2019-2020学年陕西省宝鸡市金台区高二上学期期末数学理科试卷及答案 解析版

2019-2020学年高二第一学期期末数学理科试卷
一、选择题
1．命题“若a＞3，则a＞6”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
2．若向量，，则＝（　　）
A． B． C．3 D．
3．命题“存在x0∈R，使得lnx0≤”的否定是（　　）
A．对任意的x∈R，lnx＞成立
B．对任意的x∈R，lnx≤成立
C．存在x0∈R，使得lnx0＞成立
D．不存在x0∈R，使得lnx0＞成立
4．对于实数a，b，则“a＜b＜0”是“＜1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知双曲线C：﹣＝1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆+＝1有公共焦点，则C的方程为（　　）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣＝1 D．﹣＝1
6．给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a＝﹣1，则函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题；
③若p是q的必要条件，则￢p是￢q的充分条件；
④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．
其中正确的命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P是MN的中点，设＝，＝，＝，用，，表示，则（　　）

A．＝++ B．＝++
C．＝++ D．＝++
8．若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
9．已知方程+＝1的曲线为C，下面四个命题中正确的个数是（　　）
①当1＜t＜4时，曲线C一定是椭圆；
②当t＞4或t＜1时，曲线C一定是双曲线；
③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜；
④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t＞4．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．命题为“?x∈[1，2]，2x2﹣a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A．a≤1 B．a≤2 C．a≤3 D．a≤4
11．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1B与B1C角的余弦值是（　　）

A． B． C． D．0
12．已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．抛物线的准线方程为　 　．
14．若＝（2，3，m），＝（2n，6，8）且，为共线向量，则m+n＝　 　．
15．已知p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：|x+1|≥2，命题“p∧q”为真，则实数x的取值范围是　 　．
16．已知两定点A（﹣2，0）、B（2，0），点P在椭圆上，且满足|PA|﹣|PB|＝2，则＝　 　．
三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（17分）写出命题“若x2﹣3x+2≠0，则x≠1且x≠2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
18．（17分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣，0），F2（，0），且该椭圆过点（，）．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若椭圆C 上的点M（x0，y0） 满足MF1⊥MF2，求y0 的值．
19．（18分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝，一动圆P与直线x＝﹣相切且与圆C外切．
（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；
（2）过F（1，0）作直线l，交（1）中轨迹E于A，B两点，若AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．
20．（18分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．
（1）求证：AA1⊥平面ABC；
（2）求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
（3）求点C到平面A1BC1的距离．





参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“若a＞3，则a＞6”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
【分析】根据四种命题的关系写出答案即可．
解：在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否命题同真同假．
∵命题“若a＞3，则a＞6”为假命题；逆命题是真命题，
∴命题的否命题为真命题，
故选：B．
2．若向量，，则＝（　　）
A． B． C．3 D．
【分析】利用向量坐标运算法则求解＝（3，0，﹣1），由此能求出的值．
解：∵向量，，
∴＝（3，0，﹣1），
∴＝＝．
故选：D．
3．命题“存在x0∈R，使得lnx0≤”的否定是（　　）
A．对任意的x∈R，lnx＞成立
B．对任意的x∈R，lnx≤成立
C．存在x0∈R，使得lnx0＞成立
D．不存在x0∈R，使得lnx0＞成立
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果判断即可．
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x0∈R，使得lnx0≤”
的否定是对任意的x∈R，lnx＞成立．
故选：A．
4．对于实数a，b，则“a＜b＜0”是“＜1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用不等式的基本性质，结合字母的特殊值排除错误选项，确定正确选项即可．
解：若a＜b＜0，可得＞，即＜1，故“a＜b＜0”是“＜1”的充分条件，
由＜1，不能得到a＜b＜0，如a＝﹣1，b＝3，满足＜1，但a＜0＜b，
故“a＜b＜0”是“＜1”的不必要条件．
∴对于实数a，b，“a＜b＜0”是“＜1”的充分不必要条件．
故选：A．
5．已知双曲线C：﹣＝1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆+＝1有公共焦点，则C的方程为（　　）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣＝1 D．﹣＝1
【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
解：椭圆+＝1的焦点坐标（±3，0），
则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c＝3，
双曲线C：﹣＝1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，
可得，即，可得＝，解得a＝2，b＝，
所求的双曲线方程为：﹣＝1．
故选：B．
6．给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a＝﹣1，则函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题；
③若p是q的必要条件，则￢p是￢q的充分条件；
④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．
其中正确的命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用复合命题的真假判断①的正误；四种命题的逆否关系判断②的正误；充要条件判断③的正误；充要条件判断④的正误；
解：①若“p且q”为假命题，说明p、q至少一个是假命题；所以①不正确；
②命题“若a＝﹣1，则函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点，则a＝﹣1，或a＝0，所以②不是真命题；
③若p是q的必要条件，可得q?p，则￢p?￢q，所以￢p是￢q的充分条件；所以③正确；
④对于④，在△ABC中，若A＞B，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A，若A，B都是锐角，有sinA＞sinB成立．
若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π﹣A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A≤，
此时有sin（π﹣A）＝sinA＞sinB．
若sinA＞sinB，当A不是锐角时，有A＞B．当A为锐角时，仍可得到A＞B．
∴A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故命题④正确．
故选：B．
7．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P是MN的中点，设＝，＝，＝，用，，表示，则（　　）

A．＝++ B．＝++
C．＝++ D．＝++
【分析】如图所示，连接ON．由M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P是MN的中点，利用三角形法则、平行四边形法则即可得出．
解：如图所示，连接ON
∵M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P是MN的中点，
∴＝（+），＝＝，＝（+）＝（+），
∴＝++．
故选：D．

8．若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
【分析】求出抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，椭圆的焦点，利用相等求出p．
解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是（，0），+＝1的一个焦点是（，0），
由，得p＝12．
故选：D．
9．已知方程+＝1的曲线为C，下面四个命题中正确的个数是（　　）
①当1＜t＜4时，曲线C一定是椭圆；
②当t＞4或t＜1时，曲线C一定是双曲线；
③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜；
④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t＞4．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用二元二次方程，通过t的范围，判断圆锥曲线的真假即可．
解：①当1＜t＜4时，曲线C，+＝1，当t＝2.5，表示圆，所以①不正确；
②当t＞4或t＜1时，曲线C一定是双曲线，所以②正确；
③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜；所以③正确；
④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t＞4，所以④正确，
故选：C．
10．命题为“?x∈[1，2]，2x2﹣a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A．a≤1 B．a≤2 C．a≤3 D．a≤4
【分析】求出对?x∈[1，2]，2x2﹣a≥0恒成立的a的取值范围，然后结合充分必要条件的判定逐一分析四个选项得答案．
解：由2x2﹣a≥0，得a≤2x2，
函数y＝2x2在[1，2]上的最小值为2．
若对?x∈[1，2]，2x2﹣a≥0成立，则a≤2．
∴由a≤1，得a≤2成立，反之不成立，
则a≤1是“?x∈[1，2]，2x2﹣a≥0”为真命题的一个充分不必要条件；
a≤2是“?x∈[1，2]，2x2﹣a≥0”为真命题的一个充分必要条件；
a≤3与a≤4是“?x∈[1，2]，2x2﹣a≥0”为真命题的不充分条件．
故选：A．
11．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1B与B1C角的余弦值是（　　）

A． B． C． D．0
【分析】连接AB1，交A1B于点O，取AC中点为E，连接OE，BE，则∠BOE是异面直线A1B与B1C所成角或补角，由此能求出异面直线A1B与B1C角的余弦值．
解：连接AB1，交A1B于点O，取AC中点为E，连接OE，BE，
则∠BOE是异面直线A1B与B1C所成角或补角，
由三角形中位线性质可知OE∥B1C，OE＝B1C＝＝，
又OB＝＝＝，BE＝＝，
在三角形△BOE中，
由余弦定理可得：
cos∠BOE＝＝，
所以异面直线A1B与B1C角的余弦值是．
故选：C．

12．已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用椭圆方程为标准方程，根据∠ABF＝90°可知AF2＝AB2+BF2，再根据a，b和c的关系求解椭圆的离心率．
解：由b2x2+a2y2＝1（a＞b＞0），椭圆C：，
作出椭圆图象如图：
则AF＝a+c，AB＝，BF＝a．
由题意可得：AF2＝AB2+BF2，
∴（a+c）2＝a2+b2+b2+c2，
∴a2﹣c2＝ac，?e2+e﹣1＝0．
∴e＝（负值舍去）．
故选：A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．抛物线的准线方程为　y＝1　．
【分析】化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．
解：由，得x2＝﹣4y，
∴2p＝4，即p＝2，
则抛物线的准线方程为y＝＝1．
故答案为：y＝1．

14．若＝（2，3，m），＝（2n，6，8）且，为共线向量，则m+n＝　6　．
【分析】，为共线向量，，即可求出m、n
解：＝（2，3，m），＝（2n，6，8）且，为共线向量，∴，∴∴m+n＝6
故答案为：6
15．已知p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：|x+1|≥2，命题“p∧q”为真，则实数x的取值范围是　[1，3]　．
【分析】分别解出p，q的x的范围，再利用命题“p∧q”为真即可得出．
解：p：（x+2）（x﹣3）≤0，解得﹣2≤x≤3．
q：|x+1|≥2，解得x≥1或x≤﹣3．
命题“p∧q”为真，∴，解得1≤x≤3．
则实数x的取值范围是[1，3]．
故答案为：[1，3]．
16．已知两定点A（﹣2，0）、B（2，0），点P在椭圆上，且满足|PA|﹣|PB|＝2，则＝　9　．
【分析】判断A、B是椭圆的焦点坐标，利用椭圆的性质求出|PA|，|PB|，然后利用向量的数量积求解即可．
解：由题意两定点A（﹣2，0）、B（2，0），点P在椭圆上，
可知AB是椭圆的焦点坐标，所以|PA|+|PB|＝8，|PA|﹣|PB|＝2，解得|PA|＝5，|PB|＝3，AB＝4所以△ABP是直角三角形，可得：＝＝9．
故答案为：9．

三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（17分）写出命题“若x2﹣3x+2≠0，则x≠1且x≠2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
【分析】根据原命题“若p，则q”，写出它的逆命题若q，则p，否命题若￢p，则￢q与逆否命题若￢q，则￢p，并判断真假性．
解：∵原命题是“若x2﹣3x+2≠0，则x≠1且x≠2”，
∴它的逆命题是：若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0，是真命题；﹣﹣﹣﹣﹣﹣
否命题是：若x2﹣3x+2＝0，则x＝1或x＝2，是真命题；﹣﹣﹣﹣﹣﹣
逆否命题是：若x＝1或x＝2，则x2﹣3x+2＝0，是真命题．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
18．（17分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣，0），F2（，0），且该椭圆过点（，）．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若椭圆C 上的点M（x0，y0） 满足MF1⊥MF2，求y0 的值．
【分析】（1）利用点在椭圆上，结合a2﹣b2＝3，求解a，b，得到椭圆方程．
（2）点M（x0，y0）通过MF1⊥MF2，则有，化简表达式，点M（x0，y0）在椭圆C上，转化求解即可．
解：（1）由题意得，，且a2﹣b2＝3，
解得a2＝4，b2＝1，
所以椭圆C的标准方程为…
（若用定义先解出2a也可，或用通径长解出基本量也可）
（2）点M（x0，y0）
满足MF1⊥MF2，则有
且y0≠0，则①…
而点M（x0，y0）
在椭圆C上，则②
联立①②消去，得，所以…
（不考虑y0≠0，或者用斜率转化垂直关系时不考虑分母不为0扣1分）
19．（18分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝，一动圆P与直线x＝﹣相切且与圆C外切．
（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；
（2）过F（1，0）作直线l，交（1）中轨迹E于A，B两点，若AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．
【分析】（1）根据条件可知，整理即可；
（2）联立A、B两点满足的方程并相减，即可表示出直线l的斜率，进而可得方程
解：（1）设P（x，y），则由题意，|PC|﹣（x）＝，
即，化简可得动圆圆心P的轨迹E的方程为y2＝4x；
（2）由（1）得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点C（1，0）
设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则，两式相减．整理得＝
∵线段AB中点的纵坐标为﹣1，
∴直线l的斜率kAB＝＝＝＝﹣2，
直线l的方程为y﹣0＝﹣2（x﹣1）即2x+y﹣2＝0．
20．（18分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．
（1）求证：AA1⊥平面ABC；
（2）求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
（3）求点C到平面A1BC1的距离．

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AA1⊥平面ABC；
（2）建立坐标系求出平面的法向量即可求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
（3）利用向量法即可求点C到平面A1BC1的距离．
【解答】证明：（1）因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，
所以AA1⊥平面ABC．
解：（2）由（1）知，AA1⊥AC，AA1⊥AB．
由题意知AB＝3，BC＝5，AC＝4，
所以AB⊥AC．
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则B（0，3，0），A1（0，0，4），B1（0，3，4），C1（4，0，4）．
设平面A1BC1的法向量为＝（x，y，z），
则，即．
令z＝3，则x＝0，y＝4，
所以．
同理可得，平面BC1B1的法向量为．
所以cos＜＞＝．
由题知二面角A1﹣BC1﹣B1为锐角，所以二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．

（3）由（2）知平面A1BC1的法向量为以，
所以点C到平面A1BC1距离．