(共59张PPT)
新课导入
摩天轮相信同学们都不陌生吧，好多同学都坐过，当你坐上摩天轮后，你就开始绕中心不停地旋转，这样就形成了各种各样的角。
问题1：如图，摩天轮的半径为10m，中心O离地面为20m，现在小明坐上了摩天轮，并从点P开始以每秒1度的速度逆时针转动，当转动30秒后小明离地面的高度是多少？60秒后呢？
.
10m
20m
300
.
问题2：设转动?度后小明离地面的高度为h, ?为00～900,试着写出h和?的关系式。
P1
1.2.1任意角的三角函数
掌握任意角的三角函数的定义；
已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
学习目标
知识与能力
1、理解并掌握任意角的三角函数的定义；
2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
过程与方法
1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；
2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。
情感态度与价值观
任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。
学习重难点
重点：
用单位圆上点的坐标刻画三角函数，学生熟悉的函数y=f（x）的实数到实数的对应，而这里给出的函数首先是实数（弧度制）到点的坐标的对应，然后才是实数（弧度制）到实数（横坐标或纵坐标）的对应.这就会给学生理解造成一定的困难。
难点：
o
y
x
P(ｘ，ｙ)
?的终边
r
?
锐角三角函数定义
在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗?
o
y
x
P(ｘ，ｙ)
?的终边
r=1
?
锐角三角函数定义
r=1
P(x,y)
锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示
在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆。
任意角的三角函数
推广:
我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切)。
x
y
O
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则:
y 叫α的正弦
x叫α的余弦
叫α的正切
任意角的三角函数定义:
对应关系 ， ， 都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数，在弧度制中，这三个三角函数的定义域分别是什么？
正、余弦函数的定义域为R，
正切函数的定义域是
思考：
定义域
求α角的三角函数值，即可求α终边与单位圆交于点的纵横坐标或坐标的比值。
如何求α角的三角函数值?
y
x
O
例1：求 的正弦,余弦,正切的值.
根据上述方法否能求得特殊角三角函数值?
角α（角度） 0° 90° 180° 270° 360°
角α（弧度） 0 π/2 π 3π/2 2π
sinα 0 1 0 -1 0
cosα 1 0 -1 0 1
tanα 0 不存在 0 不存在 0
P0(-4,-3)
M0
M
P
y
x
o
分析：由△OMP∽△OM0P0，可求出相应的三角函数值。
例2：已知α的终边经过点P0 （－4，－3），求α角的正弦,余弦,正切的值。
解：
例3：如图所示，已知角ａ终边上一点P的坐标为（4，－3），求角ａ的三角函数值。
解：∵ ｘ＝4，ｙ＝－3
∴
＝5
0
y
x
P(4,-3)
ａ的终边
o
y
x
P(ｘ，ｙ)
?的终边
r
?
事实上: 三角函数也可定义为
设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则
根据三角函数的定义能否确定正弦,余弦,正切的值在四个象限内的符号?
任意角的三角函数符号
探究
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
规律：
“一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”.
例4：确定下列三角函数值的符号。
解：
∵
分别位于第三象限、第四象限、第一象限、第四象限。
∴
(1)负 (2)负 (3)正 (4)负
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
（ ）
+
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
例5：
求证：当且仅当不等式组下列不等式组成立时，角θ为第三象限角。
因为sinθ＜0，所以θ在第三象限或第四象限，或θ的终边落在y轴的负半轴上。
因为tanθ＞0．所以θ在第一象限或第三象限。
由于sinθ＜0与tanθ＞0同时成立，所以θ在第三象限。
解：?
直角三角中的锐角三角函数
象限角中的锐角三角函数
单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数
单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数
任意角终边上任一点坐标定义三角函数
反思三角函数的定义
根据三角函数的定义:
终边相同的角的同一三角函数值是否相等？
探究
诱导公式
终边相同
∵终边相同的角的集合为：
点的坐标相同
同一三角函数值
∴
终边相同的角的同一三角函数值相等，由此得到一组公式（公式一）：
利用公式一，作用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求0～２π （或0°～360°)范围内的三角函数值。
例6：求下列三角函数的值。
解：
前面我们学习了任意角的三角函数，它主要从数上研究了它们，能否从图形上来研究呢？
单位圆中的三角函数线
思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 ，
都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？
P（x，y）
O
x
y
M
思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 ，
都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？
P（x，y）
O
x
y
M
思考3：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号。根据实际需要，应如何规定线段的正方向和负方向？
规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向。
α终边
x
y
o
p(x , y)
x
y
o
p(x , y)
α终边
M
M
象OM、MP这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。
一、有向线段
我们规定OM与x轴同向时，OM的方向是正向，x为正值；OM与x轴反向时， OM的方向是负向，x为负值；无论是那种情况都有:OM=x=cosα。
我们规定MP与y轴同向时，MP的方向是正向，y为正值；MP与y轴反向时，MP的方向是负向，y为负值；无论是那种情况都有:MP =y=sinα。
二、正弦线、余弦线
设任意角α与单位圆交于点p(x , y)，则r = |op| = 1.
sinα=
y
因此，p(x , y)坐标也表示为p(cosα , sinα).
cosα
= x
x
y
o
p(x , y)
α
三、正切线
x
y
o
p
α终边
A
T
称AT为角α的正切线.
过A(1,0)作圆的切线，
例7：不查表，比较大小。
⑴
解：
x
y
o
1
1
由图形得到
和
解：
由图形得到
x
y
o
1
1
（２）
和
解：
由图形得到
x
y
o
1
⑶
和
1、正弦线
2、余弦线
3、正切线
注意：正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，有正负之分.
结论
三角函数线是三角函数的几何表示，它可以直观刻画三角函数的概念与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义.
定义域为R；
定义域为R；
定义域为
三角函数(正弦,余弦,正切)都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
(由于角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)
所以三角函数可以记为:
1、任意角的三角函数定义
课堂小结
.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
（ ）
+
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
2、三角函数在象限内的符号
应用
（1）判断符号
（2）求值
３、公式一(诱导公式)
1. 以下四个命题中，正确的是( )
D．第四象限的角可表示为:
A．在定义域内，只有终边相同的角的三
角函数值才相等。
B．
C．若a是第二象限的角，则
C
课堂练习
。
2. 若角a的终边过点(-3，-2)，则( )
A．sina tana＞0 B．cosa tana＞0
C．sina cosa＞0 D．sina cota＞0
C
C
C
3
D
B
(共32张PPT)
问题1：回顾三角函数的定义。
设置目的：温故知新，三角函数定义是推导关系式的基础理论。
知识回顾
问题2：角α终边与单位圆的交点P的坐标是什么？
x
y
O
设置目的：单位圆中推导公式会用到P点的坐标，P的坐标是此处数与形的交汇点。
1.2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标
让学生掌握公式的推导过程，熟记基本关系式的内容，明确基本关系式在三个方面的应用：
（1）知道一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；
（2）化简三角函数式；
（3）证明三角恒等式。
知识与能力
培养学生由特殊结论-----猜想一般规律-----进行严格证明的科学思维方式；通过用单位圆推导公式培养学生用数形结合思想处理数学问题的能力；通过求值、化简、证明培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力和分析解决问题的能力。
过程与方法
培养学生积极参与大胆探索的精神；让学生通过自主学习体验学习的成就感,培养学生学习数学的兴趣和信心。
情感态度与价值观
同角三角函数基本关系式推导及应用.
知识技能线
情感态度线
过程方法线
观察分析
特殊到一般
灵活运用能力及应用意识
创设情景引入课题
公式推导
公式运用
探究尝试
数形结合
灵活运用
化归、方程思想
突重点
观察能力
合作交流，归纳猜想能力
抓三线、
学习重难点
重点：
关系式在解题中的灵活选取，及使用公式时由函数值正负号的选取而导致的角的范围的讨论。
抓两点、破难点
情感、思维的兴奋点
知识层层深入
难点：
由三角函数定义我们可以看到：
弦与弦
当 时，
即
有意义时，有：
弦与切
同角三角函数的基本关系：
结论
用文字叙述：
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于１，商等于角α的正切；同一个角的正切、余切之积等于１（即同一个角的正切、余切互为倒数）。
为了加深对关系式的认识，在公式给出后设置了几点注意 ：
1、同角的理解：
2、对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立。
3、 是 的简写形式，与 不同.
4、公式可以变形使用
已知 ，且 是第二象限角，
求 ， 的值。
解：
从而 .
例1:
因为sinα2+cosα2=1，所以
25
9
)
5
4
(
1
sin
1
cos
2
2
2
=
-
=
-
=
a
a
又因为角 是第二象限角，所以
.
0
cos
<
a
a
.
5
3
25
9
cos
-
=
-
=
\
a
3
4
)
5
3
(
5
4
cos
sin
tan
-
=
-
=
=
a
a
a
已知 ，求 的值．
解：
为什么？
例2:
,
1
cos
,
0
cos
-
?
<
a
a
且
因为
所以 是第二或第三象限角.
如果 是第二象限角，那么
a
a
,
17
15
)
17
8
(
1
cos
1
sin
2
=
-
-
=
-
a
a
.
8
15
)
8
17
(
17
15
cos
sin
tan
-
=
-
=
=
a
a
a
如果 是第三象限角，那么
a
,
17
15
sin
-
a
.
8
15
tan
=
a
1、已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值.在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的.有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
2、解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
总结
求证：
例3
证法1：
由
知
所以
于是
所以原式成立。
且
所以原式成立。
证法2：
因为
总结：对于例3这类题，由结论，交叉相乘，得： ，即： ，所以，可以由同角的正弦、余弦的平方和为1这个关系式入手来证明.另外，也可以采用“分母有理化”形式的方法来证明，原式左边的分子与分母同乘以（1＋sinx）。
解：
已知
，求
例4:
因此 ， ……
1、同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，
2、诸如 ， ，……它们都是
条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义。
课堂小结
3、利用平方关系时，往往要开方，因此要先
根据角所在象限确定符号，即要就角所在
象限进行分类讨论。
1、
，则
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
B
课堂练习
2、已知 ,则cosα－sinα的值等于 （ ）
A．
B．
D．
C.
B
3、若
，则
的值为_____
4、已知
则m=_________；
__________．
0或8
，
已知 ，求
∵
∴
又∵
∴α在第二或三象限角。
解：
5、
α在第二象限时，即有
从而
当
α在第四象限时，即有
从而
当
∴
∴
已知
并且α是第二象限角，
求
∵
∴
又∵
α是第二象限角，
即有
从而
∴
解：
6、
，
，
7、已知
，求
的值。
由
可得：
解：
于是：
∴
