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突破2020中考数学压轴题大揭秘
专题01二次函数与面积压轴问题
【类型综述】
面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．
【方法揭秘】
解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：
如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．
如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．
图1 图2 图3
计算面积长用到的策略还有：
如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．
如图5，同底三角形的面积比等于高的比．
如图6，同高三角形的面积比等于底的比．
图4 图5 图6
【典例分析】
例1 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A(－1, 0)，B(4, 0)两点，与y轴交于点C(0, 2)．点M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）当S△MFQ∶S△MEB＝1∶3时，求点M的坐标．
思路点拨
1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．
2．把△MFQ和△MEB的底边分别看作MQ和ME，分别求两个三角形高的比，底边的比（用含m的式子表示），于是得到关于m的方程．
3．方程有两个解，慎重取舍．解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个方程，得到两个符合条件的解．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(－1, 0)，B(4, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－4)．
代入点C(0, 2)，得2＝－4a．解得．所以
．
顶点坐标为．
（2）如图2，已知M(m, n)，作MN⊥x轴于N．
由，得．所以．
因为抛物线的对称轴是直线，所以ME＝．
由于S△MFQ＝＝＝，
S△MEB＝＝，
所以当S△MFQ∶S△MEB＝1∶3时，∶＝1∶3．
整理，得m2＋11m－12＝0．解得m＝1，或m＝－12．
所以点M的坐标为(1, 3)或(－12,－88)．
考点伸展
第（2）题S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，何需点M一定要在抛物线上？
从上面的解题过程可以看到，△MFQ与△MEB的高的比与n无关，两条底边的比也与n无关．
如图3，因此只要点E与点M关于直线x＝对称，点M在直线的左侧，且点M不在坐标轴上，就存在S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，点M的横坐标为1（如图3）或－12（如图4）．
图3 图4
例2 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．
思路点拨
（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；
（3）可设出P点坐标，表示出△PAB、△AFO、△COB，利用S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AFO﹣S△BOC可表示成关于P点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．．
满分解答（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为yx2x+2；
（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，
∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO＝∠DBA，即点D满足条件，
∴D（3，2）；
当点D在x轴下方时，
∵∠DBA＝∠CAO，
∴BD∥AC，
∵C（0，2），
∴可设直线AC解析式为y＝kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k＝2，
∴直线AC解析式为y＝2x+2，
∴可设直线BD解析式为y＝2x+m，把B（4，0）代入可求得m＝﹣8，
∴直线BD解析式为y＝2x﹣8，
联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，
∴D（﹣5，﹣18）；
综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；
（3）设P（t，t2t+2），
∵AB＝5，OC＝2，
∴S△PAB（t2t+2）×5t2t+5，
∵，
∴OF（t﹣4），
∴S△AFO1×[（t﹣4）]（t﹣4），且S△BOC2×4，
∴S1﹣S2t2t+5（t﹣4）﹣4t2+4t（t）2，
∴当t时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．
例3如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；[来#&~源:@中^教网]
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．[ww*w.z~z#st%ep.com@]
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思路点拨
1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．
2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．[中国教^#育出~&版网%]
3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．
4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．
满分解答
（1）设直线与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．[中国教&~育出*@^版网]
在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．所以．
因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．
将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得
解得 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ，．
（2）由 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ，，
得 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．
所以．[来源:^&*中@教~网]
所以PD的最大值为 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．
（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，；
当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时， HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．
考点伸展
第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．
而 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ，
BM＝4－m．[中^国教@育出版~*&网]
①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，．解得 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．[来&源:中国^%教@育出版~网]
②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．解得 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．
例4如图，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0)、B()，M是OA的中点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求点P的坐标；
（3）将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连结CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D，若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1．设交点式或顶点式求抛物线的解析式都比较简便．
2．先确定四边形PQAM是平行四边形，再验证它是菱形．
3．把△CDA与△MDA的面积比，转化为△MCA与△MDA的面积比，进而转化为点C与点D的纵坐标的比．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于O(0,0)、A(4，0)两点，设y＝ax(x－4)．
代入点B()，得．解得．所以．
（2）如图2，由A(4，0)，M是OA的中点，可知OA＝4，MA＝2，M(2, 0)．
如果四边形PQAM是菱形，已知PQ//OA，首先要满足PQ＝2，再必须MP＝2．
因为抛物线的对称轴是直线x＝2，P、Q关于x＝2对称，所以点P的横坐标为1，故点P的坐标为．
由M(2, 0)、P，可得MP＝2．所以当点P的坐标为时，四边形PQAM是菱形．
（3）如图3，作CE⊥x轴于E，作DF⊥x轴于F．
我们把面积进行两次转换：
如果△CDA的面积是△MDA面积的2倍，那么△MCA的面积是△MDA面积的3倍．
而△MCA与△MDA是同底三角形，所以高的比CE∶DF＝3∶1，即yC∶yD＝3∶1．
因此ME∶MF＝3∶1．设MF＝m，那么ME＝3m．
原抛物线的解析式为，所以翻折后的抛物线的解析式为．
所以D，C．
根据yC∶yD＝3∶1，列方程．
整理，得3m2＝4．解得．所以．
所以点C的坐标为（如图3），或（如图4）．
图2 图3 图4
考点伸展
第（1）题可以设抛物线的顶点式：
由点O(0,0), A(4，0)，B()的坐标，可知点B是抛物线的顶点．
可设，代入点O(0,0)，得．
例5定义：如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．
（1）直接写出抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标．
（2）如图2，已知抛物线C：y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．
思路点拨
（1）根据抛物线勾股点的定义即可得；
（2）作PG⊥x轴，由点P坐标求得AG＝1、PG、PA＝2，由tan∠PAB知∠PAG＝60°，从而求得AB＝4，即B（4，0），待定系数法求解可得；
（3）由S△ABQ＝S△ABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为，据此求解可得．
满分解答
（1）抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；
（2）抛物线y＝ax2+bx过原点，即点A（0，0），
如图，作PG⊥x轴于点G，
∵点P的坐标为（1，），
∴AG＝1、PG，PA2，
∵tan∠PAB，
∴∠PAG＝60°，
在Rt△PAB中，AB4，
∴点B坐标为（4，0），
设y＝ax（x﹣4），
将点P（1，）代入得：a，
∴yx（x﹣4）x2x；
（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为，
则有x2x，
解得：x1＝3，x2＝1（不符合题意，舍去），
∴点Q的坐标为（3，）；
②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为，
则有x2x，
解得：x1＝2，x2＝2，
∴点Q的坐标为（2，）或（2，）；
综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2，）或（2，）．
例6 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．
（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
[来源@:中%&教*网^]
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图1 备用图[中%&国教*^育出版~网]
思路点拨
1．第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点．
2．第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论．
3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．[来源:#*中教^%@网]
满分解答
(1) 在Rt△ABC中， AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中，．
(2) ①如图2，当F在AC上时， HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．在Rt△AEF中，．所以 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．[来源:中国@&教育出^#版网~]
如图3，当F在BC上时，．在Rt△BEF中， HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．所以．
②当 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 时，的最大值为 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ；
当时， HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 的最大值为 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．
因此，当时，y的最大值为 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．[来源:%中国教@^育#*出版网]
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图2 图3 图4
(3)△ABC的周长等于12，面积等于6．[中国%#教育~出&版^网]
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．解方程，得 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．
因为在3≤x≤5范围内（如图4），因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．[来源:&中*
考点伸展
如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．
因此 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．
解方程．整理，得 HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.DSMT4 ．此方程无实数根．
【变式训练】
1．已知：如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）求直线BM的函数解析式．
（3）试说明：∠CBM+∠CMB＝90°．
（4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把△BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可以直接可求点A、B、C的坐标；
（2）用待定系数法可求解析式；
（3）根据两点距离公式可求BM，BC，CM的长度，根据勾股定理的逆定理可得∠BCM＝90°，即可证：∠CBM+∠CMB＝90°；
（4）根据题意可求线段BM中点坐标，即可求直线CP解析式，且点P在抛物线上，可列方程，即可求点P坐标．
【解析】（1）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点
∴0＝x2﹣2x﹣3
∴x1＝3，x2＝﹣1
∴点A（﹣1，0），点B（3，0）
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C
∴当x＝0时，y＝﹣3
∴点C坐标为（0，﹣3）
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4
∴点M（1，﹣4）
设直线BM的解析式：y＝kx+b过点B（3，0），M（1，﹣4）
∴
解得：k＝2，b＝﹣6
∴直线BM的解析式：y＝2x﹣6
（3）∵点M（1，﹣4），点B（3，0），点C（0，﹣3）
∴BC3
BM2
CM
∵BC2+CM2＝20，BM2＝20
∴BC2+CM2＝BM2．
∴∠BCM＝90°
∴∠CBM+∠CMB＝90°．
（4）如图：设直线CP与BM的交点为F
∵直线CP把△BCM分成面积相等的两部分
∴S△CMF＝S△BCF
∵△CMF和△BCF是等高的两个三角形
∴FM＝BF
即点F是BM的中点
∵点B（3，0），点M（1，﹣4）
∴点F坐标为（2，﹣2）
设直线CP的解析式为y＝mx+n
∴
解得：m，n＝﹣3
∴直线CP解析式yx﹣3
∵点P是直线CP与抛物线y＝x2﹣2x﹣3的交点
∴x﹣3＝x2﹣2x﹣3
解得：x1＝0（不合题意舍去），x2
当x时，y2
∴点P坐标为（，）
2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线y＝﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE＝4EC．
①求n的值；
②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等？请说明理由；
（3）直线y＝m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的面积为．求点H到OM'的距离d的值．
【分析】（1）根据抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，可得抛物线的解析式；
（2）①过点E作EE'⊥x轴于E'，则EE'∥OC，根据平行线分线段成比例定理，可得BE'＝4OE'，设点E的坐标为（x，y），则OE'＝x，BE'＝4x，根据OB＝2，可得x，再根据直线BC的解析式为yx﹣3，即可得到E（，），把E的坐标代入直线y＝﹣x+n，可得n的值；②根据F（﹣2，0），A（﹣1，0），可得AF＝1，再根据点D的坐标为（1，﹣3），点C的坐标为（0，﹣3），可得CD∥x轴，CD＝1，再根据∠AFG＝∠CDG，∠FAG＝∠DCG，即可判定△AGF≌△CGD；
（3）根据轴对称的性质得出OH＝1＝M'N，进而判定四边形OM'NH是平行四边形，再根据四边形OM'NH的面积为，求得OP，再根据点M的坐标为（，），得到PM'，Rt△OPM'中，运用勾股定理可得OM'，最后根据OM'×d，即可得到d．
【解析】（1）∵抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式yx2x﹣3；
（2）①如图，过点E作EE'⊥x轴于E'，则EE'∥OC，
∴，
∵BE＝4EC，
∴BE'＝4OE'，
设点E的坐标为（x，y），则OE'＝x，BE'＝4x，
∵B（2，0），
∴OB＝2，即x+4x＝2，
∴x，
∵抛物线yx2x﹣3与y轴交于点C，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b'，
∵B（2，0），C（0，﹣3），
∴，解得，
∴直线BC的解析式为yx﹣3，
当x时，y，
∴E（，），
把E的坐标代入直线y＝﹣x+n，可得n，
解得n＝﹣2；
②△AGF与△CGD全等．理由如下：
∵直线EF的解析式为y＝﹣x﹣2，
∴当y＝0时，x＝﹣2，
∴F（﹣2，0），OF＝2，
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∴AF＝2﹣1＝1，
由解得，，
∵点D在第四象限，
∴点D的坐标为（1，﹣3），
∵点C的坐标为（0，﹣3），
∴CD∥x轴，CD＝1，
∴∠AFG＝∠CDG，∠FAG＝∠DCG，
∴△AGF≌△CGD；
（3）∵抛物线的对称轴为x，直线y＝m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N，
∴点M、N关于直线x对称，
设N（t，m），则M（1﹣t，m），
∵点 M关于y轴的对称点为点M'，
∴M'（t﹣1，m），
∴点M'在直线y＝m上，
∴M'N∥x轴，
∴M'N＝t﹣（t﹣1）＝1，
∵H（1，0），
∴OH＝1＝M'N，
∴四边形OM'NH是平行四边形，
设直线y＝m与y轴交于点P，
∵四边形OM'NH的面积为，
∴OH×OP＝1×m，即m，
∴OP，
当x2x﹣3时，解得x1，x2，
∴点M的坐标为（，），
∴M'（，），即PM'，
∴Rt△OPM'中，OM'，
∵四边形OM'NH的面积为，
∴OM'×d，
∴d．
3．如图，已知二次函数y＝ax2﹣（2a）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．
（1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1＝4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且?DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．
【分析】（1）把点A坐标代入y＝ax2﹣（2a）x+3可求a，应用待定系数法可求直线AB的解析式；
（2）用m表示DE、AC，易证△DEF∽△AEC，S1＝4S2，得到DE与AE的数量关系可以构造方程；
（3）用n表示GH，由平行四边形性质DE＝GH，可得m，n之间数量关系，利用相似用GM表示EG，表示?DEGH周长，利用函数性质求出周长最大时的m值，可得n值，进而求G点坐标．
【解析】（1）把点A（4，0）代入，得
0＝a?42﹣（2a）×4+3
解得
a
∴函数解析式为：y
设直线AB解析式为y＝kx+b
把A（4，0），B（0，3）代入
解得
∴直线AB解析式为：y
（2）由已知，
点D坐标为（m，）
点E坐标为（m，）
∴AC＝4﹣m
DE＝（）﹣（）
∵BC∥y轴
∴
∴AE
∵∠DFA＝∠DCA＝90°，∠FBD＝∠CEA
∴△DEF∽△AEC
∵S1＝4S2
∴AE＝2DE
∴
解得m1，m2＝4（舍去）
故m值为
（3）如图，过点G做GM⊥DC于点M
由（2）DE
同理HG
∵四边形DEGH是平行四边形
∴
整理得：（n﹣m）[]＝0
∵m≠n
∴m+n＝4，即n＝4﹣m
∴MG＝n﹣m＝4﹣2m
由已知△EMG∽△BOA
∴
∴EG
∴?DEGH周长L＝2[]
∵a0
∴m时，L最大．
∴n＝4
∴G点坐标为（，），此时点E坐标为（，）
当点G、E位置对调时，依然满足条件
∴点G坐标为（，）或（，）
4．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（Ⅰ）若点P的横坐标为，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）（I）由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ＝﹣2x2+6x，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，进而可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ＝﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为时，点Q的横坐标为，
∴此时点P的坐标为（，），点Q的坐标为（，）．
设直线PQ的表达式为y＝mx+n，
将P（，）、Q（，）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线PQ的表达式为y＝﹣x．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x），
∴DE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x）＝﹣x2+3x，
∴S△DPQ＝S△DPE+S△DQEDE?（xQ﹣xP）＝﹣2x2+6x2（x）2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，）．
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，﹣（4+t）2+2（4+t）+3），
利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y＝﹣2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE＝﹣x2+2x+3﹣[﹣2（t+1）x+t2+4t+3]＝﹣x2+2（t+2）x﹣t2﹣4t，
∴S△DPQDE?（xQ﹣xP）＝﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t＝﹣2[x﹣（t+2）]2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x＝t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；
（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）代入x＝0可求出点C的纵坐标，代入y＝0可求出点A、B的横坐标，此题得解；
（2）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t﹣2，0），点Q的坐标为（3t，t），进而可得出PB、QE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△PBQ关于t的函数关系式，利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）根据（2）的结论找出点P、Q的坐标，假设存在，设点M的坐标为（m，m2m﹣4），则点F的坐标为（m，m﹣4），进而可得出MF的长度，利用三角形的面积结合△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）当x＝0时，yx2x﹣4＝﹣4，
∴点C的坐标为（0，﹣4）；
当y＝0时，有x2x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0）．
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将B（3，0）、C（0，﹣4）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴直线BC的解析式为yx﹣4．
过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，如图1所示，
当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t﹣2，0），点Q的坐标为（3t，t），
∴PB＝3﹣（2t﹣2）＝5﹣2t，QEt，
∴S△PBQPB?QEt2+2t（t）2．
∵0，
∴当t时，△PBQ的面积取最大值，最大值为．
（3）当△PBQ面积最大时，t，
此时点P的坐标为（，0），点Q的坐标为（，﹣1）．
假设存在，设点M的坐标为（m，m2m﹣4），则点F的坐标为（m，m﹣4），
∴MFm﹣4﹣（m2m﹣4）m2+2m，
∴S△BMCMF?OB＝﹣m2+3m．
∵△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，
∴﹣m2+3m1.6，即m2﹣3m+2＝0，
解得：m1＝1，m2＝2．
∵0＜m＜3，
∴在BC下方的抛物线上存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，点M的坐标为（1，﹣4）或（2，）．
6．如图，已知抛物线y＝ax2x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；
（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝3，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A、B的坐标；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，假设存在，设点P的坐标为（x，x2x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，x+4），PDx2+2x，利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）设点M的坐标为（m，m2m+4），则点N的坐标为（m，m+4），进而可得出MN＝|m2+2m|，结合MN＝3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2x+4的对称轴是直线x＝3，
∴3，解得：a，
∴抛物线的解析式为yx2x+4．
当y＝0时，x2x+4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝8，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
（2）当x＝0时，yx2x+4＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴直线BC的解析式为yx+4．
假设存在，设点P的坐标为（x，x2x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，x+4），如图所示．
∴PDx2x+4﹣（x+4）x2+2x，
∴S△PBCPD?OB8?（x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．
∵﹣1＜0，
∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．
∵0＜x＜8，
∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．
（3）设点M的坐标为（m，m2m+4），则点N的坐标为（m，m+4），
∴MN＝|m2m+4﹣（m+4）|＝|m2+2m|．
又∵MN＝3，
∴|m2+2m|＝3．
当0＜m＜8时，有m2+2m﹣3＝0，
解得：m1＝2，m2＝6，
∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；
当m＜0或m＞8时，有m2+2m+3＝0，
解得：m3＝4﹣2，m4＝4+2，
∴点M的坐标为（4﹣2，1）或（4+2，1）．
综上所述：M点的坐标为（4﹣2，1）、（2，6）、（6，4）或（4+2，1）．
7．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y（x﹣2）2，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，设CD＝t，则D（2，t），根据旋转性质得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，则P（2+t，t），然后把P（2+t，t）代入yx2+2x得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到?（m2）?2＝8当m＜0时，利用梯形面积公式得到?（﹣m2）?2＝8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．
【解析】（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入yx2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为yx2+2x；
（2）∵y（x﹣2）2，
∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x＝2，
如图，设CD＝t，则D（2，t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（2+t，t），
把P（2+t，t）代入yx2+2x得（2+t）2+2（2+t）t，
整理得t2﹣2t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝2，
∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，
而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），
设M（0，m），
当m＞0时，?（m2）?2＝8，解得m，此时M点坐标为（0，）；
当m＜0时，?（﹣m2）?2＝8，解得m，此时M点坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）．
8．已知抛物线，顶点为A，且经过点，点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面积；
（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．
【分析】（1）将点B坐标代入解析式求得a的值即可得；
（2）由∠OPM＝∠MAF知OP∥AF，据此证△OPE∽△FAE得，即OPFA，设点P（t，﹣2t﹣1），列出关于t的方程解之可得；
（3）分点Q在AB上运动、点Q在BC上运动且Q在y轴左侧、点Q在BC上运动且点Q在y轴右侧这三种情况分类讨论即可得．
【解析】（1）把点代入，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由知A（，﹣2），
设直线AB解析式为：y＝kx+b，代入点A，B的坐标，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣2x﹣1，
易求E（0，﹣1），，，
若∠OPM＝∠MAF，
∴OP∥AF，
∴△OPE∽△FAE，
∴，
∴，
设点P（t，﹣2t﹣1），则：
解得，，
由对称性知；当时，也满足∠OPM＝∠MAF，
∴，都满足条件，
∵△POE的面积?OE?|t|，
∴△POE的面积为或．
（3）若点Q在AB上运动，如图1，
设Q（a，﹣2a﹣1），则NE＝﹣a、QN＝﹣2a，
由翻折知QN′＝QN＝﹣2a、N′E＝NE＝﹣a，
由∠QN′E＝∠N＝90°易知△QRN′∽△N′SE，
∴，即2，
∴QR＝2、ES，
由NE+ES＝NS＝QR可得﹣a2，
解得：a，
∴Q（，）；
若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图2，
设NE＝a，则N′E＝a，
易知RN′＝2、SN′＝1、QN′＝QN＝3，
∴QR、SEa，
在Rt△SEN′中，（a）2+12＝a2，
解得：a，
∴Q（，2）；
若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，如图3，
设NE＝a，则N′E＝a，
易知RN′＝2、SN′＝1、QN′＝QN＝3，
∴QR、SEa，
在Rt△SEN′中，（a）2+12＝a2，
解得：a，
∴Q（，2）．
综上，点Q的坐标为（，）或（，2）或（，2）．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx与x轴交于A（1，0）、B（6，0）两点，D是y轴上一点，连接DA，延长DA交抛物线于点E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若E点在第一象限，过点E作EF⊥x轴于点F，△ADO与△AEF的面积比为，求出点E的坐标；
（3）若D是y轴上的动点，过D点作与x轴平行的直线交抛物线于M、N两点，是否存在点D，使DA2＝DM?DN？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得AF的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据两点间距离，可得AD的长，根据根与系数的关系，可得x1?x2，根据DA2＝DM?DN，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．
【解析】（1）将A（1，0），B（6，0）代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为yx2x；
（2）∵EF⊥x轴于点F，
∴∠AFE＝90°．
∵∠AOD＝∠AFE＝90°，∠OAD＝∠FAE，
∴△AOD∽△AFE．
∵，
∵AO＝1，
∴AF＝3，OF＝3+1＝4，
当x＝4时，y424，
∴E点坐标是（4，），
（3）存在点D，使DA2＝DM?DN，理由如下：
设D点坐标为（0，n），
AD2＝1+n2，
当y＝n时，x2xn
化简，得
﹣3x2+21x﹣18﹣4n＝0，
设方程的两根为x1，x2，
x1?x2
DM＝x1，DN＝x2，
DA2＝DM?DN，即1+n2或1+n2
化简，得
3n2﹣4n﹣15＝0，或3n2+4n+21＝0（无解）．
解得n1，n2＝3，
∴D点坐标为（0，）或（0，3）．
10．如图，顶点为M的抛物线y＝a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；
（3）根据题意判断出点N只能在x轴上方的抛物线上，由已知四边形的面积相等转化出S△ABN＝S△BCM，然后求出三角形BCM的面积，再建立关于点N的坐标的方程求解即可．
【解析】（1）∵抛物线y＝a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）．
∴﹣3＝a﹣4，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3，
（2）△BCM是直角三角形
理由：由（1）有，抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，
∵顶点为M的抛物线y＝a（x+1）2﹣4，
∴M（﹣1，﹣4），
由（1）抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，
∴x2+2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC2＝9+9＝18，CM2＝1+1＝2，BM2＝4+16＝20，
∴BC2+CM2＝BM2，
∴△BCM是直角三角形，
（3）存在，N（﹣1，）或N（﹣1，），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，
∴①点N在x轴上方的抛物线上，
如图，
由（2）有△BCM是直角三角形，BC2＝18，CM2＝2，
∴BC＝3，CM，
∴S△BCMBC×CM33，
设N（m，n），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，
∴S△ABN+S△ABC＝S△BCM+S△ABC，
∴S△ABN＝S△BCM＝3，
∵A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB＝4，
∴S△ABNAB×n4×n＝2n＝3，
∴n，
∵N在抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3的图象上，
∴m2+2m﹣3，
∴m1＝﹣1，m2＝﹣1，
∴N（﹣1，）或N（﹣1，）．
②如图2，
②点N在x轴下方的抛物线上，
∵点C在对称轴的右侧，
∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，
过点M作MN∥BC，交抛物线于点N，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y＝﹣x﹣3，
设MN的解析式为y＝﹣x+b
∵抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4①，
∴M（﹣1，﹣4），
∴直线MN解析式为y＝﹣x﹣5②，
联立①②得（舍），，
∴N（﹣2，﹣3），
即：N（﹣1，）或N（﹣1，）或N（﹣2，﹣3）．
11．如图，在面直角坐标系内，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且A，B两点的横坐标分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若抛物线的顶点为M，作点M关于x轴的对称点N，顺次连接A，M，B，N，在抛物线上存在点D，使直线CD将四边形AMBN分成面积相等的两个四边形，求点D的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P，使△PBC中BC边上的高为？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据解方程，可得A，B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行四边形的性质，可得CE，根据解方程组，可得答案；
（3）根据三角形的面积，可得一元二次方程，根据解方程，可得自变量的值，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案．
【解析】（1）x2﹣2x﹣3＝0，得
x1＝3，x2＝﹣1，
A（﹣1，0），B（3，0）．
将A，B点坐标代入函数解析式，得，
解得，
抛物线y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1
，
当x＝0时，y＝3，即C（0，3），
y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，即M（1，4），
点M关于x轴的对称点N，得
N（1，﹣4）．
由AMBN是平行四边形，得
E是平行四边形的中点，E（1，0），
连接CE交抛物线于D点，
联立抛物线与直线CE，得
，
解得 （不符合题意，舍），，
即D（5，﹣12）；
（3）在抛物线上存在点P，使△PBC中BC边上的高为，
如图2
，
作PF⊥BC于F点，PD⊥AB于D交BC于E点，
BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），
PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
S△PBCBC?PFPE?（xB﹣xC），
3（﹣m2+3m）×3，
得m2﹣3m+2＝0，
解得m1＝1，m2＝2，
P（1，4），（2，3）．
同理，P点在BC下面时，P（，），（，）．
综上所述，P（1，4），（2，3），P（，），（，）．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）．
（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；
（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．
①求S的最大值；
②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入yx2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标
（2）①连结DF，OF，如图，设F（t，t2+t+8），利用S四边形OCFD＝S△CDF+S△OCD＝S△ODF+S△OCF，利用三角形面积公式得到S△CDF＝﹣t2+6t+16，再利用二次函数的性质得到△CDF的面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S的最大值；
②由于四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF，CD＝EF，利用C点和D的坐标特征可判断点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，则点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，t2+t+12），然后把E（t﹣8，t2+t+12）代入抛物线解析式得到关于t的方程，再解方程求出t后计算△CDF的面积，从而得到S的值．
【解析】（1）把A（0，8），B（﹣4，0）代入yx2+bx+c得，解得，
所以抛物线的解析式为yx2+x+8；
当y＝0时，x2+x+8＝0，解得x1＝﹣4，x2＝8，
所以C点坐标为（8，0）；
（2）①连结DF，OF，如图，设F（t，t2+t+8），
∵S四边形OCFD＝S△CDF+S△OCD＝S△ODF+S△OCF，
∴S△CDF＝S△ODF+S△OCF﹣S△OCD?4?t?8?（t2+t+8）?4?8
＝﹣t2+6t+16
＝﹣（t﹣3）2+25，
当t＝3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，
∵四边形CDEF为平行四边形，
∴S的最大值为50；
②∵四边形CDEF为平行四边形，
∴CD∥EF，CD＝EF，
∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，
∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，t2+t+12），
∵E（t﹣8，t2+t+12）在抛物线上，
∴（t﹣8）2+t﹣8+8t2+t+12，解得t＝7，
当t＝7时，S△CDF＝﹣（7﹣3）2+25＝9，
∴此时S＝2S△CDF＝18．
13．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；
（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．
【分析】（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF＝1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．
【解答】解（1）∵x2+4x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∵m，n是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，
∴m＝﹣1，n＝﹣3，
∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴C（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标D（1，﹣4），
过点D作DE⊥y轴，
∵OB＝OC＝3，
∴BE＝DE＝1，
∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBD＝90°，
∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，
∵B（0，﹣3），C（3，0），
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，
∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，
∴点M的横坐标为t，
∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，
∴P（t，t﹣3），M（t，t2﹣2t﹣3），
过点Q作QF⊥PM，
∴△PQF是等腰直角三角形，
∵PQ，
∴QF＝1，
当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，
PM＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，
∴SPM×QF（﹣t2﹣3t）t2t，
如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，
PM＝t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3），
∴SPM×QF（t2﹣3t）t2t
14．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE＝2AC．
（1）用含m的代数式表示BE的长．
（2）当m时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．
（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．
①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．
②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是 ．
【分析】（1）根据A、C两点纵坐标相同，求出点A横坐标即可解决问题．
（2）求出点D坐标，然后判断即可．
（3）①首先根据EO＝2FG，证明BG＝2DE，列出方程即可解决问题．
②求出直线AE、BO的解析式，求出交点M的横坐标，列出方程即可解决问题．
【解析】（1）∵C（0，﹣3），AC⊥OC，
∴点A纵坐标为﹣3，
y＝﹣3时，﹣3＝x2﹣mx﹣3，解得x＝0或m，
∴点A坐标（m，﹣3），
∴AC＝m，
∴BE＝2AC＝2m．
（2）∵m，
∴点A坐标（，﹣3），
∴直线OA为yx，
∴抛物线解析式为y＝x2x﹣3，
∴点B坐标（2，3），
∴点D纵坐标为3，
对于函数yx，当y＝3时，x，
∴点D坐标（，3）．
∵对于函数y＝x2x﹣3，x时，y＝3，
∴点D在落在抛物线上．
（3）①∵∠ACE＝∠CEG＝∠EGA＝90°，
∴四边形ECAG是矩形，
∴EG＝AC＝BG，
∵FG∥OE，
∴OF＝FB，∵EG＝BG，
∴EO＝2FG，
∵?DE?EO?GB?GF，
∴BG＝2DE，
∵DE∥AC，
∴，
∵点B坐标（2m，2m2﹣3），
∴OC＝2OE，
∴3＝2（2m2﹣3），
∵m＞0，
∴m．
②∵A（m，﹣3），B（2m，2m2﹣3），E（0，2m2﹣3），
∴直线AE解析式为y＝﹣2mx+2m2﹣3，直线OB解析式为yx，
由消去y得到﹣2mx+2m2﹣3x，解得x，
∴点M横坐标为，
∵△AMF的面积＝△BFG的面积，
∴?（3）?（m）?m??（2m2﹣3），
整理得到：2m4﹣9m2＝0，
∵m＞0，
∴m．
故答案为．
15．如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y＝ax2+bx+c经过点O，A，B三点
（1）当m＝2时，a＝ ，当m＝3时，a＝ ；
（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；
（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为 a ；
（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．
【分析】（1）由△AOB为等边三角形，AB＝2m，得出点A，B坐标，再由点A，B，O在抛物线上建立方程组，得出结论，最后代m＝2，m＝3，求值即可；
（2）同（1）的方法得出结论
（3）由△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d），建立方程组求解即可；
（4）由（2）（3）的结论得到mn，再根据面积公式列出式子，代入化简即可．
【解析】（1）如图1，
∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，
∴B（2m，0），
∵以OB为边向上作等边三角形AOB，
∴AMm，OM＝m，
∴A（m，m），
∵抛物线l：y＝ax2+bx+c经过点O，A，B三点
∴，
∴
当m＝2时，a，
当m＝3时，a，
故答案为：，；
（2）a
理由：如图1，∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，
∴B（2m，0），
∵以OB为边向上作等边三角形AOB，
∴AMm，OM＝m，
∴A（m，m），
∵抛物线l：y＝ax2+bx+c经过点O，A，B三点
∴，
∴
∴a，
（3）如图2，
∵△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，
设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d），
∵P，Q，A，O在抛物线l：y＝ax2+bx+c上，
∴，
∴，
①﹣②化简得，2ae﹣an+b＝1④，
①﹣③化简得，﹣2ae﹣an﹣b＝1⑤，
④+⑤化简得，an＝﹣1，
∴a
故答案为a，
（4）∵OB的长度为2m，AMm，
∴S△AOBOB×AM2mmm2，
由（3）有，AN＝n
∵PQ的长度为2n，
∴S△APQPQ×AN2n×n＝n2，
由（2）（3）有，a，a，
∴，
∴mn，
∴，
∴△AOB与△APQ的面积比为3：1．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x与二次函数y＝x2+bx的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）长度为2的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；
（3）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF＝S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A（3，3）代入y＝x2+bx中，即可解决问题．
（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PE⊥QQ1于点E，如图1所示．设点P（m，m）（0＜m＜1），则Q（m+2，m+2），P1（m，m2﹣2m），Q1（m+2，m2+2m），构建二次函数，利用二次函数性质即可解决问题．
（3）存在，首先证明EF是线段AM的中垂线，利用方程组求交点E坐标，再根据对称性E关于点A的对称点E′也符合条件，求出E、E′坐标即可．
【解析】（1）把点A（3，3）代入y＝x2+bx中，
得：3＝9+3b，解得：b＝﹣2，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x．
（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PE⊥QQ1于点E，如图1所示．
∵PE⊥QQ1，QQ1⊥x轴，
∴PE∥x轴，
∵直线OA的解析式为y＝x，
∴∠QPE＝45°，
∴PEPQ＝2．
设点P（m，m）（0＜m＜1），则Q（m+2，m+2），P1（m，m2﹣2m），Q1（m+2，m2+2m），
∴PP1＝3m﹣m2，QQ1＝2﹣m2﹣m，
∴（PP1+QQ1）?PE＝﹣2m2+2m+2＝﹣2，
∴当m时，取最大值，最大值为．
（3）存在．
如图2中，①点E的对称点为F，EF与AM交于点G，连接OM、MF、AF、OF．
∵S△AOF＝S△AOM，
∴MF∥OA，
∴△AEG∽△MFG，
∴，∵EG＝GF，
∴AG＝GM，
∵M（1，﹣1），A（3，3），
∴点G（2，1），
∵直线AM解析式为y＝2x﹣3，
∴线段AM的中垂线EF的解析式为yx+2，
由解得，
∴点E坐标为（，）．
②设E关于点A的对称点E′，E′关于AM的对称点F′，根据对称性可知，△OAF′与△AOF的面积相等，
此时E′（，），
综上所述满足条件的点E坐标（，）或（，）．
17．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABCS△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；
（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF＝BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．
【解析】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为yx2x+2；
（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5，OC＝2，
∴S△ABCAB?OC5×2＝5，
∵S△ABCS△ABD，
∴S△ABD5，
设D（x，y），
∴AB?|y|5|y|，解得|y|＝3，
当y＝3时，由x2x+2＝3，解得x＝1或x＝2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；
当y＝﹣3时，由x2x+2＝﹣3，解得x＝﹣2（舍去）或x＝5，此时D点坐标为（5，﹣3）；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；
（3）∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，
∴AC，BC2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，
如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，
由题意可知∠FBC＝45°，
∴∠CFB＝45°，
∴CF＝BC＝2，
∴，即，解得OM＝2，，即，解得FM＝6，
∴F（2，6），且B（4，0），
设直线BE解析式为y＝kx+m，则可得，解得，
∴直线BE解析式为y＝﹣3x+12，
联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，
∴E（5，﹣3），
∴BE．
18．如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和抛物线的特点确定出点D，然而用待定系数法确定出抛物线的解析式．
（2）根据AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6），确定出E（，3），从而求出梯形的面积．
（3）方法一、先求出直线AC解析式，然后根据FM⊥x轴，表示出点P（m，m+9），最后根据勾股定理求出MN，从而确定出MN最小值和m的值．
方法二、由题意知，四边形NOMP为矩形，MN＝OP，所以当OP⊥GH时，OP最短，即为MN最短．然后利用三角形等面积法求出OP最小值．
【解析】（1）∵过B，C，D三点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），
∴点C的横坐标为4，BC＝4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝4，
∵A（2，6），
∴D（6，6），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
∵点D在此抛物线上，
∴6＝a（6﹣2）2+2，
∴a，
∴抛物线解析式为y（x﹣2）2+2x2﹣x+3，
（2）∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）
∴E（，3），
∴BE，
∴S（AF+BE）×3（m﹣2）×3m﹣3
∵点F（m，6）是线段AD上，
∴2＜m≤6，
即：Sm﹣3（2＜m≤6）
（3）方法一、∵抛物线解析式为yx2﹣x+3，
∴B（0，3），C（4，3），
∵A（2，6），
∴直线AC解析式为yx+9，
∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P
∴P（m，m+9），（2＜m≤6）
∴PN＝m，PMm+9，
∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，
∴∠MPN＝90°，
∴MN
∵2＜m≤6，
∴当m时，MN最小．
方法二、∵抛物线解析式为yx2﹣x+3，
∴B（0，3），C（4，3），
∵A（2，6），
∴直线AC解析式为yx+9，
∴G（0，9），H（6，0），
∴GH＝3，
由题意知，四边形NOMP为矩形，
∴MN＝OP，
∴当OP⊥GH时，OP最短，即为MN最短，
∵S△GOHOG?OHGH?OP最小，
∴9×6＝3OP最小，
∴OP最小，
即：MN最小为．
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日期：2019/2/24 21:37:02；用户：账号1；邮箱：yzsysx1@xyh.com；学号：25670025
19.已知直线与抛物线有一个公共点，且．
（Ⅰ）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；
（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为．
（ⅰ）若，求线段长度的取值范围；
（ⅱ）求面积的最小值．
【答案】（Ⅰ）抛物线顶点Q的坐标为（-，-）；（Ⅱ）理由见解析；
（Ⅲ）（i）5≤MN≤7.（ii）△QMN面积的最小值为.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由抛物线过点M（1，0），可得b=-2a，将解析式y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a配方得y=a(x+ )2- ,从而可得抛物线顶点Q的坐标为（- ，- ）.
（Ⅱ）由直线y=2x+m经过点M（1，0），可得m=-2.
由y=2x-2、y=ax2+ax-2a，可得ax2+（a-2）x-2a+2=0，（*），由根的判别式可得方程(*)有两个不相等的实数根，从而可得直线与抛物线有两个交点.
（Ⅲ）由y=2x-2、y=ax2+ax-2a，可得点N（-2，-6）.
（i）根据勾股定理得，MN2=20（）2，再由-1≤a≤-，可得-2≤ ≤-1，从而可得<0，
继而可得MN=3 ，从而可得MN的取值范围.
（ii）作直线x=- 交直线y=2x-2于点E，得 E（-，-3），
从而可得△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM = ，即27a2+(8S-54)a+24=0，（*）
因为关于a的方程（*）有实数根， 从而可和S≥ ，继而得到面积的最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为抛物线过点M（1，0），所以a+a+b=0，即b=-2a，所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a(x+)2- ,所以抛物线顶点Q的坐标为（-，-）.
（Ⅱ）因为直线y=2x+m经过点M（1，0），所以0=2×1+m，解得m=-2.
把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，（*），所以△=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4由（Ⅰ）知b=-2a，又a0，所以△>0，所以方程(*)有两个不相等的实数根，故直线与抛物线有两个交点.
（Ⅲ）把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
即x2+(1- )x-2+=0，所以（x-1）（x+2-）=0,
解得x1=1,x2 =-2，所以点N（-2，-6）.
（i）根据勾股定理得，MN2=[（-2）-1]2+（-6）2=20（）2，
因为-1≤a≤-，由反比例函数性质知-2≤ ≤-1，所以<0，
所以MN=2 （ ）=3 ，所以5≤MN≤7.
（ii）作直线x=- 交直线y=2x-2于点E，把x=-代入y=2x-2得，y=-3，即E（-，-3），
又因为M（1，0），N（-2，-6），且由（Ⅱ）知a<0，
所以△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM= = ，
即27a2+(8S-54)a+24=0，（*）
因为关于a的方程（*）有实数根，所以△=（8S-54）2-4×27×24≥0，即（8S-54）2≥（36 ）2，
又因为a<0，所以S= > ,所以8S-54>0，所以8S-54>0，
所以8S-54≥36，即S≥ ，
当S=时，由方程（*）可得a=- 满足题意.
故当a=-，b =时，△QMN面积的最小值为.
20.已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一条直线上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°。如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；EP与AB交于点G．同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s。过Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当 t 为何值时，PQ∥BD？
（2）设五边形 AFPQM 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点M在PG的垂直平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t= ；（2） （3）t=2，9:8（4）t=
【解析】
试题分析：（1）利用△CPQ∽△CBD，列比例式求出t的值；
（2）利用△MDQ∽△CBD，得MD=（6-t），再利用，可求得函数的解析式；
（3）利用=9:8得方程求解；
（4）利用△PBG∽△PEF，得AG、AM，作MN⊥BC，构造矩形MNCD，则MN=6，PN=（8-t）-（6-t）=，然后根据AG2+AN2=PN2+MN2可列方程求解.
试题解析：（1）若PQ∥BD，则△CPQ∽△CBD，可得，即，解得t=；
（2）由∠MQD+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90°，可得∠MQD=∠CBD，
又∠MDQ=∠C=90°，∴△MDQ∽△CBD ，
∴
即
解得MD=（6-t），
所以
=
=
即
（3）假使存在t，使
则，即
整理得，解得
答：当t=2，
（4）易证△PBG∽△PEF，
∴，即，∴
则
作MN⊥BC于N点，则四边形MNCD为矩形
所以MN=CD=6，CN=，故：PN=
若M在PG的垂直平分线上，则GM=PM，
所以，所以
即：
整理得：，解得。
考点：1、矩形，2、相似三角形，3、二次函数，4、运动型
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突破2020中考数学压轴题大揭秘
专题01二次函数与面积压轴问题
【类型综述】
面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．
【方法揭秘】
解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：
如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．
如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．
图1 图2 图3
计算面积长用到的策略还有：
如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．
如图5，同底三角形的面积比等于高的比．
如图6，同高三角形的面积比等于底的比．
图4 图5 图6
【典例分析】
例1 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A(－1, 0)，B(4, 0)两点，与y轴交于点C(0, 2)．点M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）当S△MFQ∶S△MEB＝1∶3时，求点M的坐标．
例2 如图，已知二次函数的图象经过、、三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是该二次函数图象上的一点，且满足是坐标原点），求点的坐标；
（3）点是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接分别交、轴于点、，若、的面积分别为、，求的最大值．
例3如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；[来#&~源:@中^教网]
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．[ww*w.z~z#st%ep.com@]
例4如图，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0)、B()，M是OA的中点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求点P的坐标；
（3）将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连结CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D，若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
例5定义：如图1，抛物线与轴交于，两点，点在该抛物线上点与、两点不重合），如果的三边满足，则称点为抛物线的勾股点．
（1）直接写出抛物线的勾股点的坐标．
（2）如图2，已知抛物线与轴交于，两点，点是抛物线的勾股点，求抛物线的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点在抛物线上，求满足条件的点（异于点的坐标．
例6 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．
（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
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图1 备用图[中%&国教*^育出版~网]
【变式训练】
1．已知：如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，该抛物线的顶点为．
（1）求点、、的坐标．
（2）求直线的函数解析式．
（3）试说明：．
（4）在抛物线上是否存在点，使直线把分成面积相等的两部分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线与该抛物线在第四象限内交于点，与线段交于点，与轴交于点，且．
①求的值；
②连接，，线段与线段交于点，与是否全等？请说明理由；
（3）直线与该抛物线的交点为，（点在点的左侧），点关于轴的对称点为点，点的坐标为．若四边形的面积为．求点到的距离的值．
3．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数图象于点．
（1）求的值和直线的解析式；
（2）过点作于点，设，的面积分别为，，若，求的值；
（3）点是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点是线段上的动点，当四边形是平行四边形，且周长取最大值时，求点的坐标．
4．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、两点，且与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于轴，并沿轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于、两点（点在点的左侧），连接，在线段上方抛物线上有一动点，连接、．
（Ⅰ）若点的横坐标为，求面积的最大值，并求此时点的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
（1）求点，，的坐标；
（2）点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为秒，求运动时间为多少秒时，的面积最大，并求出其最大面积；
（3）在（2）的条件下，当面积最大时，在下方的抛物线上是否存在点，使的面积是面积的1.6倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图， 已知抛物线的对称轴是直线，且与轴相交于，两点点在点右侧） 与轴交于点 ．
（1） 求抛物线的解析式和、两点的坐标；
（2） 若点是抛物线上、两点之间的一个动点 （不 与、重合） ，则是否存在一点，使的面积最大 ． 若存在， 请求出的最大面积；若不存在， 试说明理由；
（3） 若是抛物线上任意一点， 过点作轴的平行线， 交直线于点，当时， 求点的坐标 ．
7．在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线经过点和点，顶点为，点在其对称轴上且位于点下方，将线段绕点按顺时针方向旋转，点落在抛物线上的点处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点移到原点的位置，这时点落在点的位置，如果点在轴上，且以、、、为顶点的四边形面积为8，求点的坐标．
8．已知顶点为抛物线经过点，点．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 如图 1 ，直线与轴相交于点，轴相交于点，抛物线与轴相交于点，在直线上有一点，若，求的面积；
（3） 如图 2 ，点是折线上一点， 过点作轴， 过点作轴， 直线与直线相交于点，连接，将沿翻折得到，若点落在轴上， 请直接写出点的坐标 ．
9．如图，抛物线与轴交于、两点，是轴上一点，连接，延长交抛物线于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点在第一象限，过点作轴于点，与的面积比为，求出点的坐标；
（3）若是轴上的动点，过点作与轴平行的直线交抛物线于、两点，是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧），与轴相交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点（点与点不重合），使得以点，，，为顶点的四边形的面积与四边形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在面直角坐标系内，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，且，两点的横坐标分别是方程的两个实数根．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若抛物线的顶点为，作点关于轴的对称点，顺次连接，，，，在抛物线上存在点，使直线将四边形分成面积相等的两个四边形，求点的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点，使中边上的高为？若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于、、三点，其中点的坐标为，点的坐标为．
（1）求该二次函数的表达式及点的坐标；
（2）点的坐标为，点为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接、，以、为邻边作平行四边形，设平行四边形的面积为．
①求的最大值；
②在点的运动过程中，当点落在该二次函数图象上时，请直接写出此时的值．
13．已知，，是一元二次方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点，，如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，试求出点，的坐标，并判断的形状；
（3）点是直线上的一个动点（点不与点和点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，点在直线上，距离点为个单位长度，设点的横坐标为，的面积为，求出与之间的函数关系式．
14．如图，抛物线交轴于点，轴，交抛物线于点，点在抛物线上，且在第一象限内，轴，交轴于点，交的延长线于点，．
（1）用含的代数式表示的长．
（2）当时，判断点是否落在抛物线上，并说明理由．
（3）若轴，交于点，交于点．
①若与的面积相等，求的值．
②连结，交于点，若与的面积相等，则的值是 ．
15．如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，的长度为，以为边向上作等边三角形，抛物线经过点，，三点
（1）当时， ，当时， ；
（2）根据（1）中的结果，猜想与的关系，并证明你的结论；
（3）如图2，在图1的基础上，作轴的平行线交抛物线于、两点，的长度为，当为等腰直角三角形时，和的关系式为 ；
（4）利用（2）（3）中的结论，求与的面积比．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象相交于、两点，点，点为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）长度为的线段在线段（不包括端点）上滑动，分别过点、作轴的垂线交抛物线于点、，求四边形面积的最大值；
（3）直线上是否存在点，使得点关于直线的对称点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，抛物线经过点，，交轴于点；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点为轴右侧抛物线上一点，是否存在点使？若存在请直接给出点坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线绕点顺时针旋转，与抛物线交于另一点，求的长．
18．如图1，已知平行四边形顶点的坐标为，点在轴上，且轴，过，，三点的抛物线的顶点坐标为，点是线段上一动点，直线交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设四边形的面积为，请求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）如图2，过点作轴，垂足为，交直线于，过点作轴，垂足为，连接，直线分别交轴，轴于点，，试求线段的最小值，并直接写出此时的值．
19.已知直线与抛物线有一个公共点，且．
（Ⅰ）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；
（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为．
（ⅰ）若，求线段长度的取值范围；
（ⅱ）求面积的最小值．
20已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一条直线上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°。如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；EP与AB交于点G．同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s。过Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当 t 为何值时，PQ∥BD？
（2）设五边形 AFPQM 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点M在PG的垂直平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
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