(共31张PPT)
新课导入
生活中，各种各样的波无时无刻不在影响着我们，比如说发电机输出的电压波，说话的声音、我们爱听的音乐所形成的声波，以及微波炉、烤箱所发出的一些电磁波等等。
实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（或余弦）值.由这个对应法则所确定的函数y=sinx（或者y=cosx）叫做正弦函数（或者余弦函数），其定义域是R。
探究
通过简谐运动试验，得到简谐运动的图象，物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”，从而对“正弦曲线”或“余弦曲线”有一个直观的印象。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
掌握五点作图法的三个步骤，即：列表、描点、连线；
掌握函数图象的变换过程。
学习目标
知识与能力
2、根据关系 ，作出 的图象；
1、利用单位圆中的三角函数线来作出 的图象，明确图象的形；
3、用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题。
知识目标：
能力目标：
1、理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
2、理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法。
采用不同的方法对函数图象进行变换。
1、五点法做函数图象及有关问题；
2、函数图象变换问题。
学习重难点
重点：
难点：
三角函数
三角函数线
正弦函数
余弦函数
正切函数
正切线AT
y
x
x
O
-1
?
P
M
A(1,0)
T
sin?=MP
cos?=OM
tan?=AT
注意：三角函数线是有向线段！
正弦线MP
余弦线OM
一、复习引入
作出下列各角 的正弦线、余弦线和
正切线。
x
y
P
O
A(1,0)
T
M
正弦线： MP 余弦线：OM
正切线： AT
x
y
P
O
A(1,0)
T
正弦线： MP 余弦线：OM 正切线： AT
M
x
y
P
O
A(1,0)
T
正弦线： MP 余弦线：OM 正切线： AT
M
函数
图象的几何作法
. . . .
利用三角函数线
作三角函数图象
作三角函数线得三角函数值，描点
,连线
作
如:
的正弦线
平移定点
几何法作图的关键是如何利用单位圆中角x的正弦线，巧妙地
移动到直角坐标系内，从而确定对应的点 (x,sinx)。
二、正、余弦函数图象
1、几何法作正弦函数的图象：
x
y
o
1
-1
?
2?
A
B
(B)
(O1)
O1
y=sinx, x∈
[0,2?]
(1)列表
(2)描点
(3)连线（光滑的曲线）
2、描点法作正弦函数的图象：
y=sinx, x∈
[0,2?]
x
sin
x
x
y
o
1
-1
-2?
-?
?
2?
3?
4?
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y=sinx,x∈R的图象只要将y=sinx,x∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动即可得到。
余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移
个单位长度而得到．
由于
所以余弦函数
与函数
是同一个函数；
3、作余弦函数曲线：
y=cosx, x ∈ R
余弦曲线
1
-1
y=cosx, x ∈ R
y=sinx, x ∈ R
x
y
0
y
x
0
-1
1
-1
1
y=sinx, x ∈ R
y=cosx, x ∈ R
正弦曲线
余弦曲线
4、正弦函数、余弦函数的图象
简图作法：(五点作图法)
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)；
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点).
(2) 描点(定出五个关键点)；
-
-
-1
1
-
-
-
-1
1
-
5、五点作图法的五个关键点
例1:画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π];
列表
描点作图
（2）y= - cosx , x∈[0,2π].
解:
（1）
（2）列表
1
0
-1
0
1
-1
0
1
0
-1
描点作图
例2:画出函数y=1－sinx, x∈[0,2π]的简图.
列表
描点作图
解法一:
（五点法作图）
解法二:
（变换法作图）
①先作出函数y=sinx的图像；
②其次将函数y=sinx的图像关于x轴对称得到y=-sinx的图像；
③最后将函数y=-sinx的图像整体向上平移1个单位就是y=1-sinx的图像。
例3 ：(1) 作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图；
(2) 作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图。
解：(1)
解：(2)
y
0
x
Π
Π/2
3Π/2
2Π
-3
2
1
3
-1
-2
y
0
x
Π/2
Π
3Π/2
2Π
-2
3
-1
2
4
1
2、决定正弦函数、余弦函数图像的五个关键点是用五点法作简图的依据；
3、作三角函数的图像可以用五点法作简图，也可以通过函数图形的基本变换来实现。
1、用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象，及通过平移得到余弦函数的图像；
课堂小结
(1) 等分
作法：
(2) 作余弦线
(3) 竖立、平移
(4) 连线
-
-
-1
-
-
-
-
-1
1
-
-
-1
1
-
-
-1
-
-
正、余弦函数的图象的几何作法：
余弦函数
的图象
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
-
-
-1
1
-
-
-
-1
1
-
正、余弦函数的图象的五点作图法：
x
sinx
0 ? 2 ?
1
0
-1
0
1
在同一坐标系内，用五点法分别画出函数y= sinx，x?[0, 2?] 和 y= cosx，x?[ , ]的简图：
x
cosx
1
0
0
-1
0
0 ?
课堂练习
o
1
y
x
-1
2
y=sinx，x?[0, 2?]
y= cosx，x?[ , ]
向左平移 个单位长度
(共48张PPT)
正弦函数的图像
余弦函数的图像
观察
新课导入
1.4.2正、余弦函数的性质
学习目标
知识与能力
能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；理解三角函数的奇、偶性和单调性。
过程与方法
掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
能够根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学数学的兴趣。
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
情感态度与价值观
正、余弦函数周期性的理解与应用；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用。
正、余弦函数的周期性；正、余弦函数的奇、偶性和单调性。
学习重难点
重点：
难点：
余弦曲线：
x
y
1
-1
正弦曲线：
x
y
1
-1
一、观察函数周期性
周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f (x+T)=f (x)
那么，函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
1、T要是非零常数；
２、“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)?f (x0)）；
3、周期函数的周期T往往是多值的（如y=sinx 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期）；
4、周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）。
注：
正弦曲线：
x
y
1
-1
周期性：
正弦函数是周期函 ，最小正周期是
周期性：
余弦曲线：
x
y
1
-1
余弦函数的周期为 ，最小正周期是
例1.求下列函数的周期.
(1) ∵
∴
由周期函数的定义知道，原函数的周期为2 。
(2) ∵
∴
由周期函数的定义知道，原函数的周期为4 。
解：
函数 的周期是
函数 的周期是
注：由上面的得出：
正弦函数的图像
二、观察正余弦函数图像奇偶性
余弦函数的图像
问题：它们的图像有什么特征？
这说明：将正弦函数曲线绕原点旋转180度后所得的曲线能够和原来的曲线重合.即正弦函数关于原点对称。正弦函数是奇函数。
正弦函数的图像
正弦曲线是中心对称图形，其所有的
对称中心坐标为
同时还是轴对称图形，其所有的对称轴方程是 。
对称性
观察余弦函数的图像
这说明若将余弦曲线延着 y轴折叠，y轴两旁的部分能够互相重合 ，即余弦曲线关于y轴对称。
余弦函数是偶函数。
余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为
同时还是轴对称图形，其所有的对称轴方程是 。
对称性
三、复习函数的单调性
函数若在 指定区间任取 ，且 ，都有：
单减函数
2、 ，则f(x)在这个区间上是________
1、 ，则 f(x) 在这个区间上是_______；
单增函数
函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。
请认真观察正余弦函数的图像，看看其是否具有这类性质？
先看正弦函数图像
当 在区间…
…上时，
曲线逐渐上升，sinα的值由 增大到 。
当 在区间…
上时，曲线逐渐下降，sinα的值由 减小到 。
由正弦函数的周期性知：
正弦函数在每个闭区间
都是增函数，其值从－1增大到1；
而在每个闭区间
上都是
减函数，其值从1减小到－1。
我们在来观察余弦函数的图像，看看是否有类似的特征。
再来观察余弦函数图像
当 在区间
上时，
曲线逐渐上升，cosα的值由 增大到 。
曲线逐渐下降， sinα的值由 减小到 。
当 在区间
上时，
由余弦函数的周期性知：
函数，其值从1减小到－1。
而在每个闭区间
上都是减
其值从－1增大到1 ；
在每个闭区间
都是增函数，
当x∈R时，即在整个定义域内并不单调，图像时而上升，时而下降，存在规范的单调区间.由于它们是周期函数，因此在考虑函数增减的问题时，只要研究一个周期即可。
四、函数的最大值与最小值
正弦函数当且仅当 时取得最大值1，正弦函数当且仅当 时取得最小值-1。
余弦函数当且仅当 时取得最大值1，余弦函数当且仅当 时取得最小值-1。
不求值，判断下列各式的符号.
分析：比较同名函数值的大小，往往可以利用函数的单调性，但需要考虑它是否在同一单调区间上，若是，即可判断，若不是，需化成同一单调区间后再作判断。
例2：
解：（1）
例3 求函数
解:令
由
函数
例4 求下列函数的单调区间：
(1) y=2sin(-x )
解：
y=2sin(-x ) = -2sinx
?
函数在 上单调递减；
[ +2k?, +2k?],k?Z
函数在 上单调递增。
[ +2k?, +2k?],k?Z
(2) y=3sin(2x- )
单调增区间为
所以：
解：
单调减区间为
(3)
y= (tan )
sin2x
解：
?
单调减区间为
单调增区间为
?
(4)
解：
定义域
当
即
为减区间；
当
即
为增区间。
(5) y = -| sin(x+ )|
解：
令x+ =u ,
则 y= -|sinu| 大致图象如下：
y=sinu
y=|sinu|
y=- |sinu|
u
O
1
y
-1
减区间为
增区间为
即：
?
y为增函数；
y为减函数。
例5：求下列函数的单调增区间：
解：
１、正余弦函数的周期性.
正弦函数是周期函数， ，最小正周期是 。
余弦函数是周期函数， ，最小正周期是 。
课堂小结
奇函数
偶函数
[ +2k?, +2k?],k?Z
单调递增
[ +2k?, +2k?],k?Z
单调递减
[ +2k?, 2k?],k?Z
单调递增
[2k?, 2k? + ?], k?Z
单调递减
函数
余弦函数
正弦函数
求函数的单调区间：
1. 直接利用相关性质；
2. 复合函数的单调性；
3. 利用图象寻找单调区间。
2、正余弦函数的奇偶性、单调性
奇偶性
单调性（单调区间）
3、最大值与最小值
正弦函数当且仅当 时取得最大值1，正弦函数当且仅当 时取得最小值-1。
余弦函数当且仅当 时取得最大值1，余弦函数当且仅当 时取得最小值-1。
1、 求下列三角函数的周期
（2）
（3）
（1）
课堂练习
解：
（1）令
而
即：f (2?+z)=f (z)
∴ 周期
（2）令z=2x
∴ T=π
即：f(x+π)=f(x)
∴
（3）令
则：
∴ T=4π
2、已知
的大小关系是( )
B
3、下列函数，在 上是增函数的是（ ）
Ａ.
Ｂ.
Ｄ.
Ｃ.
Ｄ
4、函数 是（ ）
Ａ．增函数
Ｂ．减函数
Ｃ．偶函数
Ｄ．奇函数
Ｃ
(共44张PPT)
提问：
新课导入
2、正弦函数的两个代数性质：
反映了正弦函数图象的什么几何特征？
正弦函数 都有哪些
性质？
1、
1.4.3正切函数的性质及图象
利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，根据性质探究正切函数的图象。
学习目标
知识与能力
上的性质（如单调性、周期性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），并能解决一些简单问题。
借助单位圆中的三角函数线能画出y=tanx的图象，借助图象理解正切函数在
亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
过程与方法
情感态度与价值观
1、利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质；
2、根据性质探究正切函数的图象。
画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线 在确定图象形状时所起的关键作用。
学习重难点
重点：
难点：
周期性：
奇偶性：奇函数；
定义域：
1、
正弦函数明晰：
单调性：
在
是单调递增的；
是单调递减的；
在
值域：
2、
反映了函数的周期性；
反映了函数的奇偶性。
3、函数图象的每一个几何特征也都是函数性质的直观反映，函数的每一个代数性质反映在图象上都有其相应的几何特征；所以可借助于函数的图象来研究函数的性质；也可借助于函数的性质研究函数的图象，本节课就是从一个全新的角度来研究正切函数的性质与图象。
类比研究正弦和余弦函数的方法，从前面的学过的有关正切函数的知识中你认为有那些性质？
提问：
一、正切函数的定义域：
定义域为:
二、正切函数的周期性：
是它的一个周期。
、
、
、
、
也是
的周期。
显然最小正周期是：
由 ，可知正切函数
是周期函数.
例1：求下列函数的周期：
解：
解：
由上面两例题，你能得到函数y=Atan（ωx+φ）的周期吗？
三、正切函数的奇偶性：
可知，正切函数是奇函数。
由
四、正切函数的单调性
2、借助多媒体，动态演示单位圆中的正切线的变化规律可以得出：
1、给出在 内的一些特殊角，进行计算、观察、归纳，猜想。
正切函数在 内是增函数，又由正切函数的周期性可知：正切函数在开区间 内都是增函数。
注意：正切函数只有增区间没有减区间。
例2：求下列的单调区间：
这个题目应该注意什么?
用多媒体展示单位圆中的正切线的变化规律，得到：正切函数的值域是实数集R。
五、正切函数的值域
例3：不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
在 上是增函数
又
解：
正切函数的主要性质总结如下:
定义域
值 域
周期性
奇偶性
单调性
实数集
奇函数(正切曲线关于原点对称)
例 题
例 题
例 题
例 题
例 题
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的．
用正切线作正切函数图象:
正切函数 是否为周期函数？
利用正切线画出函数 ， 的图像:
画图：
∴ 是周期函数， 是它的一个周期．
作法:
(1) 等分：
(2) 作正切线
(3) 平移
(4) 连线
把单位圆右半圆分成8等份
，
，
，
，
，
利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数
叫做正切曲线。
从图中可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线
所隔的无穷多支曲线组成的。
x
y
0
例3:不通过求值,比较下列两个正切函数值的大小。
说明:比较两个正切型函数的大小,关键是把相应的角诱导到y=tanx的同一单调区间内,利用y=tanx的单调递增性来解决。
例4:求下列函数的周期，
分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周期为π。
例5:判断下列函数的奇偶性：
说明：函数具有奇。偶性的必要条件之一是定义域
关于原点对称，故验证f（-x）=f（-x）或
f（-x）= -f（x）成立前，要先判断定义域
是否关于原点对称。
例6：求下列函数的单调区间：
奇函数
R
单调增区间
奇偶性
周期
值域
定义域
课堂小结
1、直线 （ 为常数）与正切曲线 （ 为常数
且 ）相交的相邻两点间的距离是（ ）
2、 是的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C
D
D.与 值有关
A.
B.
C.
课堂练习
4、已知θ是三角形的一个内角，且tanθ≥-1，则θ的取值范围是（ ）
A.
3、已知 则（ ）
A.a
C
C
C.
B .
D.以上都不对
5、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区间。
｝
定义域：｛
z
k
,
6
3
k
x
\
x
?
p
+
p
?
R
值域：
z
k
,
3
k
,
3
k
?
p
+
p
p
+
p
-
）
单调递增区间：（
6
6
解：
求函数 的周期。
6、
这说明自变量 x ,至少要增加 ，函数的值才能重复取得，所以函数 的周期
是 。
解：
解法1
7、
y
x
T
A
0
解：
0
y
x
解法2
7、
答案:
求函数 的定义域、值域，并指出它的单调性、奇偶性和周期性；
8、
答案
自测练习
答案
