沪科版八年级数学下册第17章 一元二次方程单元测试卷1解析版

绝密★启用前
一元二次方程单元测试卷
一、单选题(每题4分，共40分)
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　)
A．x2＋＝5 B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝0 D．3x2＋4xy－y2＝0
2．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
3．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100
4．若方程x2－3x－1＝0的两根为x1、x2，则＋的值为( )
A．3 B．－3 C． D．－
5．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为( )

A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
6．毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若没人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，则全班送贺卡共1190张，九年级（1）班人数为（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
7．设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( )
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
8．在一幅长60 cm、宽40 cm的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图.如果要使整个挂图的面积是2816 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是(　　)

A．(60＋2x)(40＋2x)＝2816
B．(60＋x)(40＋x)＝2816
C．(60＋2x)(40＋x)＝2816
D．(60＋x)(40＋2x)＝2816
9．已知点A(m2-2,5m+4)在第一象限角平分线上,则m的值为（ ）
A．6 B．-1 C．2或3 D．-1或6
10．已知关于x的方程(k－1)x2－x＋＝0有实数根，则k的取值范围为(　　)
A．k≥－2 B．k≥－
C．k≥－且k≠1 D．以上都不对
二、填空题（每题5分，共20分)
11．一个一元二次方程，两根分别为2和﹣3，这个方程可以是________．
12．若x=2是关于x的方程x2﹣x﹣a2+5=0的一个根，则a的值为 ．
13．把方程3x2－6x＋1＝0化成(x＋m)2＝n的形式，则是___________．
14．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad－bc，上述记号就叫做2阶行列式．若＝6，则x＝________．

三、解答题（共9题，满分90分)
15．用适当的方法解下列方程：
(1)x2－3x＋1＝0；　　　(2)(x－1)2＝3；
(3)x2－8x＝0；　　　 　(4)x2－2x＝4.
16．已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0
（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．
（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．
17．已知关于的方程.
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．
18．如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．

19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
20．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
认真观察，并在后面的横线上写出相应的等式．

；；；______
结合观察下列点阵图，并在后面的横线上写出相应的等式．

；；；；______
若在中的第n个点阵图斜线的左上方共有36个点，试求第n个点阵图中总共有多少个点．
21．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿对各市农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助，2017年A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2019年该市计划投资“改水工程”1176万元．
(1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
(2)从2017年到2019年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？
22．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
23．已知 ，且满足，，求的值.
(
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………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
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)
(
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
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)
试卷第4页，总4页
试卷第3页，总4页

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义可知只有(x－1)(x＋2)＝0符合条件.
【详解】
A．含有，故不是一元二次方程
B．若a=0，则ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程
C．(x－1)(x＋2)＝0可化简为x2＋x-2＝0的形式，是一元二次方程
D．含有未知数x和y，故不是一元二次方程.
故答案选C.
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义.形如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的方程为一元二次方程.
2．C
【解析】
试题解析：∵a=1，b=2，c=2，
∴△=b2-4ac=22-4×1×2=-4＜0，
∴方程没有实数根．
故选C．
3．A
【解析】
【分析】
利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【详解】
由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，
2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即： 80（1+x）2=100，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
4．B
【解析】
由根与系数的关系得：x1+x2==3，x1?x2==-1．
∴==-3．故选B．
5．A
【解析】
【分析】
假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程，进一步求出x的值即可．
【详解】
假设修建的路宽应x米，
利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程：
∴(20?x)(30?x)=551，
整理得：
解得：x1=1米,x2=49米(不合题意舍去)，
故选：A.
【点睛】
考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键.
6．B
【解析】试题解析：设九年级（1）班人数是x人，
则根据题意可列方程为：（x-1）x=1190，
解得：x1=35，x2=-34（舍去）．
故选B.
7．C
【解析】
分析：由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．
解答：解：∵a是方程x2+x-2009=0的根，
∴a2+a=2009；
由根与系数的关系得：a+b=-1，
∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2009-1=2008．
故选C．
8．A
【解析】
【分析】
根据题意可知，挂画的长和宽分别为（60+2x）cm和(40＋2x)cm，据此可列出方程(60＋2x)(40＋2x)＝2816
【详解】
若设金色纸边的宽为x cm，则挂画的长和宽分别为（60+2x）cm和(40＋2x)cm，
可列方程(60＋2x)(40＋2x)＝2816
故答案为A.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解题关键.
9．A
【解析】
【分析】
根据第一象限角平分线上点的横坐标与纵坐标相等列方程求解，再根据第一象限点的横坐标与纵坐标都是正数作出判断．
【详解】
∵点A（m2-2，5m+4）在第一象限角平分线上，
∴m2-2=5m+4，
∴m2-5m-6=0，
解得m1=-1，m2=6，
当m=-1时，m2-2=-1，
点A（-1，-1）在第三象限，不符合题意，
所以，m的值为6，
故选A．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记第一象限平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键，注意要进行讨论，避免出错.
10．B
【解析】
【分析】
根据方程有实数根，分为一元一次方程和一元二次方程讨论即可.
【详解】
当k＝1时，方程为－x＋=0，有实数根．当k≠1且1＋2k≥0时，方程为一元二次方程，Δ＝(－)2－4(k－1)×＝1＋2k－(k－1)＝k＋2≥0，解得k≥－2；由1＋2k≥0，得k≥－，此时k的取值范围为k≥－且k≠1.综上，当k≥－时，方程有实数根．
【点睛】
本题考查一元二次方程的判别式. Δ=b2-4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根.
11．x2+x﹣6=0
【解析】
试题分析：设该方程为ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
∵该方程的两根分别为2和－3，
∴2＋（－3）＝－1＝，2×（－3）＝－6＝，
∴b＝a，c＝－6a．
当a＝1时，该一元二次方程为x2＋x－6＝0．
故答案为：x2＋x－6＝0．
点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和为，两根之积为是解题的关键．
12．
【解析】
【分析】
由x=2是关于x的方程x2-x-a2+5=0的一个根，将x=2代入方程得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【详解】
∵x=2是关于x的方程x2-x-a2+5=0的一个根，
∴将x=2代入方程得：22-2-a2+5=0，即a2=7，
解得：a1=或a2=-．
故答案为±．
13．(x－1)2＝
【解析】
【分析】
先移项，再系数化成1，配方，即可得出答案．
【详解】





故答案为：
【点睛】
考查一元二次方程的解法—配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键.
14．±
【解析】
【分析】
根据定义将二阶行列式表示成一元二次方程,求解即可.
【详解】
解：由题可知=（x+1）2-(x-1)(1-x)=6,
整理得：2x2+2=6
x2=2
解得：x=±.
【点睛】
本题考查了二阶行列式与一元二次方程的关系,是一道新定义题,中等难度, 将二阶行列式表示成一元二次方程是解题关键.
15． (1)x1＝，x2＝； (2)x1＝1＋，x2＝1－； (3)x1＝0，x2＝8；(4)x1＝1＋，x2＝1－.
【解析】
【分析】
根据题目选择适当的方法解方程即可.
（1）可用公式法解该方程；
（2）可用直接开平方法解该方程；
（3）可用因式分解法解该方程；
（4）可用公式法解该方程
【详解】
解：(1)x2－3x＋1＝0
△=（-3）2-4×1×1=5＞0
x=
x1＝，x2＝
(2)(x－1)2＝3
x－1=
x=
x1＝1＋，x2＝1－
(3)x2－8x＝0
x(x-8)=0
x1=0，x2=8
(4)x2－2x＝4.
x2-2x-4=0
△=（-2）2+4×1×4=20＞0
x==1
x1＝1＋，x2＝1－
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，常用方法有直接开平方法、公式法、配方法和因式分解法，根据不同的题目可用选择最合适的方法.
16．(1) k=;(2)﹣1≤k＜或＜k≤2．
【解析】
试题分析：（1）因为方程为一元一次方程，所以二次项系数等于0且一次项系数不等于0，令二次项系数1－2k＝0求出k的值即可；
（2）令△≥0，二次项系数不等于0，被开方式大于等于0进行解答即可．
试题解析：
（1）由(1﹣2k)x2﹣2x﹣1＝0是一元一次方程，
得1﹣2k＝0，
解得k＝；
（2）由(1﹣2k)x2﹣2x﹣1＝0为一元二次方程，且有实数根，得
△＝(2)2﹣4(1﹣2k)×(﹣1)≥0，且1﹣2k≠0，k＋1≥0，
4k＋4＋4(1﹣2k)≥0，
﹣4k≥﹣8，
k≤2，
即﹣1≤k＜或＜k≤2，
此方程为一元二次方程，且有实数根，k的取值范围﹣1≤k＜或＜k≤2．
点睛：本题考查了一元二次方程，二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程，二次项系数不等于零是一元二次方程，根的判别式大于或等于零时方程有实数根．
17．（1）；（2）的值是，该方程的另一根为．
【解析】
试题分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解即可；
（2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.
试题解析：（1）∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3，
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．

18．截去的小正方形的边长为2cm．
【解析】
【分析】
由等量关系：矩形面积﹣四个全等的小正方形面积=矩形面积×80%，列方程即可求解
【详解】
设小正方形的边长为xcm，由题意得
10×8﹣4x2=80%×10×8，
80﹣4x2=64，
4x2=16，
x2=4．
解得：x1=2，x2=﹣2，
经检验x1=2符合题意，x2=﹣2不符合题意，舍去；
所以x=2．
答：截去的小正方形的边长为2cm．
19．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．
【解析】
试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
考点：一元二次方程的应用．
20．（1）10；（2）；（3）第n个点阵图中总共有81个点．
【解析】
【分析】
根据观察会发现第四个式子的等号的左边是，右边分子上是，从而得到规律；
通过观察发现左边是，右边是25即5的平方；
过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律．
【详解】
根据题中所给出的规律可知：，
故答案是：10；
由图示可知点的总数是，所以，
故答案是：．
由可知，
解得，不合题意，舍去，
，
第n个点阵图中总共有81个点．
【点睛】
本题考查了规律题——图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
21．（1）A市投资“改水工程”的年平均增长率为40%；（2）A市三年共投资“改水工程”2616万元．
【解析】
【分析】
(1)设A市投资“改水工程”的年平均增长率是x，
可列方程600(1＋x)2＝1176.
(2)由(1)得年平均增长率，然后把2017-2019三年的投资金额求和即可.
【详解】
解：(1)设A市投资“改水工程”的年平均增长率是x，
则600(1＋x)2＝1176.
解得x1＝0.4＝40%，x2＝－2.4(不合题意，舍去)．
所以A市投资“改水工程”的年平均增长率为40%.
(2)600＋600×1.4＋1176＝2616(万元)．
所以从2017年到2019年，A市三年共投资“改水工程”2616万元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用-增长率问题.
①连续两次增长，平均每次的增长率为x，原值为a，连续两次增长后的值为b，则有a×(1+x)?=b
②连续两次降低，平均每次的降低率为x，原值为a，连续两次降低后的值为b，则有a×(1-x)?=b
22．（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.
【解析】
分析：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
详解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200，
整理，得x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
∴x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
23．﹣23.
【解析】
【分析】
原方程整理可得：a2+5a+1=0，b2+5b+1=0，故a、b是方程x2+5x+1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可得a+b=﹣5＜0，ab=1＞0，进而得出a=，b=，且a＜0，b＜0，
将a=，b=代入要求的式子，结合二次根式的性质、完全平方公式化简计算即可.
【详解】
原方程整理可得：a2+5a+1=0，b2+5b+1=0，
∴a、b是方程x2+5x+1=0的两个不相等的实数根，
∴a+b=﹣5＜0，ab=1＞0，
∴a=，b=，且a＜0，b＜0，
∵a+b
= a+b
=﹣a2﹣b2
=﹣（a2+b2）
=﹣（a+b）2+2ab
=﹣23.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式以及二次根式的化简.
答案第2页，总12页
答案第11页，总12页