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八年级数学下册同步课堂巅峰讲练案系列——
第16章 二次根式
16.1 二次根式（第一课时）
【教学目标】
1.通过实例,了解二次根式的含义,体会二次根式与实际生活的联系.
2.理解二次根式的定义,熟记其性质.
3.通过联系实际发现问题,独立思考,培养合作探究的能力,培养良好的
数学思维习惯.
重点:二次根式的定义,性质的应用.
难点:二次根式性质的理解和应用.
【教法指导】
由实际问题引出二次根式的定义，引导学生理解为什么二次根式中被开方数必须是非负数；联系非负数
｜a｜、a 2、，加强理解与应用.
本节知识的主要学习方法是 ：思考与交流，归纳与总结；加强新旧知识之间的联系，培养自己分析问题、解决问题的能力，从而获得学习数学的方法.
【教学过程】
☆知识回顾☆
（1）面积为3的正方形的边长是_____，面积为S的正方形的边长为 ；
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130平方米，则它的宽为______m；
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满
足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t=______
.
解析：（1）面积为S的正方形的边长为，面积为S的正方形的边长为
（3）设这个长方形的宽为xm，则长为2xm，所以，解得x=m；
（4）由h=5t?，可得；
☆探究新知☆
以上四个问题的结果分别是， ，，，思考：
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子有什么共同特征？
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
它们都表示一些正数的算术平方根，这些式子的共同特征是：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式．
学生总结并展示：形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
注意
在二次根式中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．
初步应用
练习1 指出下列哪些是二次根式？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（a≥2）
解析：根据二次根式的定义可知，（1）（4）（5）是二次根式.
练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？
二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．
例1 当x是怎样的实数时，二次根式有意义？
分析：要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．
解析：要使在实数范围有意义，
必须 x+2≥0，
∴ x≥-2．
例2 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？
解析：（1）当x是任意实数时，在实数范围内有意义；
（2）当x为非负数时，在实数范围内有意义.
例3 a取何值时，下列根式有意义？
（1）；（2）；（3）
解析：（1）由a+1≥0，得a≥-1；
（2）（2）由1-2a＞0，得a＜ ；
（3）由≥0，得a为任何实数．
变式a 取何值时，下列根式有意义？
（1）；（2）
解析：（1）a为任何实数
（2）a=1
探索性质 比较和0的大小
当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根．
当a是零时，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.
当a是负数时，没有意义
因此， （a≥0）是一个非负数，具有双重非负性；
（1）≥0（a≥0）；（2）=a（a≥0）．
例4．若y9，则的值为 ．
【答案】6．
【解析】∵y9，
∴，
解得：x＝4，
故y＝9，
则的值为：6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确得出x的值是解题关键．
例5．已知b+1
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
【分析】（1）根据二次根式的被开方数是非负数解答；
（2）结合（1）求得a、b的值，然后开平方根即可．
【解析】（1）∵，有意义，
∴，
解得：a＝5；
（2）由（1）知：b+1＝0，
解得：b＝﹣1，
则a2﹣b2＝52﹣（﹣1）2＝24，则平方根是：．
【点评】考查了二次根式有意义的条件，平方根．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
教师点睛
1．什么是二次根式？怎样判断一个式子是二次根式？
形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.
2．二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？
要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数，如果含有分母，需要满足分母不为零；
二次根式（a≥0）是一个非负数.
3.二次根式与算术平方根有什么关系？
二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根是二次根式
☆ 课堂提高☆
1．下列各式中不是二次根式的是（ ）
A. B． C. D．
【答案】B．
【解析】
A、，∵x2+1≥1＞0，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
B、∵﹣4＜0，∴不是二次根式；故本选项错误；C、∵0≥0，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；D、符合二次根式的定义；故本选项正确．故选B．
2．要使式子有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m＞-1 B．m≥-1 C．m＞-1且m≠1 D．m≥-1且m≠1
【答案】D．
【解析】
根据题意得：，
解得：m≥-1且m≠1．
故选D．
3．a，b是两个连续整数，若，则a，b分别是
A．3，2 B．3，4 C．2，3 D．7，9
【答案】C．
【解析】
根据，可得答案．
试题解析：根据题意，可知，可得a=2，b=3．
故选C．
4．的平方根是（ ）
A.3 B.±3 C. D.±
【答案】选D.
【解析】分为两步计算：
①=3 （正数的算术平方根是一个正数）；
②再计算3的平方根是±
5．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A． 20或16 B． 20 C． 16 D． 以上答案均不对
【答案】B.
【解析】
根据题意得，x-4=0，y-8=0，
解得x=4，y=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长=4+8+8=20，
所以，三角形的周长为20．
故选B.
6．若x、y满足，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】
∵，
∴.
∴.
故选B.
7．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≥3 C．x≤3 D．x＞3
【答案】B．
【解析】式子在实数范围内有意义，故x﹣3≥0，
则x的取值范围是：x≥3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
8．在式子中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C．
【解析】根据二次根式的定义，y＝﹣2时，y+1＝﹣2+1＝﹣1，
所以二次根式有（x＞0），，（x＜0），，共4个．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的定义，比较简单，要注意被开方数是非负数，熟记概念是解题的关键．
9．二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤﹣1 C．m＞﹣1 D．m≠﹣1
【答案】A．
【解析】∵二次根式在实数范围内有意义，
∴m+1≥0，
解答，m≥﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是明确题意，求出m的取值范围．
10．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】x≥﹣2．．
【解析】∵在实数范围内有意义，
∴x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．
11．已知实数x，y满足y2，则（y﹣x）2011的值为 ．
【答案】﹣1．
【解析】∵与都有意义，
∴x＝3，则y＝2，
故（y﹣x）2011＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．
12．若有意义，则m的值可以是 （答案不唯一） ．（填一个你喜欢的数）
【答案】1．
【解析】∵有意义，
∴m≥0，
则m的值可以是1（答案不唯一），
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
13．有意义，a的取值范围是 ．
【答案】a≥2且a≠3
【解析】由题意得，a﹣2≥0，a﹣3≠0，
解得，a≥2且a≠3，
故答案为：a≥2且a≠3．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14．若＋|b-4|＝0，则以a=______,b= ．
【答案】3,4
【解析】
先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据勾股定理求出斜边的长即可．
∵+|b-4|=0，
∴a-3=0，b-4=0，解得a=3，b=4，
15．比较大小： ______．
【答案】＞．
【解析】
因为1＞，所以＞．
故答案为：＞．
16．有一个数值转换器，原理如下图所示，当输入x的值为16时，输出y的值是___________．
【答案】
【解析】
∵16的算术平方根式4，4是有理数，
又∵4的算术平方根式2，2是有理数，
∴还需求2的算术平方根是，
∵是无理数，
∴y的值是．
17．已知2b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
【分析】（1）直接利用二次根式有意义的条件得出a的值；
（2）利用a的值得出b的值，进而利用平方根的定义得出答案．
【解析】（1）由题意知a﹣17≥0，17﹣a≥0，
则a﹣17＝0，
解得：a＝17；
（2）由（1）可知a＝17，
则b+8＝0，
解得：b＝﹣8，
故a2﹣b2＝172﹣（﹣8）2＝225，
则a2﹣b2的平方根为：±±15．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出a，b的值是解题关键．
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第16章 二次根式
16.1 二次根式（第一课时）
【教学目标】
1.通过实例,了解二次根式的含义,体会二次根式与实际生活的联系.
2.理解二次根式的定义,熟记其性质.
3.通过联系实际发现问题,独立思考,培养合作探究的能力,培养良好的
数学思维习惯.
重点:二次根式的定义,性质的应用.
难点:二次根式性质的理解和应用.
【教法指导】
由实际问题引出二次根式的定义，引导学生理解为什么二次根式中被开方数必须是非负数；联系非负数
｜a｜、a 2、，加强理解与应用.
本节知识的主要学习方法是 ：思考与交流，归纳与总结；加强新旧知识之间的联系，培养自己分析问题、解决问题的能力，从而获得学习数学的方法.
【教学过程】
☆知识回顾☆
（1）面积为3的正方形的边长是_____，面积为S的正方形的边长为 ；
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130平方米，则它的宽为______m；
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满
足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t=______
.
☆探究新知☆
以上四个问题的结果分别是， ，，，思考：
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子有什么共同特征？
用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式．
学生总结并展示：形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
注意
在二次根式中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．
初步应用
练习1 指出下列哪些是二次根式？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（a≥2）
练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？
例1 当x是怎样的实数时，二次根式有意义？
分析：要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．
例2 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？
例3 a取何值时，下列根式有意义？
（1）；（2）；（3）
变式a 取何值时，下列根式有意义？
（1）；（2）
探索性质 比较和0的大小
因此， （a≥0）是一个非负数，具有双重非负性；
（1）≥0（a≥0）；（2）=a（a≥0）．
例4．若y9，则的值为 ．
例5．已知b+1
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
教师点睛
1．什么是二次根式？怎样判断一个式子是二次根式？
2．二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？
3.二次根式与算术平方根有什么关系？
☆ 课堂提高☆
1．下列各式中不是二次根式的是（ ）
A. B． C. D．
2．要使式子有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m＞-1 B．m≥-1 C．m＞-1且m≠1 D．m≥-1且m≠1
3．a，b是两个连续整数，若，则a，b分别是
A．3，2 B．3，4 C．2，3 D．7，9
4．的平方根是（ ）
A.3 B.±3 C. D.±
5．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A． 20或16 B． 20 C． 16 D． 以上答案均不对
6．若x、y满足，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
7．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≥3 C．x≤3 D．x＞3
8．在式子中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤﹣1 C．m＞﹣1 D．m≠﹣1
10．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
11．已知实数x，y满足y2，则（y﹣x）2011的值为 ．
12．若有意义，则m的值可以是 （答案不唯一） ．（填一个你喜欢的数）
13．有意义，a的取值范围是 ．
14．若＋|b-4|＝0，则以a=______,b= ．
15．比较大小： ______．
16．有一个数值转换器，原理如下图所示，当输入x的值为16时，输出y的值是___________．
17．已知2b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
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