2020学年高考辽宁省普通高中学业水平数学试题试卷 含解析

2020学年辽宁省普通高中学业水平数学试卷试题
一、选择题
1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（　　）
A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2}
2．已知命题p：?x∈R，x2+2x+3＞0，那么￢p是（　　）
A．?x0∈R，x02+2x0+3＞0 B．?x∈R，x2+2x+3≤0
C．?x0∈R，x02+2x0+3≤0 D．?x∈R，x2+2x+3≠0
3．“x＞3”是“x＞2”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数f（x）＝的定义域为（　　）
A．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） B．[﹣1，3]
C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
5．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（　　）
A．c﹣a＞c﹣b B．
C． D．lna＞lnb
7．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于（　　）
A．660 B．720 C．780 D．800
8．已知sinα＝﹣，α是第三象限的角，则tan2α的值为（　　）
A． B． C． D．
9．函数x的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．设M是△ABC边BC的中点，若，则λ+μ的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
11．如果棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是（　　）
A． B．3π C． D．12π
12．如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好（　　）

A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝t2
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
13．计算：＝　 　．
14．已知向量＝（2，4），＝（﹣1，1），则?＝　 　．
15．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则sinβ＝　 　．
16．设x，y为正数，则（x+y）（ + ）的最小值是　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量＝（x，2），＝（2，4）．
（Ⅰ）若∥，求实数x的值；
（Ⅱ）若||＝6，求实数x的值．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b＞c，．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若，求c．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点．
（Ⅰ）求证：EO∥平面PDC；
（Ⅱ）求证：AC⊥DE．

20．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图）．已知上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间在[60，100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．

21．如右图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinwx（A＞0，w＞0），x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S（3，2），赛道的后一部分为折线段MNP，为保证赛道运动会的安全，限定∠MNP＝120°．
（1）求A，w的值和M，P两点间的距离；
（2）如何设计，才能使这线段赛道MNP最长？





参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（　　）
A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2}
【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．
解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣1，2}，
∴A∩B＝{2}．
故选：B．
2．已知命题p：?x∈R，x2+2x+3＞0，那么￢p是（　　）
A．?x0∈R，x02+2x0+3＞0 B．?x∈R，x2+2x+3≤0
C．?x0∈R，x02+2x0+3≤0 D．?x∈R，x2+2x+3≠0
【分析】利用命题的否定命题直接求解．
解：∵命题p：?x∈R，x2+2x+3＞0，
∴￢p：?x0∈R，x02+2x0+3≤0．
故选：C．
3．“x＞3”是“x＞2”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的对于进行判断即可．
解：设A＝{x|x＞3}，B＝{x|x＞2}，
∴A?B，
∴x＞3是x＞2的充分不必要条件，
故选：B．
4．函数f（x）＝的定义域为（　　）
A．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） B．[﹣1，3]
C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
【分析】由题意（x+3）（1﹣x）≥0，解出即可得到定义域．
解：依题意，（x+3）（1﹣x）≥0，解得﹣3≤x≤1，即函数的定义域为[﹣3，1]．
故选：C．
5．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用排列的意义，先求出甲、乙、丙三名同学站成一排的排法及其甲站在中间的排法，再利用古典概型的计算公式即可得出．
解：甲、乙、丙三名同学站成一排，共有＝6种排法，其中甲站在中间的排法有以下两种：乙甲丙、丙甲乙．
因此甲站在中间的概率P＝．另解：甲在三个位置是等可能的，所以甲站在中间的概率P＝．
故选：C．
6．如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（　　）
A．c﹣a＞c﹣b B．
C． D．lna＞lnb
【分析】观察选项，利用对数函数的性质直接得出答案．
解：设f（x）＝lnx（x＞0），易知函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
又a＞b＞0，故f（a）＞f（b），即lna＞lnb，
故选：D．
7．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于（　　）
A．660 B．720 C．780 D．800
【分析】根据分层抽样的定义，建立条件关系即可得到结论．
解：∵高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，
∴，
解得n＝720，
故选：B．
8．已知sinα＝﹣，α是第三象限的角，则tan2α的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．
解：∵sinα＝﹣，α是第三象限的角，∴cosα＝﹣＝﹣，
∴tanα＝＝2，则tan2α＝＝﹣，
故选：A．
9．函数x的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】判断函数的单调性，利用f（1）与f（0）函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．
解：函数x是减函数，
f（1）＝＞0，f（3）＝﹣1＜0，
可得f（1）f（3）＜0．
由零点判定定理可知：函数x的零点所在的一个区间（1，3）．
函数只有一个零点．
故选：B．
10．设M是△ABC边BC的中点，若，则λ+μ的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【分析】根据M为向线段BC中点，以及向量线性关系可得＝+，即可求得结果．
解：如图，
则＝＝+＝+（）＝+，
所以λ+μ＝＝1，
故选：C．

11．如果棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是（　　）
A． B．3π C． D．12π
【分析】由棱长为2cm的正方体的八个顶点都在同一个球面上，知球半径R＝cm，由此能求出球的表面积．
解：∵棱长为2cm的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
∴球半径R＝＝（cm），
∴球的表面积S＝4π（）2＝12π（cm2）．
故选：D．
12．如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好（　　）

A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝t2
【分析】根据散点图，可知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长比较快，结合图象过（1，2）点，即可得到结果．
解：由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过（1，2）点，
∴图象由指数函数来模拟比较好，
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
13．计算：＝　1　．
【分析】利用对数的性质和运算法则求解．
解：＝lg5﹣lg2+2lg2＝lg5+lg2＝1，
故答案为：1．
14．已知向量＝（2，4），＝（﹣1，1），则?＝　2　．
【分析】进行数量积的坐标运算即可．
解：∵，
∴．
故答案为：2．
15．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则sinβ＝　　．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinβ的值．
解：平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，
若，则sinβ＝﹣sinα＝﹣，
故答案为：﹣．
16．设x，y为正数，则（x+y）（ + ）的最小值是　9　．
【分析】先将计算得出5+，后两项利用基本不等式求和的最小值，得出原式的最小值．
解：∵x，y为正数，∴＝5+≥5+2＝5+2×2＝9，
当且仅当时．取到最小值9．
故答案为：9．
三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量＝（x，2），＝（2，4）．
（Ⅰ）若∥，求实数x的值；
（Ⅱ）若||＝6，求实数x的值．
【分析】（Ⅰ）根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得若∥，则有4x＝4，解可得x的值，即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，求出向量+的坐标，进而由向量模的计算公式可得||＝＝6，解可得x的值，即可得答案．
解：（Ⅰ）根据题意，向量＝（x，2），＝（2，4）．
若∥，则有4x＝4，
解可得：x＝1；
（Ⅱ）根据题意，向量＝（x，2），＝（2，4）．
则（+）＝（x+2，6），
则||＝＝6，
解得x＝﹣2．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b＞c，．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若，求c．
【分析】（I）由已结合正弦定理可求sinB，进而可求B，
（Ⅱ）结合余弦定理即可求解．
解：（Ⅰ） 因为c﹣2bsin C＝0，
所以sin C﹣2sin Bsin C＝0．
因为0＜C＜π，所以sin C≠0，
所以sinB＝．
因为0＜B＜π，且a＞b＞c，
所以B＝，
（Ⅱ）因为b＝，a＝2，
所以由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accos B，
得（）2＝c 2+4﹣2 c×2×，即c 2﹣2 c+1＝0．
所以 c＝1．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点．
（Ⅰ）求证：EO∥平面PDC；
（Ⅱ）求证：AC⊥DE．

【分析】（Ⅰ）推导出EO∥PD，由此能证明EO∥平面PDC．
（Ⅱ）推导出AC⊥BD，PD⊥AC，从而AC⊥平面PDB，由此能证明AC⊥DE．
【解答】证明：（Ⅰ）∵E，O点分别是PB，DB中点，
∴EO∥PD，
∵PD?平面PDC，EO?平面PDC，
∴EO∥平面PDC．
（Ⅱ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又∵PD底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB，
∵DE?平面PDB，∴AC⊥DE．

20．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图）．已知上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间在[60，100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．

【分析】（I）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值．
（II）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可．
解：（Ⅰ）由直方图可得到20x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20＝1．
所以x＝0.0125．
（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间在[60，100]的频率为0.003×2×20＝0.12．
所以估计全校新生上学所需时间在[60，100]的概率为0.12．
因为800×0.12＝96．
所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿．
21．如右图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinwx（A＞0，w＞0），x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S（3，2），赛道的后一部分为折线段MNP，为保证赛道运动会的安全，限定∠MNP＝120°．
（1）求A，w的值和M，P两点间的距离；
（2）如何设计，才能使这线段赛道MNP最长？

【分析】（1）由最高点S的坐标，周期公式，两点间距离公式，可求A，w的值和M，P两点间的距离；
（2）在△MNP中设∠PMN＝θ，由正弦定理可得NP+MN＝sin（θ+60°），由0°＜θ＜60°可知当θ＝30°时，折线段MNP最长．
解：（1）依题意，有A＝2，，又T＝，∴，∴，
当x＝4时，y＝2sin＝3．∴M（4，3），又P（8，0），
∴MP＝＝5．
（2）在△MNP中∠MNP＝120°，MP＝5，设∠PMN＝θ，则0°＜θ＜60°，
由正弦定理得，
∴NP＝sinθ，MN＝sin（60°﹣θ）
故NP+MN＝sinθ+sin（60°﹣θ）＝（sinθ+）＝sin（θ+60°）
∵0°＜θ＜60°
∴当θ＝30°时，折线段MNP最长，亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段MNP最长．