磁聚焦(二)PDF版含答案

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磁聚焦(培优二)
1．如图所示，在 xOy坐标系中分布着四个有界场区，在第三象限的 AC左下方存在垂直纸
面向里的匀强磁场 B1＝0.5T，AC是直线 y＝﹣x﹣0.425（单位：m）在第三象限的部分，
另一沿 y 轴负向的匀强电场左下边界也为线段 AC 的一部分，右边界为 y 轴，上边界是
满足 y＝﹣10x2﹣x﹣0.025（单位：m）的抛物线的一部分，电场强度 E＝2.5N/C．在第
二象限有一半径为 r＝0.1m 的圆形磁场区域，磁感应强度 B2＝1T，方向垂直纸面向里，
该区域同时与 x 轴、y 轴相切，切点分别为 D、F．在第一象限的整个空间存在垂直纸面
向外的匀强磁场，磁感应强度 B3＝1T．另有一厚度不计的挡板 PQ 垂直纸面放置，其下
端坐标 P（0.1m，0.1m），上端 Q在 y轴上，且∠PQF＝30°．现有大量 m＝1×10﹣6kg，
q＝﹣2×10﹣4C 的粒子（重力不计）同时从 A点
沿 x 轴负向以 v0射入，且 v0取 0＜v0＜20m/s 之
间的一系列连续值，并假设任一速度的粒子数占
入射粒子总数的比例相同。
（1）求所有粒子从第三象限穿越 x轴时的速度；
（2）设从 A点发出的粒子总数为 N，求最终打在
挡板 PQ右侧的粒子数 N′。
【答案】（1）所有粒子从第三象限穿越 x轴时的速度为 20m/s；
（2）设从 A点发出的粒子总数为 N，最终打在挡板 PQ右侧的粒子数 N′为 。
【解析】
（1）设某速度为 v0的粒子从 A 点入射后到
达 AC 上的 G 点，因 v0与 AC 成 45°角，
其对应圆心角为 90°，即恰好经过四分之一
圆周，故到达 G点时速度仍为 v0，方向沿 Y
轴正向。
粒子在电场中沿 Y轴正向加速运动，设 G点
坐标为 G（x，y），刚好穿出电场时坐标为
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（x，y1），粒子穿出电场时速度为 v1，在电场中运动的过程中，由动能定理得：
而
y＝﹣x﹣0.425
又
代入数据解得 v1＝20m/s，可见粒子穿出电场时速度大小与 x无关。
因 v0＜20m/s，由 代入数据得：R＜0.2m
由数学知识可知，k 点坐标为 k（﹣0.2m，﹣0.225m），故从 A 点射出的所有粒子均从
AK 之间以 20m/s的速度沿 Y轴正向射出电场，在到达 X轴之前粒子作匀速直线运动，
故所有粒子从第三象限穿越 X轴时的速度大小均为 20m/s的速度沿 Y轴正向。
（2）因为 r＝0.1m，故离子束射入 B2时，离子束宽度刚好与 2r相等，设粒子在 B2中运
动轨道半径为 R2， ，解得 R2＝r＝0.1m
考查从任一点 J进入 B2的粒子，设从 H 穿出 B2磁场，四边形 JO2HO1为菱形，又因为
JO2水平，而 JO2∥HO1，故 H 应与 F重合，即所有粒子经过 B2后全部从 F点离开 B2
进入 B3磁场。
对 v0趋于 20m/s 的粒子，圆心角∠JO2F→180°，故射入 B3时速度趋于 Y 轴负向；对
v0趋于 0 的粒子，圆心角∠JO2F→0°，故射入 B3时速度趋于 Y轴正向，即进入 B3的
所有粒子速度与 Y轴正向夹角在 0～180°角之间。
由于 B3＝B2，所以 R3＝R2，由几何关系知：
无限靠近 Y轴负向射入的粒子轨迹如图所示，最终打在 PQ板的右侧 O3；
与 Y轴负向成 60°角的粒子刚好经过 P点到达 Q点；
因此与 Y轴正向在 0～120°角之间从 F点射出的粒子要么打在 PQ板的左侧，要么打不
到板上而穿越 Y轴离开 B3．由于是“大量”粒子，忽略打在 P或 Q 的临界情况，所以
最终打在挡板 PQ 右侧的粒子数
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2．如图所示，在 xOy平面内，以 O′(0，R)为圆心，R为半径的圆内有垂直平面向外的匀强
磁场，x轴下方有垂直平面向里的匀强磁场，两区域磁感应强度大小相等．第四象限有一与
x轴成 45°角倾斜放置的挡板 PQ，P，Q两点在坐标轴上，且 O，P两点间的距离大于 2R，
在圆形磁场的左侧 0当所有粒子均沿 x轴正向以速度 v射入圆形磁场区域
时，粒子偏转后都从 O点进入 x轴下方磁场，结果有
一半粒子能打在挡板上．不计粒子重力，不考虑粒子
间相互作用力．求：
(1)磁场的磁感应强度 B的大小；
(2)挡板端点 P的坐标；
(3)挡板上被粒子打中的区域长度．
【答案】（1）
mv
qR
(2) ( 2 1) ,0R? ??? ? (3)
2 10 4 2
2
R? ?
【解析】
（1）设一粒子自磁场边界 A点进入磁场，该粒子由 O点射出圆形磁场，轨迹如图甲所示，
过 A点做速度的垂线长度为 r,C为该轨迹圆的圆心.连接 AOˊ、CO，可证得 ACOOˊ为菱形，
根据图中几何关系可知：粒子在圆形磁场中的轨道半径 r=R，
由
2vqvB m
r
?
得：
mvB
qR
?
（2）有一半粒子打到挡板上需满足从 O点射出的沿 x轴负方向的粒子、沿 y轴负方向的粒
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子轨迹刚好与挡板相切，如图乙所示，过圆心 D做挡板的垂线交于 E点
2DP R? ( 2 1)OP R? ?
P点的坐标为（ ( 2 1)R? ，0 ）
（3）设打到挡板最左侧的粒子打在挡板上的 F点，如图丙所示，OF=2R ①
过 O点做挡板的垂线交于 G点，
2 2( 2 1) (1 )
2 2
OG R R? ? ? ? ? ②
2 2 5-2 2=
2
FG OF OG R? ? ③
2
2
EG R? ④
挡板上被粒子打中的区域长度
l=FE= 2
2
R + 5-2 2
2
R =
2+ 10-4 2
2
R⑤