2019-2020学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等六校高二第一学期期末数学理科试卷及答案 解析版

2019-2020学年高二第一学期期末数学理科试卷
一、选择题（本题共12小题）
1．已知点的极坐标为那么它的直角坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．函数y＝x﹣的导数是（　　）
A．1﹣ B．1﹣ C．1+ D．1+
3．已知双曲线﹣＝1（a＞0）的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则a＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
4．下列命题中错误的是（　　）
A．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题是真命题
B．命题“?x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是“?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1”
C．若a2﹣4≥0为真命题，则a≥2为真命题
D．在△ABC中“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件
5．f′（x）是f（x）的导函数，若f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
6．若曲线f（x）＝x3﹣ax2+b在点（1，f（1））处切线的倾斜角为，则a等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣1
7．已知函数f（x）＝x+blnx在区间（0，2）上不是单调函数，则b的取值范围是（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣∞，0） D．（﹣2，+∞）
8．若函数f（x）＝2x3﹣3ax2+1在区间（0，+∞）内有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（1，2）
9．过双曲线x2﹣＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
10．已知函数f（x）在R上可导，且f（x）＝x2+2xf′（2），则函数f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝x2+8x B．f（x）＝x2﹣8x C．f（x）＝x2+2x D．f（x）＝x2﹣2x
11．如果函数f（x）＝满足：对于任意的x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤a2恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣] B．[﹣]
C．（﹣] D．（﹣]∪[）
12．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，e3﹣4] B．[0，+2]
C．[+2，e3﹣4] D．[e3﹣4，+∞）
二、填空题（共4*5＝20分）
13．设函数f（x）＝x﹣cosx，则y＝f（x）在点P（0，﹣1）处的切线方程为　 　．
14．函数f（x）＝xe﹣x的单调递减区间是　 　．
15．已知函数f（x）是奇函数，f（2）＝0，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf'（x）＞0，
则不等式f（x）＜0的解集为　 　．
16．对于函数y＝f（x），若其定义域内存在不同实数x1，x2，使得xif（xi）＝1（i＝1，2）成立，则称函数f（x）具有性质P，若函数f（x）＝具有性质P，则实数a的取值范围为　 　．
三、解答题（第17题10分，18-22每题12分，共70分）
17．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2cosθ（ρ∈R）．
（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）若过原点的直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点A，B，求|AB|的最大值．
18．设命题p：函数f（x）＝+x2+9x无极值．命题q：（x﹣k）（x﹣k+1）＜0，
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．
19．在圆O：x2+y2＝4上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M形成轨迹C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）若直线y＝x与曲线C交于AB两点，Q为曲线C上一动点，求△ABQ面积的最大值．
20．设函数f（x）＝lnx﹣x2+x．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[，e]上的最大值．
21．已知函数f（x）＝x3﹣x2+cx+d有极值．
（Ⅰ）求c的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x＝2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围．
22．已知函数f（x）＝﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．
（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞a，恒成立，若存在求出a的取值范围，若不存在，说明理由．




参考答案
一、单选题（共12*5＝60分）
1．已知点的极坐标为那么它的直角坐标为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可得出直角标准．
解：点的极坐标为，可得它的直角坐标x＝2＝﹣1，y＝2＝．即．
故选：C．
2．函数y＝x﹣的导数是（　　）
A．1﹣ B．1﹣ C．1+ D．1+
【分析】根据导数的公式，即可得到结论．
解：∵y＝x﹣，
∴y′＝1+，
故选：C．
3．已知双曲线﹣＝1（a＞0）的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则a＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
【分析】根据题意，由抛物线的标准方程可得其焦点坐标，再结合双曲线的几何性质可得a2+b2＝c2＝4，计算可得a2的值，化简即可得答案．
解：根据题意，抛物线的方程为y2＝8x，其焦点在x轴正半轴上，且p＝4，
则其焦点坐标为（2，0），
双曲线﹣＝1（a＞0）的一个焦点为（2，0），即c＝2，
则有a2+b2＝c2＝4，
又由b2＝3，
则a2＝c2﹣b2＝1，
又由a＞0，即a＝1，
故选：A．
4．下列命题中错误的是（　　）
A．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题是真命题
B．命题“?x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是“?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1”
C．若a2﹣4≥0为真命题，则a≥2为真命题
D．在△ABC中“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件
【分析】由互为逆否命题的两个命题共真假判断A；写出特称命题的否定判断B；求解一元二次不等式判断C；由大边对大角及正弦定理可得A＞B?a＞b?sinA＞sinB，再由充分必要条件的判定方法判断D．
解：命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，则其逆否命题是真命题，故A正确；
命题“?x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是“?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1”，故B正确；
若a2﹣4≥0为真命题，则a≤﹣2或a≥2，故C错误；
在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB，则“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，故D正确．
∴错误的命题是C．
故选：C．
5．f′（x）是f（x）的导函数，若f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】首先观察函数的图象，y＝f′（x）与x轴的交点即为f（x）的极值点，然后根据函数与其导数的关系进行判断．
解：由图可以看出函数y＝f′（x）的图象是一个二次函数的图象，
在（﹣∞，0），f′（x）＞0，f（x）递增，
在（0，x1），f′（x）＜0，f（x）递减，
在（x1，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，
f（0）是极大值，f（x1）是极小值，
故选：C．
6．若曲线f（x）＝x3﹣ax2+b在点（1，f（1））处切线的倾斜角为，则a等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣1
【分析】求得导函数，利用f（x）＝x3﹣ax2+b在点（1，f（1））处切线的倾斜角为，可得f′（1）＝﹣1，由此可求a的值．
解：求导函数可得f′（x）＝3x2﹣2ax
∵函数f（x）＝x3﹣ax2+b在x＝1处的切线倾斜角为，
∴f′（1）＝﹣1，
∴3﹣2a＝﹣1，
∴a＝2．
故选：A．
7．已知函数f（x）＝x+blnx在区间（0，2）上不是单调函数，则b的取值范围是（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣∞，0） D．（﹣2，+∞）
【分析】求出函数的导数，问题转化为函数y＝x和y＝﹣b在（0，2）有解，求出b的范围即可．
解：f′（x）＝1+＝，
若函数f（x）在区间（0，2）上不是单调函数，
则函数y＝x和y＝﹣b在（0，2）有解，
故b∈（﹣2，0），
故选：A．
8．若函数f（x）＝2x3﹣3ax2+1在区间（0，+∞）内有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（1，2）
【分析】根据函数的导函数f'（x）＝6x2﹣6ax＝6x（x﹣a），由f'（x）＞0和f'（x）＜0的解的情况，分类讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，要使得f（x）在区间（0，+∞）内有两个零点，必须使得f（x）的极小值＜0，从而求得a的取值范围．
解：f'（x）＝6x2﹣6ax＝6x（x﹣a）．
①当a≤0时，若x∈（0，+∞），则f'（x）＞0，此时f（x）在∈（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点；
②当a＞0时，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增，因为f（0）＝1＞0，若函数在区间（0，+∞）内有两个零点，有f（a）＝2a3﹣3a3+1＝1﹣a3＜0，得a＞1．
故实数a的取值范围为（1，+∞）．
故选：B．
9．过双曲线x2﹣＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【分析】双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，做出直线与双曲线交点的纵标，得到也是一条长度等于4的线段．
解：∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，
∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于4，
当直线与实轴垂直时，有3﹣，解得y＝±2，
∴此时直线AB的长度是4，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条．
综上可知有三条直线满足|AB|＝4，
故选：C．
10．已知函数f（x）在R上可导，且f（x）＝x2+2xf′（2），则函数f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝x2+8x B．f（x）＝x2﹣8x C．f（x）＝x2+2x D．f（x）＝x2﹣2x
【分析】先对函数f（x）求导，然后将x＝2代入可得答案．
解：∵f（x）＝x2+2xf′（2），
∴f′（x）＝2x+2f′（2）
∴f′（2）＝2×2+2f′（2），解得：f′（2）＝﹣4
∴f（x）＝x2﹣8x，
故选：B．
11．如果函数f（x）＝满足：对于任意的x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤a2恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣] B．[﹣]
C．（﹣] D．（﹣]∪[）
【分析】可通过导数求得f（x）＝在x∈[0，2]上的最小值与最大值，从而可得a2≥|f（x）最大值﹣f（x）最小值|，a的取值范围可求得．
解：∵f′（x）＝x2﹣1，
∴当0＜x＜1，f′（x）＜0，
当1＜x＜2，f′（x）＞0，
∴f（x）＝在x＝1时取到极小值，也是x∈[0，2]上的最小值，即f（x）极小值＝f（1）＝﹣＝f（x）最小值，
又f（0）＝0，f（2）＝，
∴在x∈[0，2]上，f（x）最大值＝f（2）＝，
∵对于任意的x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤a2恒成立，
∴只需a2≥|f（x）最大值﹣f（x）最小值|＝﹣（﹣）＝，
∴a≥或a≤﹣．
故选：D．
12．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，e3﹣4] B．[0，+2]
C．[+2，e3﹣4] D．[e3﹣4，+∞）
【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）＝x3﹣3lnx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．
解：根据题意，若函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，
则方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在区间[，e]上有解，
﹣x3+1+a＝﹣3lnx?a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，
设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数g′（x）＝3x2﹣＝，
又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，
分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，
又由g（）＝+3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），
故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，
故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；
若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，
必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，
即a的取值范围是[0，e3﹣4]；
故选：A．
二、填空题（共4*5＝20分）
13．设函数f（x）＝x﹣cosx，则y＝f（x）在点P（0，﹣1）处的切线方程为　x﹣y﹣1＝0　．
【分析】求出函数的导数，计算f′（0），求出切线方程即可．
解：由题意知，f'（x）＝1+sinx，
则切线的斜率k＝f'（0）＝1，
∴切线的方程为y﹣（﹣1）＝x﹣0，
即 x﹣y﹣1＝0，
故答案为：x﹣y﹣1＝0．
14．函数f（x）＝xe﹣x的单调递减区间是　（1，+∞）　．
【分析】熟记乘积的函数的导数公式即可．导数小于0的解集且在定义域内为函数的单调递减区间．
解：f'（x）＝e﹣x+xe﹣x（﹣x）'＝（1﹣x）e﹣x，
x＜1，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
x＞1，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
故答案为：（1，+∞）．
15．已知函数f（x）是奇函数，f（2）＝0，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf'（x）＞0，
则不等式f（x）＜0的解集为　（﹣2，0）∪（2，+∞）　．
【分析】根据题意，设g（x）＝xf（x），求出其导数分析可得g（x）在（﹣∞，0）上为减函数，又由f（2）＝0分析可得g（﹣2）＝0，结合函数g（x）的单调性可得区间（﹣∞，﹣2）上，g（x）＝xf（x）＜0，在（﹣2，0）上，g（x）＝xf（x）＞0，则区间（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0，在（﹣2，0）上，f（x）＜0，又由f（x）为奇函数，分析可得答案．
解：根据题意，设g（x）＝xf（x），其导数g′（x）＝f（x）+xf'（x），
又由x∈（﹣∞，0）时，则g（x）在（﹣∞，0）上为减函数，若f（2）＝0，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，g（﹣2）＝（﹣2）f（﹣2）＝0，
在区间（﹣∞，﹣2）上，g（x）＝xf（x）＜0，在（﹣2，0）上，g（x）＝xf（x）＞0，
则区间（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0，在（﹣2，0）上，f（x）＜0，
又由函数f（x）是奇函数，则区间（0，2）上，f（x）＞0，在（2，+∞）上，f（x）＜0，
综合可得：不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）；
故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
16．对于函数y＝f（x），若其定义域内存在不同实数x1，x2，使得xif（xi）＝1（i＝1，2）成立，则称函数f（x）具有性质P，若函数f（x）＝具有性质P，则实数a的取值范围为　　．
【分析】由题意将条件转化为：方程xex＝a在R上有两个不同的实数根，设g（x）＝xex并求出g′（x），由导数与函数单调性的关系，判断出g（x）在定义域上的单调性，求出g（x）的最小值，结合g（x）的单调性、最值、函数值的范围画出大致的图象，由图象求出实数a的取值范围．
解：由题意知：若f（x）具有性质P，
则在定义域内xf（x）＝1有两个不同的实数根，
∵，∴，
即方程xex＝a在R上有两个不同的实数根，
设g（x）＝xex，则g′（x）＝ex+xex＝（1+x）ex，
由g′（x）＝0得，x＝﹣1，
∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，+∞）上递增，
∴当x＝﹣1时，g（x）取到最小值是g（﹣1）＝，
∵x＜0，g（x）＜0、x＞0，g（x）＞0，
∴当方程xex＝a在R上有两个不同的实数根时，
即函数g（x）与y＝a的图象有两个交点，
由图得，
∴实数a的取值范围为，
故答案为：．

三、解答题（第17题10分，18-22每题12分，共70分）
17．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2cosθ（ρ∈R）．
（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）若过原点的直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点A，B，求|AB|的最大值．
【分析】（1）利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
解：（1）曲线C1：（α为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1．
曲线C2：ρ＝2cosθ（ρ∈R），转换为直角坐标方程为．
（2）曲线C1：（α为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1．转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．
若过原点的直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点A，B，
所以|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝||＝4≤4，当时，取得最大值．
18．设命题p：函数f（x）＝+x2+9x无极值．命题q：（x﹣k）（x﹣k+1）＜0，
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．
【分析】（1）根据f（x）的导函数为二次函数，且开口向上，说明导函数无零点即判别式△＜0．
（2）根据充要条件的定义，用集合观点处理即可．
解：（1）p真时，则f'（x）＝x2+3（3﹣a）x+9≥0恒成立，
∴△＝9（3﹣a）2﹣36≤0得1≤a≤5．
（2）q真：k﹣1＜x＜k，设集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|k﹣1＜x＜k}
∵￢p是￢q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，即B?A．
则有
所以2≤k≤5．
19．在圆O：x2+y2＝4上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M形成轨迹C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）若直线y＝x与曲线C交于AB两点，Q为曲线C上一动点，求△ABQ面积的最大值．
【分析】（1）设出M点的坐标，由M为线段PD的中点得到P的坐标，把P的坐标代入圆x2+y2＝4整理得线段PD的中点M的轨迹方程；
（2）联立直线y＝x和椭圆，求出AB的长；设过Q且与直线y＝x平行的直线为y＝x+t，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，求出t，和两平行直线间的距离，再由面积公式，即可得到最大值．
解：（1）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y1）
∵M为线段PD的中点，∴y1+0＝2y，y1＝2y．
又∵P（x，y1）在圆x2+y2＝4上，∴x2+y12＝4，
∴x2+4y2＝4，即+y2＝1．
∴轨迹C为椭圆，且方程为；
（2）联立直线y＝x和椭圆，得到5x2＝4，即x＝，
即有A（），B（﹣，﹣），
|AB|＝．
设过Q且与直线y＝x平行的直线为y＝x+t，
当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，
将y＝x+t，代入椭圆方程，得5x2+8tx+4t2﹣4＝0，由相切的条件得，
△＝64t2﹣4×5×（4t2﹣4）＝0，解得，t＝，
则所求直线为y＝x+或y＝x﹣，故与直线y＝x的距离为．
则△ABQ面积的最大为S＝××＝2．
20．设函数f（x）＝lnx﹣x2+x．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[，e]上的最大值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的单调区间，得到函数的最大值和最小值即可．
解：（I）因为f（x）＝lnx﹣x2+x其中x＞0，
所以f'（x）＝﹣2x+1＝，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．
（II）由（I）f（x）在[，1]单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max＝f（1）＝0．
21．已知函数f（x）＝x3﹣x2+cx+d有极值．
（Ⅰ）求c的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x＝2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围．
【分析】（I）由已知中函数解析式f（x）＝x3﹣x2+cx+d，我们易求出导函数f′（x）的解析式，然后根据函数f（x）＝x3﹣x2+cx+d有极值，方程f′（x）＝x2﹣x+c＝0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x＝2处取得极值，则f′（2）＝0，求出满足条件的c值后，可以分析出函数f（x）＝x3﹣x2+cx+d的单调性，进而分析出当x＜0时，函数的最大值，又由当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，可以构造出一个关于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范围．
【解答】解（Ⅰ）∵f（x）＝x3﹣x2+cx+d，
∴f′（x）＝x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）＝x2﹣x+c＝0有两个实数解，
从而△＝1﹣4c＞0，
∴c＜．
（Ⅱ）∵f（x）在x＝2处取得极值，
∴f′（2）＝4﹣2+c＝0，
∴c＝﹣2．
∴f（x）＝x3﹣x2﹣2x+d，
∵f′（x）＝x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1），
∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．
∴x＜0时，f（x）在x＝﹣1处取得最大值，
∵x＜0时，f（x）＜恒成立，
∴＜，即（d+7）（d﹣1）＞0，
∴d＜﹣7或d＞1，
即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．
22．已知函数f（x）＝﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．
（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞a，恒成立，若存在求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），当 a＝1 时，求导函数，确定函数的单调性，从而可得f（x）的最小值；
（Ⅱ）∵，根据 a≤0，将﹣a与2进行比较，分类讨论，从而可确定函数 f（x） 的单调性；
（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的 x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有恒成立，不妨设0＜x1＜x2，只要，即：f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1，构建函数（x）＝f（x）﹣ax，只要 g（x）在（0，+∞）为增函数，即使g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，从而可确定是否存在实数a
解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a＝1 时，
∴当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，x∈（2，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x＝2时取得极小值且为最小值，其最小值为 f（2）＝﹣2ln2
（Ⅱ）∵，
∴（1）当﹣2＜a≤0时，若x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（﹣a，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当a＝﹣2时，x∈（0，+∞）时，f（x）为增函数；
（3）当a＜﹣2时，x∈（0，2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（2，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数
（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的 x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有恒成立，
不妨设0＜x1＜x2，只要，即：f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1
令g（x）＝f（x）﹣ax，只要 g（x）在（0，+∞）为增函数
又函数．
考查函数
要使g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，只要﹣1﹣2a≥0，即，
故存在实数a时，对任意的 x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有恒成立，