
x
y
O
Ｄ
Ｃ
x
（２）
α
一般地，我们规定：
正角的弧度数是正数。
负角的弧度数是负数。
零角的弧度数是0。
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）。
周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360。
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
（l为弧长，r为半径）
角?的弧度数的绝对值
弧度数的绝对值公式
如图，半径为r的圆的圆心与原点重合，角α的始边与x轴的正半轴重合，交圆与点A，终边与圆交与点B.请在下列表格中填空。
x
y
O
α
B
A
x
探究
的长 OB旋转的方向 的弧度数 的度数
逆时针方向
逆时针方向
逆时针方向 1
顺时针 －2
顺时针
0 未旋转 0
逆时针方向
逆时针方向
由上表可知，如果一个半径为ｒ的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度制的绝对值是
r
r
例1：已知扇形的周长是6cm，面积是2cm?，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．1或4
Ｃ．4 Ｄ．2或4
B
Ａ．“度”与“弧度”是度量的两种不同的度量单位
Ｃ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
Ｄ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关
例2：下列选项中，错误的是（ ）
D
Ｂ．一度的角是周角的 ，一弧度的角是周角的
周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360。
∴
360°= 2πrad；
180°= πrad.
弧度与角度的换算
180°= πrad
锐角： {θ|0°＜θ＜90°}，
直角： {θ|θ=90°}
钝角： {θ|90°＜θ＜180°}
平角： {θ|θ=180°}
周角： {θ|θ=360°}
例3：请用弧度制表示下列角度的范围.
0°到90°的角：{θ|0°≤θ＜90°}；
小于90°角：{θ|θ＜90°}
0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°}
0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
例4：将下列弧度转化为角度：
= °；
（3）
= °.
（1）
= ° ′；
（2）
15
－157
30
390
（1）36°= （rad）；
例5:将下列角度转化为弧度：
（3）37°30′= （rad）.
（2）－105°= （rad）；
角度
?
?
?
?
?
弧度
?
?
?
?
?
?
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或者“rad”通常省略不写，而只写这个角所对应的弧度数.但如果以度（ 。）为 单位表示角时，度（ 。）不能省略.
写出一些特殊角的弧度数
1、弧度制下角的集合与实数集的一一对应：
正角
零角
负角
正实数
零
负实数
2、求弧长：
弧度制的作用：
例6:利用弧度制证明扇形面积公式 其中是l扇形弧长，R是圆的半径。
比较这与扇形面积公式 要简单.
弧长为l的扇形圆心角为
∴
证：
如图：圆心角为1rad的扇形面积为：
o
R
S
l
∴
例7:直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长⑴ ⑵
解：
已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，
解：
则有
∴
例8：
∴
此时
（弧度）。
当
时，扇形面积的最大值是
∴
课堂小结
1、弧度制的概念
2、弧度制和角度制的比较与换算
具体总结如下表：
弧度制 角度制
度量单位 弧度 角度
单位规定 等于半径的长的圆弧所对应的圆心角叫1 的角 周角的 为1度的角
换算关系
π =180°
1rad=
57°18′，
1°=
rad=0.01745 rad
－300°化为弧度是（ ）
1、
Ｂ
Ｂ．
Ｄ．
Ａ.
Ｃ．
课堂练习
2、计算
解：
3、67°30′化成弧度。
解：
4、 把 化成度。
解：
5、如图，已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
o
A
B
解：设扇形的半径为r，弧长为l ，则有
∴ 扇形的面积
6、已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。
∵ 弧长
∴
于是
7、已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求此扇形所含弓形面积。
解：由
∴
∴
又∵
∴
