1.6三角函数模型的简单应用 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
　　现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述。

新课导入
1.6三角函数模型的简单应用
　　学生能够从实际问题中发现周期性变化的规律，把发现的规律抽象为恰当的三角模型，并解决相关的实际问题。

学习目标
知识与能力
　　让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力。
过程与方法
　　让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用。
情感态度与价值观
　　用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题。

学习重难点
重点：
　　从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题。
难点：
例1：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数
（2）写出这段曲线的函数解析式。
（1）求这一天的最大温差；
解：
（1）观察图象可知，这段时间的最大温差是20?C。
（2）从图中可以看出，从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ) +b的半个周期的图象，所以
因为点（6，10）是五点法作图中的第四点，故
故，所求函数解析式为
例2：画出函数y=|sinx|+sinx的图象并观察其周期。
解：函数图象如下：
观察图象可知，函数y=|sinx|+sinx的的周期是2π。





















拓展：
画出函数 的图象并观察其周期。












函数
的周期是

例3：如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度， 为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ=90?-| - δ |。当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值。
如果在北京地区（纬度数约为北纬40?）的一幢高为H的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？











太阳光

H
解：如图，A、B、C分别太阳直射北回归线、赤道、南回归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为-3?26‘，依题意两楼的间距应不小于MC。
根据太阳高度角的定义，有∠C=90?-|40?-(-23?26')|=26?34'
所以，
即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距。
　　例4：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：
时刻 水深（米） 时刻 水深（米） 时刻 水深（米）
0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0
3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5
6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值（精确到0.001）。
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，根据图象，可以考虑用函数
A=2.5,h=5,T=12, =0;
由 ，得
解：
来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：
所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00
水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 14:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00
水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
（2）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 （米），所以当y≥5.5时就可以进港.
令
由计算器计算可得

解得
解：
化简得
因为 ，所以有函数周期性易得
因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右。
解：
（3）设在时刻x船舶的安全水深为y，那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看
到在6时到7时之间两个函数图象有一个交点。
通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。
　　三角函数应用模型的三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题。

课堂小结







现实问题

现实模型
改造
三角函数模型

抽象 概括
解析式
图形







三角函数模型的解

数学 方法
还原 说明

现实模型的解

是否符合实际 修改
1、一台发电机产生的交流电的电压V和时间t之间关系的图象如下图所示,则电压V和时间t之间的函数解析式为 .
V=536sin100πt,t∈［0,+∞)

课堂练习
2、如右上图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s=6sin(2πt+ ),那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）
A.2π s
C.0.5s
B.πs
D.1s
D
3、已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记做
下表是某日各时的浪高数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，
的曲线可近似地看成是函数
(2)依据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，请根据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至18：00时这段时间内，有______个小时可供冲浪爱好者进行运动。
6
(1)根据以上数据，写出函数
的函数表达式____________。

4、如图，摩天轮的半径为50m，圆心O点距地面的高度为60m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t(min)时点P距离地面的高度
（II）求证：不论t为何值时
为定值。
（I）求在2006min时点P距离地面的高度；
解：（I）由题意可知：
即
又
得
即点P距离地面的高度为85m。
（II）由（I）知
故不论t为何值，都是定值。