必修2 高二数学 第二章 2.3.2平面与平面垂直的判定 教学课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
新课导入
































修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成一定的角度。


砌墙时，要保证墙面与地面垂直。


























B
A
C
D
教室的门打开时与墙面成一定的角度。
书本展开时两页直面成一定的角度。
2.3.2 平面与平面垂直的判定
教学目标
知识与能力
使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念。
使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用。
过程与方法
情感态度与价值观
通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程。
类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
教学重难点
重点
难点
平面与平面垂直的判定。
如何度量二面角的大小。
从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
二面角









注:面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。
二面角的记法
下图二面角记做 二面角α-l-β，或二面角α-AB-β。
用面1－棱－面2表示一个二面角
有时为了方便，在α，β内分别取点P,Q,将此二面角记做P-l-Q,或二面角P-AB-Q。














l
β
α


A
B
?
?
二面角?－AB－ ?
二面角?－ l－ ?
二面角C－AB－ D





A
B
C
D


O
B
A
∠AOB

这个是角
这些是二面角



角



B
A
O
边
边
顶点
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。

定义
构成
边—点—边
（顶点）

表示法
∠AOB

二面角





A
B
面
面
棱
a
?
?
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
面—直线—面
（棱）
二面角?—l—?
或二面角?—AB—?
图形
角与二面角的比较

?



?



?



?



?



?
?



书本展开时形成的“角度”的大小如何来确定？用什么来衡量？
思考
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角









二面角的平面角必须满足：
3）角的边都要垂直于二面角的棱
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内











?
?
l
O

A
B





?
?
A
O
B

是二面角
不是二面角
二面角的平面角用来度量二面角的大小，二面角是多少度，就说这个二面角是多少度。
上图是正方体ABCD-A‘B’C‘D’，二面角 度数为45°。






当二面角的两个面重合时，二面角的大小为多少度？当二面角的两个面合成一个平面时，二面角的大小为多少度？一般地，二面角的平面角的取值范围如何？
思考






二面角为0°
二面角为90°
二面角的取值范围是[0, ]。




















平面角是直角的二面角叫做直二面角。
若两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记作:
两个平面互相垂直
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
思考



可以用铅垂判断所在直线是否与地面垂直。
平面和平面垂直的判定定理
符号表示：
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
线线垂直
线面垂直
面面垂直






α
β
C
D





A
B
E


证明：设α∩β=CD,则B∈CD.
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE就是二面角
平面角，
∪

已知：AB⊥β，
求证： ⊥β。
定理证明
∵AB⊥β，BE β，
∴AB⊥BE. ∴二面角 是直二面角，
∴ ⊥β.
证明：设α∩β=CD,则B∈CD。
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE就是二面角
平面角，
∵AB⊥β，BE β，
∴AB⊥BE. ∴二面角 是直二面角，
∴ ⊥β.
∵AB⊥β，BE β，
∴AB⊥BE. ∴二面角 是直二面角，
∴ ⊥β。
在正方体A C1中 ，求证 ：平面A1C1CA ⊥平面B1D1DB




A
B
C
C1
D
B1
A1
D1





例四
证明：∵AA1⊥面AC,
∴AA1⊥BD，
又∵BD⊥AC,
∴BD⊥面ACC1A1，
∴平面A1C1CA ⊥平面B1D1DB
例五
如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。
B





P
A



C
O
证明：∵在圆o中AB为直径，
∴AC⊥BC，
又∵PA⊥面ABC,
∴PA⊥BC，
∴BC ⊥平面PAC,
∴平面PAC⊥平面PBC。
课堂小结
从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的平面角用来度量二面角的大小。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。









平面和平面垂直的判定定理：
如果一个平面过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。








A
B
D
C
线面垂直
面面垂直

随堂练习
1）如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β（ ）
3）如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线, 则α⊥β（ ）
1. 判断：
×
×
√
2）如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β（ ）
√
4）若m⊥α，m β，则α⊥β( )
1）过平面α的一条垂线可作个________平面与平面α垂直。
2）过一点可作_____个平面与已知平面垂直。
2. 填空：
3）过平面α的一条斜线，可作____个平面与平面α垂直。
4）过平面α的一条平行线可作____个平面与α垂直。
一
无数
无数
一
1）给出下列四个命题：
　　①垂直于同一个平面的两个平面平行；
　　②垂直于同一条直线的两个平面平行；
　　③垂直于同一个平面的两条直线平行；
　　④垂直于同一条直线的两条直线平行。
其中正确的命题的个数是（????? ）
　　A．1???????? B．2?????????? C．3?????????? D．4
B?
3. 选择：
2）给出下列四个命题：（其中a，b表直线，α，β，γ表平面）
　　①若a⊥b，a∥α，则b⊥α；
　　②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
　　③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β；
　　④若α⊥β，a⊥β，则a∥α其中不正确的命题的个数是（????? ）
　　A．1???????? B．2??????????? C．3????????? D．4
D












A
B
C
D
A1
B1
C1
D1





4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
求证：平面ACC1A1⊥平面A1BD。
证明：∵AA1⊥面AC，
∴AA1⊥BD
又∵BD⊥AC,
∴BD⊥平面ACC1A1
∴平面ACC1A1⊥平面A1BD。
A
α







B
β
O
C
5．在二面角α-l-β的一个面α内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°，则此二面角的大小是多少？


如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直棱于C，连OB、OC，则∠ABC=45°，∠ABO=30°，∠ACO就是所求二面角的平面角。
设AB=a,则AC=
，AO=
则sin∠ACO=
∴∠ACO=45°
6.如图：在Rt△ABC中，∠B=900 ，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，问：四面体P-ABC中有几个直角三角形？并证明之。






P
A
B
C
四个面都是直角三角形